1 研究齒輪非線性振動的意義
曲齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪是最為復(fù)雜的齒輪傳動。在航空、航天、交通、機(jī)械和儀表制造等各個工業(yè)部門獲得廣泛的應(yīng)用。齒輪機(jī)構(gòu)朝著高速、重載和低重量的方向發(fā)展。由于結(jié)構(gòu)質(zhì)量的減輕、傳遞功率的加大，使得系統(tǒng)的激振力增大，甚至動態(tài)系統(tǒng)中還包含引起強(qiáng)烈振動的高能動力源。到目前為止，這種質(zhì)量和阻尼減小而激振力增加的趨勢仍在不斷擴(kuò)大。齒輪系統(tǒng)的振動不但會產(chǎn)生噪聲和導(dǎo)致傳動系統(tǒng)的不穩(wěn)定，而且會使傳動系統(tǒng)失效而發(fā)生嚴(yán)重的后果，因此對齒輪裝置動態(tài)性能的研究倍受關(guān)注。
對于曲齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪動力學(xué)的研究，不僅能夠?qū)X輪系統(tǒng)的振動機(jī)理有全面的了解，從而設(shè)計出平穩(wěn)性好和噪聲低的齒輪系統(tǒng)，而且動應(yīng)力水平的降低將提高齒輪系統(tǒng)的可靠性和使用壽命。在故障診斷方面，由于裂紋和齒輪剛度、傳動誤差與齒面的破壞均有密切關(guān)系，因此，動力學(xué)研究將對其頻譜機(jī)理的分析有重要意義。
2 齒輪非線性振動研究熱點(diǎn)及存在問題
2.1 幾何與力學(xué)
40年代Wildhaber和Baxter對曲齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪的發(fā)展做出了卓越的貢獻(xiàn)。自那時以來，Gleason公司的機(jī)床調(diào)整卡、齒面接觸分析及后來由Krenzer提出的加載接觸分析、邊緣接觸分析以及有限元分析等內(nèi)容引起了各國學(xué)者的關(guān)心和探索。這方面的內(nèi)容成為在曲齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪幾何和力學(xué)研究的主要內(nèi)容。在對Gleason技術(shù)研究的同時，推動了齒輪嚙合理論的發(fā)展。Litvin脫離了Gleason的計算原理提出了局部綜合法。吳序堂和王小椿從另一途徑也得到一個類似的方法。對曲齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪設(shè)計和加工理論作出最重要貢獻(xiàn)的是我國學(xué)者王小椿的三階接觸理論。在曲齒錐齒輪齒形設(shè)計方面，梁桂明提出了“非零變位”的思想。它突破了傳統(tǒng)設(shè)計在選取變位系數(shù)時只能進(jìn)行高度變位的限制，可按照一定的嚙合性能優(yōu)選變位系數(shù)。這就給曲齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪變位系數(shù)的選取提供了較為自由的空間。譬如，為了降低振動和噪聲可選用負(fù)變位，以增加輪齒的柔性和重合度。在力學(xué)方面，鄭昌啟和Litvin分別給出了一個加載接觸分析方法。另外，還必須提到的是Litvin從幾何學(xué)上提出了一個預(yù)先的拋物線誤差函數(shù)去吸收振動的概念，并將其與局部綜合法總結(jié)成一個方法學(xué)。
2.2 動力學(xué)
在曲齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪結(jié)構(gòu)動力學(xué)方面，特別是在曲齒錐齒輪行波共振方面已有較深入的研究，但關(guān)于曲齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪系統(tǒng)動力學(xué)方面的文獻(xiàn)很少，方宗德在1994年給出了一個計算準(zhǔn)雙曲面齒輪傳動動載荷的方法。在直齒輪和斜齒輪系統(tǒng)動力學(xué)方面，文獻(xiàn)很多，而且近年來這方面一直是研究熱點(diǎn)。雖然曲齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪與圓柱齒輪差別很大，但從方法學(xué)上來說圓柱齒輪動力學(xué)仍有很大的借鑒意義，因此，我們主要對直齒輪和斜齒輪進(jìn)行評述。
(1)含有時變剛度和傳動誤差的振動方程
涉及齒輪載荷的研究可追溯到2個世紀(jì)前，但首次對齒輪動力學(xué)進(jìn)行系統(tǒng)研究是以20年代Ross在美國齒輪制造期刊上發(fā)表的“高速齒輪”一文為標(biāo)志的。第一個齒輪動力學(xué)振動模型是由Tuplin在1950年提出的。隨后相繼出現(xiàn)了若干振動模型，在這些模型中考慮了齒形誤差、時變剛度等參數(shù)激勵。1959年Attia給出了一組直齒輪的動載荷實(shí)驗結(jié)果。60年代后，在齒輪動力學(xué)理論和實(shí)驗上取得了大批成果，理論研究主要集中在建模、激勵項和求解技巧等方面。
(2)具有間隙的齒輪動力學(xué)
直齒輪在剛性支承和忽略輸入輸出慣量的假設(shè)下，可以精確簡化為單自由度振動方程。這個振動方程包含了時變剛度、傳動誤差和間隙函數(shù)。間隙的存在使得振動現(xiàn)象更為復(fù)雜，并產(chǎn)生極大的噪聲和動載荷，特別是輕載噪聲。Comparin和Singh在1989年提出了一個單自由度常剛度(等效剛度)具有間隙振動的數(shù)學(xué)模型，并用諧波平衡法求解。雖然這個方程只取了諧波的一項，但其解可區(qū)分出單邊沖擊、雙邊沖擊和無沖擊的情況，并對微分方程數(shù)值解的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，指出了頻響曲線在給定頻率時響應(yīng)可能的多值性。Kahraman和Singh在1991年求解了一個具有間隙且包含傳動誤差參數(shù)激勵的振動方程。雖然這個模型仍是常剛度的單自由度模型，他們用諧波平衡法求解，發(fā)現(xiàn)了躍遷頻率、亞諧波共振及混沌現(xiàn)象。這些現(xiàn)象的出現(xiàn)與平均載荷、交變載荷、阻尼及間隙有關(guān)，并且指出，各種沖擊區(qū)與平均載荷有關(guān)。他們還給出了一個完整的數(shù)值積分初值圖，解決了數(shù)值積分求解方法上的困難。同年，Kahraman和Singh建立了一個同時考慮齒輪間隙和軸承間隙的三自由度方程，他們進(jìn)一步將上述的單自由度模型和三自由度模型中的常剛度改為時變剛度，并用多尺度法求解。1995～1997年，他們又將時變剛度、間隙函數(shù)、傳動誤差和外激振力展成為多項諧波，用諧波平衡法求解。Padmanabhan和Singh1995年基于打靶法提出了一個求解非線性微分方程的參數(shù)連續(xù)法，該方法將微分方程周期問題的求解用打靶法變?yōu)榉蔷�性特征值問題的求解，然后用連續(xù)法求解這組參數(shù)的非線性方程。這是一個很好的方法，它可以用于少自由度的情況。他們后來用這一方法分別求解了具有間隙的離合器問題，并發(fā)現(xiàn)了更多的非線性現(xiàn)象如分岔、亞諧波、準(zhǔn)周期解和混沌解等。這種方法在少自由度的情況下是比較有效的，對于多自由度的情況尚需進(jìn)一步探討。Kahraman和Blankenship1997年給出了一個具有間隙、周期時變參數(shù)和外部激勵聯(lián)合作用的非線性系統(tǒng)振動的實(shí)驗結(jié)果，證實(shí)了躍遷現(xiàn)象和亞諧波共振和混沌現(xiàn)象的存在，并給出了一個形成奇怪吸引因子的poincare圖。
以上是具有間隙存在的非線性方程求解方法發(fā)展的主線。另外，其他學(xué)者也作了許多很好的工作，如Amabili和Rivota1997年提出了一個低接觸比且具有時變阻尼的單自由度振動模型。Cai在1995年通過引入新的剛度函數(shù)建立了一個單自由度斜齒輪振動模型。許多力學(xué)和數(shù)學(xué)工作者也對間隙非線性問題進(jìn)行了研究，如Lau和Zhang用增量諧波平衡法，霍麟春和李驪用三變量迭代法求解了間隙振動問題。這些方法都是很巧妙，但直接用于齒輪系統(tǒng)還有很多困難。
齒輪修形是降低振動的一個最重要的手段。方宗德1992年提出了斜齒輪三維修形的優(yōu)化方法，Lin在1994年提出了一個線性和拋物線齒廓修形方法，Yoon和Ran在1996年提出了一個三次樣條修形方法。
(3)多自由度振動模型
齒輪動力學(xué)的模型建立可分為2類：一類是上節(jié)敘述的單自由度和少自由度模型，這種模型求解方法可以比較精細(xì)，以便了解非線性振動的更多物理現(xiàn)象。另一類是多自由度模型，這種模型通常忽略了間隙的存在，且求解方法大都為近似的線性化方法，以期了解總體的振動特性。有關(guān)斜齒輪多自由度振動模型，最具代表性的是Blankenship和Singh(1995)及Velex和Maattar(1996)建立的14個自由度的非線性模型。在Blankenship和Singh的模型中，用了3個位移坐標(biāo)和3個轉(zhuǎn)動坐標(biāo)來控制齒輪位置，并用同樣6個微振動坐標(biāo)來控制相應(yīng)方向的振動，總的振動方程較為復(fù)雜。在Velex和Maattar的模型中，考慮了齒形偏差，安裝誤差和輪齒變形對振動的影響。方程建立的思路很清晰，想法也很好，是一個很好的斜齒輪動力學(xué)模型。多自由度非線性問題的求解主要是數(shù)值積分法和使方程線性化后使用線性振動的一些方法。數(shù)值積分法是一種廣泛被采用的求解方法，它的主要困難在于全部穩(wěn)態(tài)解初值的選取，對于一個大自由度系統(tǒng)，獲得一個較大范圍的初值圖的工作量是巨大的。另一方面還有解的穩(wěn)定性、多值性及在求解系統(tǒng)周期解時，在接近轉(zhuǎn)折點(diǎn)或分岔點(diǎn)時收斂速度會非常低等問題。近似的線性化方法可以使得求解非常方便，但其代價是丟失了許多有價值的解。
3 研究方向及建議
3.1 曲齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪非線性振動的研究方向
(1)單自由度方程的建立
只考慮扭轉(zhuǎn)振動，建立曲齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪的單自由度方程。在此方程中還考慮間隙和傳動誤差的影響。此時簡化后的等效剛度、等效阻尼及等效外力均為時變的。單自由度的方程雖然比較簡單，但很容易得出各個參數(shù)對系統(tǒng)振動的影響水平。
(2)多自由度微分方程的建立
建立包括間隙、傳動誤差和時變嚙合剛度的多自由度微分方程。這個方程中還包括支承及輸入輸出轉(zhuǎn)動慣量，以期全面研究結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)振動的影響。
(3)統(tǒng)一方程的建立
建立一個幾何、力學(xué)和動力學(xué)統(tǒng)一的方程。它架起了力學(xué)和幾何研究相聯(lián)系的橋梁。該方程中至少應(yīng)包含齒形幾何誤差、輪齒變形及安裝誤差等，以期使齒輪系統(tǒng)的承載能力及振動應(yīng)力水平等指標(biāo)達(dá)到最佳。
(4)非線性振動微分方程解法的研究
由于曲齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪幾何和力學(xué)上的復(fù)雜性，求解由此建立的微分方程十分復(fù)雜。目前求解單自由度微分方程主要有諧波平衡法和連續(xù)參數(shù)法等。求解多自由度微分方程主要有線性化法、連續(xù)參數(shù)法等。這些方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，因此需要進(jìn)一步研究更有效的非線性方程的解法。
3.2 曲齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪抗振問題研究方向的建議
鑒于曲齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪幾何和力學(xué)上的復(fù)雜性，曲齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪的抗振問題研究可從多方面進(jìn)行。
(1)齒形設(shè)計
以齒輪某一嚙合性能為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，使齒輪的嚙合性能達(dá)到最佳。譬如，使用“非零傳動”技術(shù)，可對變位系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，增加齒輪嚙合時的輪齒重合度，從而達(dá)到抗振的目的。
(2)系統(tǒng)學(xué)
對于一個確定的齒輪傳動系統(tǒng)，參與嚙合的齒輪對數(shù)、齒數(shù)、軸承及軸的幾何參數(shù)等雖然是已知的，但各因素之間的關(guān)聯(lián)程度及其對振動的影響程度則是未知的，所以適合用灰色系統(tǒng)理論加以研究。還可用TCA、LTCA或?qū)嶒灲Y(jié)果作為驗證。
(3)加工
以齒輪的傳動誤差為目標(biāo)，對初算的齒輪加工參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，使齒輪在嚙合時的沖擊最小，從而達(dá)到抗振的目的。
