[摘 要] 本文介紹了有關(guān)變位螺旋齒輪傳動設(shè)計的參數(shù)計算問題，包括公式的推導和方程組的求解，通過先確定中心距、軸交角等齒輪副嚙合參數(shù)，然后再設(shè)計各齒輪參數(shù)來達到了實際設(shè)計應用的要求。
關(guān)鍵詞 齒輪 軸交角 螺旋 齒輪副 嚙合參數(shù)
1、前言：
螺旋齒輪傳動是用來傳遞空間兩交錯軸之間的運動，就其單個齒輪來說，還是斜齒輪，所以，螺旋齒輪傳動具有漸開線圓柱齒輪傳動的普遍代表性。
在一般技術(shù)資料中，如[1][2]，都只分析了標準螺旋齒輪傳動，在資料[3]中，也只分析了給定兩個齒輪基本參數(shù)后，齒輪副的嚙合參數(shù)的計算，而實際設(shè)計中則往往是先確定中心距、軸交角等齒輪副嚙合參數(shù)，然后再設(shè)計各齒輪參數(shù)。
2、公式推導過程
下面，將按無側(cè)隙嚙合方程式、變位螺旋傳動方程組、螺旋傳動齒輪參數(shù)的順序來循序分析，以尋找變位螺旋齒輪傳動的設(shè)計方法。
一、無側(cè)隙嚙合方程式
對于螺旋傳動的無側(cè)隙嚙合的共軛齒輪副，節(jié)圓法向齒距和節(jié)圓法向齒厚有關(guān)系式：
Pn'=Sn1'+Sn2' (以下齒輪幾何要素代號均符號GB2821-81)
其中:
πd'
Pn'= ── cosβ' (節(jié)圓法向齒距)
Z
d'
Sn'=(St─ - d'(invαt '-invαt ))cosβ' (節(jié)圓法向齒厚)
d
πd' d1 '
∴ ──cosβ1 '=(St1 ── - d1 '(invαt1 '-invαt1 ))cosβ1 '
Z1 d1
d2 '
+(St2 ── - d2 '(invαt2 '-invαt2 ))cosβ2 ' ------①
d2
d1 'cosβ1 ' d2 'cosβ2 '
又: Pn1'=Pn2' ∴ ───── = ───── ------②
Z1 Z2
又: St=Sn／cosβ
d=Z*Mn／cosβ
St Sn
∴ ── = ── -------③
d Z*Mn
將②③式代入①中，化簡得：
變位螺旋齒輪傳動無側(cè)隙嚙合方程式：
Z1*invαt1 '+Z2*invαt2 '=(Sn1+Sn2)／Mn+Z1*invαt1 +Z2*invαt2 -π
即：Z1*invαt1 '+Z2*invαt2 '=2*(xn1+xn2 )tgαn +Z1*invαt1 +Z2*invαt2 ----④
二、變位螺旋齒輪傳動方程組
對于螺旋齒輪傳動副，我們可概括地列出下列方程組：
┏ Z1*invαt1 '+Z2*invαt2 '=2*(xn1 +xn2 )tgαn +Z1*invαt1 +Z2*invαt2
┫ a'=(d1 '+d2 ')／2 (齒輪無側(cè)隙嚙合中心距)
┗ ∑=β1 '±β2 ' (齒輪無側(cè)隙嚙合軸交角,螺旋方向相同時取"+")
其中: d'=d*cosαt ／cosαt '
d'
tgβ'=─ tgβ
d
為了求解此方程組，首先來看一看分度圓上端面壓力角αt1 、αt2 和節(jié)圓上端面壓力角αt1 '、αt2 '的關(guān)系：
∵ tgαt = tgαn ／cosβ
tgαt1 cosβ2
∴ ─── = ─── -------⑤
tgαt2 cosβ1
sinαt1 ' cosαt1 '*cosβ2 '
∴ ────= ──────── -------⑥
sinαt2 ' cosαt2 '*cosβ1 '
又由②式可得：
Z1 d1 'cosβ1 '
─ = ───── -------⑦
Z2 d2 'cosβ2 '
又∵ d=Z*Mt=Z*Mn／cosβ
Z1 d1 *cosβ1
∴ ─ = ───── -------⑧
Z2 d2 *cosβ2
由⑦⑧式可得：
d1 'cosβ1 ' d1 *cosβ1
─────＝───── -------⑨
d2 'cosβ2 ' d2 *cosβ2
d
又：cosαt '=─ cosαt (節(jié)圓端面壓力角) -----⑩
d'
由⑤⑥⑨⑩可得：
sinαt1 ／sinαt2 = sinαt1 '／sinαt2 ' ----⑾
對原方程組化簡后得：
┏ Z1*invαt1 '+Z2*invαt2 '=2*(xn1 +xn2 )tgαn +Z1*invαt1 +Z2*invαt2
┃
┃ Z1*Mn*cosαt1 Z2*Mn*cosαt2
┃ 2*a'= ─────── + ───────
┃ cosβ1 *cosαt1 ' cosβ2 *cosαt2 '
┫
┃ cosαt1 *tgβ1 cosαt2 *tgβ2
┃ ∑= arctg(───────)±arctg(───────)
┃ cosαt1 ' cosαt2 '
┃
┗ sinαt1 ／sinαt2 = sinαt1 '／sinαt2 '
在齒輪強度設(shè)計、結(jié)構(gòu)設(shè)計后，確定了齒數(shù)、模數(shù)、壓力角、中心距和軸交角等參數(shù)后，即已知Z1、Z2、Mn、αn 、a'和Σ。在此方程組中，如果再給定一個齒輪的螺旋角β1，即可求出齒輪副總變位系數(shù)(xn1+xn2 )和另一個齒輪的螺旋角β2，如果給出總變位系數(shù)(xn1+xn2 )，則可求出齒輪的分度圓螺旋角β1 和β2 。
當然，手工的方法是很難求解此方程組的，只有通過計算機采用迭代法才能求解。下面的程序就是借助FORTRAN語言（也可用其它語言）編制的一種迭代求解過程：
* PROGRAM GEAR.FOR
IMPLICIT REAL (I-N)
INTEGER Z1,Z2
INV(X)=TAN(X)-X
DATA …/…/
DATA …/…/
10 B2=B2+XX
20 EXN=EXN+YY
AT1=ATAN(TAN(AN)/COS(B1))
AT2=ATAN(TAN(AN)/COS(B2))
INVAT1=INV(AT1)
INVAT2=INV(AT2)
N=2*EXN*TAN(AN)+Z1*INVAT1+Z2*INVAT2
30 INVAT1P=N/(Z1+Z2*INVAT2/INVAT1)
AT1P=FINV(INVAT1P)
AT2P=ASIN(SIN(AT1P)*SIN(AT2)/SIN(AT1))
IF(ABS(Z1*INVAT1P+Z2*INV(AT2P)-N).GT.1E-5) THEN
INVAT1=INVAT1P
INVAT2=INV(AT2P)
GOTO 30
ENDIF
D1=MN*Z1*COS(AT1)/COS(B1)
D2=MN*Z2*COS(AT2)/COS(B2)
AA=(D1/COS(AT1P)+D2/COS(AT2P))/2
YY=AP-AA
IF(ABS(YY).GT.1E-3) THEN
GOTO 20
ENDIF
B1P=ATAN(TAN(B1)*COS(AT1)/COS(AT1P))
B2P=ATAN(TAN(B2)*COS(AT2)/COS(AT2P))
XX=EB-(B1P+B2P)
IF(ABS(XX).GT.1E-7) THEN
GOTO 10
ENDIF
WRITE(*,*)'Exn=',EXN
WRITE(*,*)'B2 =',B2*180/PI
END
REAL FUNCTION FINV(X)
FINV=(3*X)**(1/3)
100 FF=ATAN(FINV+X)
IF(ABS(FF-FINV).GT.1E-6) THEN
FINV=FF
GOTO 100
ENDIF
END
運用此程序，即可對方程組求解，例如：
┏━━┯━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┳━━━━━━━━━━━━━┓
┃ │ 已 知 ┃ 計 算 結(jié)果 ┃
┠──┼─┬─┬──┬───┬────┬─────┬─────╂───── ┬──────┨
┃參數(shù)│Z1│Z2│αn │ Mn │ a' │ Σ │ β1 ┃(xn1 +xn2 ) │ β2 ┃
┠──┼─┼─┼──┼───┼────┼─────┼─────╂──────┼──────┨
┃例 1│11│17│20°│ 1 │ 57.5 │ 90° │83°32'53"┃ 0 │ 6°27'07" ┃
┃ │ │ │ │ │ │ │ (右) ┃ │ (右) ┃
┠──┼─┼─┼──┼───┼────┼─────┼─────╂──────┼──────┨
┃例 2│11│16│20°│ 1 │ 57.5 │ 90° │83°32'53"┃ 0.5048 │ 6°23'10" ┃
┃ │ │ │ │ │ │ │ (右) ┃ │ (右) ┃
┠──┼─┼─┼──┼───┼────┼─────┼─────╂──────┼──────┨
┃例 3│27│53│20°│4.2333│169.4753│9°54'29" │ 0° ┃ -0.3617 │ 10° ┃
┃ │ │ │ │ │ │ │ ┃ │ (右) ┃
┠──┼─┼─┼──┼───┼────┼─────┼─────╂──────┼──────┨
┃例 4│27│53│20°│4.2333│ 170.0 │ 10° │ 0° ┃ -0.2502 │ 10°3'47" ┃
┃ │ │ │ │ │ │ │ ┃ │ (右) ┃
┗━━┷━┷━┷━━┷━━━┷━━━━┷━━━━━┷━━━━━┻━━━━━━┷━━━━━━┛
三、螺旋傳動各齒輪的參數(shù)
在變位齒輪無側(cè)隙嚙合傳動中，要保證標準頂隙，則齒輪高要減短σ*m，稱σ為齒頂高變動系數(shù)，那么，變位螺旋齒輪傳動中，齒頂高變動系數(shù)為多少?
首先來分析分度圓分離系數(shù)，設(shè)yn 為法面上分度圓分離系數(shù)，則：
yn*Mn=a'-a=a'-(d1 +d2 )／2
a' Z1 Z2
∴yn = ─ -(─── + ───)／2 (分度圓分離系數(shù)方程式) -------⑿
Mn cosβ1 cosβ2
當兩輪作無側(cè)隙嚙合時，中心距為：
a'=( d1 +d2 )／2+ yn*Mn= r1 + r2 + yn*Mn -------⒀
又:當兩輪保證標準頂隙c= cn * Mn安裝時，中心距為：
a"= ra1 +c+ hf2
= r1 + ha1 +c+ r2 - hf2
= r1 + r2 +Mn(han* + xn1 )+ cn* Mn -Mn(han* + cn* - xn2 )
= r1 + r2 +( xn1 + xn2 )Mn -------⒁
由⒀⒁式可得：保證標準頂隙無側(cè)隙嚙合時，齒頂高變動系數(shù)為：
σn =(a"-a')/Mn=( xn1 + xn2 )- yn -------⒂
所以齒輪的齒頂高為：
ha = han*Mn+ xn*Mn- σn*Mn=( han + xn -σn )Mn
除齒頂高外，齒輪的其余參數(shù)均可按參考資料[1][2]中斜齒圓柱齒輪的公式計算。
3、小結(jié)
至此，已解決了有關(guān)變位螺旋齒輪傳動設(shè)計的參數(shù)計算問題，包括公式的推導和方程組的求解，達到了實際設(shè)計應用的要求。值得一提的是：這些公式和計算過程，給定特定的約束，即成了各種圓柱齒輪傳動形式的計算公式，如：軸交角為零，則為平行軸的斜齒圓柱齒輪傳動；軸交角和螺旋角為零，則為直齒圓柱齒輪傳動；軸交角和螺旋角為零，大輪齒數(shù)為負和中心距為負，則為內(nèi)嚙合齒輪傳動。
