摘 要 目的 研究基于Stewart機(jī)構(gòu)的并聯(lián)加工機(jī)的插補(bǔ)算法。方法 利用通常的時間分割插補(bǔ)算法思想和并聯(lián)加工機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動學(xué)模型，求解刀具運(yùn)動軌跡與6根伸縮桿之間的關(guān)系，導(dǎo)出一種插補(bǔ)算法，并采用面向?qū)ο蟮某绦蛟O(shè)計(jì)方法編制仿真軟件，通過計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證該插補(bǔ)算法的可用性。結(jié)果與結(jié)論 對球面類和雙曲面類零件加工過程仿真結(jié)果表明，所提出的插補(bǔ)算法是正確、實(shí)用的，為并聯(lián)加工機(jī)提供一種新的可行的插補(bǔ)算法。
關(guān)鍵詞 Stewart機(jī)構(gòu)；并聯(lián)加工機(jī)；逆運(yùn)動學(xué)；插補(bǔ)算法；軌跡規(guī)劃
分類號 TH161.22；TP271.2
Interpolation Algorithm of Parallel Connected
Machine Tool Based on Stewart Mechanism
Zhang Junliang Zhang Jianmin Hao Juan Jiang Ming Wang Xinyi
(School of Mechanical Engineering and Automation, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081)
Abstract Aim To research the interpolation algorithm of parallel connected machine tool based on stewart mechanism.Methods The common idea of time-discrete interpolation algorithm and the inverse kinematics model of parallel connected machine tool were used to evaluate the relation between tool motion path and six telescopic legs and to derive one kind of interpolation algorithm.Object oriented program design method was adopted to work out the simulation software and the availability of the interpolation algorithm was testified by computer simulation.Results and Conclusion Simulation results of machining process of sphere parts and one-sheet-hyperboloid parts show that the interpolation algorithm proposed is correct and practical, providing a new and feasible interpolation algorithm for parallel connected machine tool.
Key words stewart mechanism; parallel connected machine tool; inverse kinematics; interpolation algorithm; path planning
基于Stewart機(jī)構(gòu)的并聯(lián)加工機(jī)是一種新穎的、具有廣闊前景的機(jī)床。與普通數(shù)控機(jī)床相比具有幾個顯著的特點(diǎn)：切削力由6根軸承擔(dān)，且僅受拉力或壓力，因而機(jī)床變形小，承載能力強(qiáng)；機(jī)構(gòu)剛度好，運(yùn)動部件的重量輕，故慣性小，可以進(jìn)行較高的加減速運(yùn)動；沒有導(dǎo)軌，可以排除通常的幾何誤差及磨損等對精度的影響，因此可獲得很高的加工精度。
由于求解Stewart機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動學(xué)［1，2］(根據(jù)末端工具的位置和姿態(tài)，求解各個關(guān)節(jié)變量的值)較簡單，且符合機(jī)構(gòu)位置控制思想。故可利用該特點(diǎn)建造并聯(lián)加工機(jī)的逆運(yùn)動學(xué)模型。
1 并聯(lián)加工機(jī)逆運(yùn)動學(xué)
并聯(lián)加工機(jī)的逆運(yùn)動學(xué)由兩部分組成，即Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動學(xué)和刀具位姿與并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺位姿之間的關(guān)系。
Stewart機(jī)構(gòu)簡圖如圖1所示。設(shè)動平臺中心O′和動平臺的球鉸中心Pi點(diǎn)在固定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xO,yO,zO)T,(xi,yi,zi)T，而Pi點(diǎn)在動坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xPi,yPi,zPi)，定平臺的球鉸中心bi在固定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(di,ei,fi)(i=1,2,…,6)，則下式成立：
［xi yi zi］T=T［xPi yPi zPi］T+［xO yO zO］T， (1)
圖1 Stewart機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖
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式中 T是用歐拉角α，β，γ表示的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，
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(2)
由兩點(diǎn)間的距離公式得出
(3)
設(shè)在與動平臺固聯(lián)的動坐標(biāo)系中，刀具刀尖點(diǎn)Pt的相對坐標(biāo)為(xPt,yPt,zPt)=(0,0,-lt),lt為刀尖至O′的距離。則
［xO yO zO］T=T［xt yt zt］T+［T13 T23 T33］Tlt�！ �(4)
設(shè)刀具軸線的單位矢量為nx,ny,nz,刀具與固定坐標(biāo)系坐標(biāo)軸的方向余弦角為θx,θy,θz。
因?yàn)樾D(zhuǎn)矩陣式(2)的最后一列正好是動坐標(biāo)系z軸的單位矢量，所以也與刀具軸線的單位矢量相重合。
α=±arcsin(cosθx/sinθz), β=±θz。 (5)
當(dāng)ny≥0時，式(5)取負(fù)號；當(dāng)ny＜0時，式(5)取正號。當(dāng)歐拉角γ=-α時，動平臺不繞剛體坐標(biāo)系z軸轉(zhuǎn)動，這樣既減少了運(yùn)算量，又在很大程度上避免6根伸縮桿之間的干涉。
2 基于并聯(lián)加工機(jī)逆運(yùn)動學(xué)的時間分割插補(bǔ)算法
時間分割法即數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)法［3］，是把加工一段直線或圓孤的整段時間細(xì)分為許多相等的時間間隔，稱為單位時間間隔(或插補(bǔ)周期)。每經(jīng)過1個單位時間間隔進(jìn)行1次插補(bǔ)計(jì)算，算出在這一時間間隔內(nèi)各坐標(biāo)軸的進(jìn)給量，邊計(jì)算邊加工，直到加工終點(diǎn)。此算法的核心是求刀具運(yùn)動軌跡與6根伸縮桿之間的幾何關(guān)系。
2.1 直線插補(bǔ)算法
選定CNC的插補(bǔ)周期及確定進(jìn)給速度之后，輪廓步長f就隨之確定。因此，只要求出各插補(bǔ)周期末刀具的位置和姿態(tài)即可用逆運(yùn)動學(xué)公式求出6根桿的伸縮增量，直線插補(bǔ)示意圖示于圖2。
圖2 直線插補(bǔ)示意圖
設(shè)直線
與z軸的夾角為γ，其投影與x軸的夾角為α，則輪廓步長f(
)在3個坐標(biāo)軸上的投影為fsinγcosα，fsinγsinα，fcosγ。設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(xB,yB,zB)，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為
xC=xB+fsinγcosα,yC=yB+fsinγsinα,zC=zB+fcosγ． (6)
刀具有定姿態(tài)和變姿態(tài)兩種給定方式：定姿態(tài)方式不需要計(jì)算旋轉(zhuǎn)矩陣，運(yùn)算量較��；變姿態(tài)方式需要求出插補(bǔ)周期末刀具的姿態(tài)，計(jì)算旋轉(zhuǎn)矩陣，運(yùn)算量較大。有了刀具的位姿即可用逆運(yùn)動學(xué)公式求6根伸縮桿的伸縮增量［4］。
2.2 圓弧插補(bǔ)算法
圓弧插補(bǔ)也需要求出插補(bǔ)周期末刀尖的坐標(biāo)和刀具的姿態(tài)。圓弧插補(bǔ)示意圖如圖3所示。設(shè)圓弧所在平面過z軸，并且圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合。則輪廓步長f(
，并設(shè)
，)在3個坐標(biāo)軸上的投影為fcos(γ+Δγ/2)cosα，fcos(γ+Δγ/2)sinα，-fsin(γ+Δγ/2)，Δγ=f/r(r為圓弧半徑)。
圖3 圓弧插補(bǔ)示意圖
設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(xB,yB,zB)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為
(7)
空間曲面(以球頭銑刀銑球面為例)的加工，一般選擇刀具的姿態(tài)(刀具軸線)與圓弧所在曲面的切平面垂直，根據(jù)曲面方程確定刀具的姿態(tài)。刀具的位姿確定后，運(yùn)用逆運(yùn)動學(xué)求6根伸縮桿的伸縮增量。
由于插補(bǔ)算法中包含Stewart機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動學(xué)運(yùn)算，直線插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)的計(jì)算量都比數(shù)控機(jī)床的直線插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)計(jì)算量大。這說明基于空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)機(jī)床的機(jī)械結(jié)構(gòu)非常簡單，而數(shù)學(xué)分析非常復(fù)雜［5，6］。
3 仿 真
該仿真程序采用面向?qū)ο蟮某绦蛟O(shè)計(jì)方法，用Visual C++ MFC編寫。目的是為了檢驗(yàn)機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動學(xué)模型及插補(bǔ)算法的正確性。用球面類零件檢驗(yàn)圓弧插補(bǔ)算法，用單葉雙曲面類零件來檢驗(yàn)直線插補(bǔ)算法。圖4為6桿插補(bǔ)算法的流程框圖。Stewart機(jī)構(gòu)參數(shù)為：動平臺半徑為400mm，定平臺半徑為500mm，兩平臺長短邊比均為0.365，伸縮軸的最大長度為1500mm，最短長度為600mm，軸的直徑為40mm。對于球面類零件取半徑為100mm，角度為60°，位置為980mm。刀具長度為30mm，直徑為5mm。對于單葉雙曲面類零件取半徑為100mm，角度為20°，位置為980mm。刀具長度為200mm，直徑為5mm。通過仿真，驗(yàn)證了基于并聯(lián)加工機(jī)逆運(yùn)動學(xué)模型的插補(bǔ)算法的正確性。
圖4 插補(bǔ)算法流程框圖
