1 前言 并聯(lián)機構(gòu)具有剛度大、承載能力強、位置精度高、響應快等許多串聯(lián)機構(gòu)所沒有的優(yōu)點其應用前景十分廣闊。近幾年來引起了機床領域研究學者及產(chǎn)業(yè)界的廣泛重視。然而這類機構(gòu)的運動學和動力學求解問題比較復雜．是機構(gòu)學研究的難點之一。另外，在對并聯(lián)機構(gòu)機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力學分析中，一般都是將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)作為剛性體進行處理，這樣只能進行力的分析，無法分析力作用下的位移。本文介紹一種新的并聯(lián)機構(gòu)的剛度解析方法即將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)作為柔性體處理可直接求解系統(tǒng)的剛度，具有獨特優(yōu)點。下面以3-RPS并聯(lián)機構(gòu)為例進行說明。我們把這種機構(gòu)作為獨立的并聯(lián)機構(gòu)用于混聯(lián)式數(shù)控機床。 在3-RPS機構(gòu)的設計過程中，贅個機構(gòu)的剛度取決于組成機構(gòu)的各構(gòu)件要素(桿件和關節(jié))的剛度，如何合理設計各桿件的結(jié)構(gòu)參數(shù)使機構(gòu)在各種位姿及外力作用下剛度均衡是設計的關鍵。
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圖1 3自由度并聯(lián)機構(gòu)模型
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2 機構(gòu)組成 3-RPS 并聯(lián)機構(gòu)部件由動平臺、定平臺及連接兩平臺的二個分支組成，如圖1 所示，其中三個分支與定平臺相連的運動副為轉(zhuǎn)動副(R) ，與動平臺相連的運動副為球面副(S) , R和S兩個運動副之間為移動副(P)。由機構(gòu)的運動學分析可知．該機構(gòu)具有沿Z軸的移動和繞X軸與Y軸的轉(zhuǎn)動(等效的瞬時轉(zhuǎn)軸)三個自由度當機構(gòu)的移動副作長度變化時，運動平臺的位姿隨之變化。 3 關節(jié)的邊界元法合成邊界元法是把對象的控制微分方程式變換成邊界上的積分方程式，然后把該積分方程式離散，進行求解。由于邊界元法只對對象的邊界進行處理，因此，可以把考慮問題的維數(shù)降低一維。對于桿類零件，由于領域為一維領域，故其邊界就是點，與有限元法相比邊界單元的數(shù)目和節(jié)點的數(shù)目少，數(shù)據(jù)輸入的準備工作簡單，需要的計算機容量小，計算速度快。
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圖2 子結(jié)溝坐標示意圖
| 并聯(lián)機器人機構(gòu)是桿系機構(gòu)各桿件通過各種關節(jié)相連接，可作為桿類機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進行性能分析。單個桿是該系統(tǒng)的一個子結(jié)構(gòu)，利用邊界元法可得到每個子結(jié)構(gòu)的邊界方程式，然后找出相聯(lián)接的子結(jié)構(gòu)間的邊界關系，即結(jié)合條件式。最后利用結(jié)合條件式對各子結(jié)構(gòu)的邊界方程式聯(lián)立求解，得出整個系統(tǒng)的邊界力和位移，繼而求得系統(tǒng)的靜剛度。 如圖2所示的兩個子結(jié)構(gòu)合成求解的過程如下。 子結(jié)構(gòu)的方程式
| { |
Fa |
} |
=[K1] |
{ |
Xa |
} |
+{P1} |
| Fb |
Xb | |
(1) |
| { |
Fc |
} |
=[K2] |
{ |
Xc |
} |
+{P2} |
| Fd |
Xd | |
(2) | 式中：K1、K2分別為子結(jié)構(gòu)1和2的剛性系數(shù)矩陣(包括拉壓、彎曲及扭轉(zhuǎn))，取決于各子結(jié)構(gòu)的長度、截面特牲等結(jié)構(gòu)參數(shù)及材料特性參數(shù)；P1、P2分別為作用于子結(jié)構(gòu)上的外力的力矢量；Fa、Fb、Fc、Fd和Xa、Xb、Xc、Xd分別為兩個子結(jié)構(gòu)在邊界點處的力矢最和位移矢量它們分別包括六個坐標方向的力、力矩或位移、轉(zhuǎn)角。例如Fa={Fa1 Fa2 Fa3 Fa4 Fa5 Fa6}T 結(jié)合條件式 當兩個子結(jié)構(gòu)剛性聯(lián)接時，聯(lián)接點處的力大小相等，方向相反，而且位移相等，故結(jié)合條件式為： 位移結(jié)合條件：
| [0 -IC I 0]{Xa Xb Xc Xd}T=0 |
(3) | 力結(jié)合條件：
| [0 -IC I 0]{Fa Fb Fc Fd}T=0 |
(4) | 式中：I表示單位矩陣；C表示坐標轉(zhuǎn)換矩陣。當子結(jié)構(gòu)相互之間采用關節(jié)聯(lián)接時，繞其關節(jié)軸的自由度不受約束即繞關節(jié)軸的力矩為零，位移為剛體運動導致子結(jié)構(gòu)邊界方程在聯(lián)立求解時無解，因此不能在結(jié)合條件式中包含相應的力矩和位移。由于繞關節(jié)軸的力矩為已知量，故子結(jié)構(gòu)方程式中的該元素可作為邊界條件。如圖2 所示，兩子結(jié)構(gòu)在聯(lián)接處繞X1軸轉(zhuǎn)動的結(jié)合條件式如下：
| [0 -IC I 0]{Xa Xb Xc Xd}T=0 |
(5) |
| [0 -IC I 0]{Fa Fb Fc Fd}T=0 |
(6) | 式中：C為與非關節(jié)運動方向相關的坐標轉(zhuǎn)換矩陣。在關節(jié)方向的分童中，對應的力矩為零位移為未知量。 合成后系統(tǒng)的邊界方程 將式(5)、(6)代人式(1)、(2)中得到合成后的邊界方程式為
| { |
Fa |
} |
=[K] |
{ |
Xa |
} |
+{P} |
| Fd |
Xd | |
(7) | 式中：Xa、Fa為包含關節(jié)方向分量的桿1的邊界方程，[K]為合成后整個機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的剛性系數(shù)矩陣。 將所有已知的邊界條件代人式(7)中求解，即可解出系統(tǒng)中未知的邊界條件，從而獲得系統(tǒng)的剛度。
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圖3 3自由度并聯(lián)機構(gòu)力學模型
| 4 3-RPS并聯(lián)機構(gòu)剛度的邊界元法解析圖3所示為3-RPS并聯(lián)機構(gòu)剛度分析的邊界元模型，O-XYZ為建立在定平臺上的總體坐標系，oi-xiyizi為建立在各子結(jié)構(gòu)上的局部坐標系。F為作用在動平臺上的外力系(可為任意方向的力或力矩)。 由各分支機構(gòu)中各桿件的長度、截面特性等結(jié)構(gòu)參數(shù)獲得子結(jié)構(gòu)方程式(1)中的剛性系數(shù)矩陣[K]；由各桿件局部坐標系相對于總體坐標系的姿勢獲得坐標轉(zhuǎn)換矩陣C；將已知的邊界條件值代氣式(7)求解出未知邊界條件。至此，獲得了在外力系F的作用下整個機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的變形、即系統(tǒng)的靜剛度。 要優(yōu)化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)提高系統(tǒng)的剛度，就必須合理設計系統(tǒng)中各子結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，使系統(tǒng)的整體剛度最大。將整個機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的邊界條件通過坐標變換轉(zhuǎn)換為單個桿件的邊界條件，再次利用上面的解析過程，得出組成并聯(lián)機構(gòu)所有桿件的受力狀態(tài)與力作用下的變形，為結(jié)構(gòu)設計提供了依據(jù)。 如圖3所示，3-RPS并聯(lián)機構(gòu)動平臺位姿矩陣為T，在Om點處作用力分別為Fx=1000N、Fy=1000N時計算各桿的受力狀況及系統(tǒng)剛度，如下表所示。
各分支的受力及系統(tǒng)剛度計算結(jié)果表
作用力(N) (相對于O-XYZ) 各分支承受的負載(相對于各分支的局部坐標系oi-xiyizi)(N) 系統(tǒng)剛度(N/µm)
A-a分支 B-b分支 C-c分支
| Fx=1000 |
Fz=-1515.5 |
Fz=757.76 |
Fz=757.76 |
112.8 |
| Fy=1000 |
Fz=370.5 |
Fz=370.5 |
Fz=370.5 |
942.4 |
| 注：由于在不考慮摩擦和桿件重力時，所求解出的各分支在其它方向的力為零，故只給出Fz |
| R= |
[ |
1 |
0 |
0 |
] |
為動平臺坐標系統(tǒng)在定平臺坐標系統(tǒng)的方向余弦矩陣，即姿勢； |
| 0 |
1 |
0 |
| 0 |
0 |
1 | P={Px Py Pz}T為動平臺坐標原點在定平臺坐標系的位置。 5 結(jié)束語本文將混聯(lián)機床中的3-RPS并聯(lián)機構(gòu)作為桿類機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，將組成機構(gòu)的各桿件作為柔性休，利用邊界法建立了該系統(tǒng)的靜力學模型。并在給定的位姿與作用力下，求解了系統(tǒng)的變形與剛度，計算結(jié)果表明，該機構(gòu)受力合理。將本文所述方法與機構(gòu)的運動學正逆解結(jié)合，可求解動平臺在任意位姿下的系統(tǒng)剛度．并能仿真分析系統(tǒng)在運動過程中的力的變化。 |
