摘要：通過對正常齒輪和裂紋齒輪進行動力學仿真研究，發(fā)現(xiàn)裂紋齒輪的固有頻率要比正常齒輪有明顯的降低；進一步研究裂紋深度對齒輪動力學特性的影響，提出了一種診斷齒輪裂紋故障的新方法，并用試驗驗證了該方法的有效性。
關鍵詞：漸開線齒輪；故障建模；裂紋；固有頻率；模態(tài)分析
齒輪傳動是機械傳動的主要形式之一，被廣泛地應用于冶金、石化、礦山、交通運輸?shù)裙I(yè)部門中。但由于齒輪所處的工作環(huán)境惡劣等原因，很容易受到損害和出現(xiàn)故障。據(jù)統(tǒng)計，傳動機械中80%的故障是由齒輪引起的。齒輪的故障將直接影響設備的安全可靠運行，甚至導致整個系統(tǒng)的癱瘓。因此，對齒輪的工作狀態(tài)的監(jiān)測及故障診斷技術的研究越來越受到人們的重視。
齒輪的失效形式多種多樣，其中較常見的裂紋失效是比較嚴重的一種失效形式，裂紋進一步擴展，就可能導致輪齒疲勞折斷，甚至引起整個齒輪的完全失效。因此，對裂紋進行故障機理分析，尋找一種有效的診斷裂紋故障的方法，對齒輪的故障診斷是相當重要的。
長期以來，人們在齒根裂紋的診斷方法方面已進行了大量的研究，并取得了很多的成果。常規(guī)的診斷方法是振動頻譜分析，它以傳統(tǒng)的振動理論為依據(jù)，利用診斷儀器對其振動的數(shù)據(jù)和波形進行采集，然后進行分析診斷，找出故障的原因和所在部位。但這樣做的前提條件是故障模型的建立要足夠準確，才能對故障狀態(tài)下的振動信號進行正確的識別，這種方式則需要求診斷人員具有較豐富的故障診斷經(jīng)驗。
本文從齒輪動力學角度出發(fā)，研究了裂紋深度對齒輪固有頻率的影響，結(jié)果表明，可以將固有頻率作為齒輪裂紋故障的一個診斷指標。同時，通過文獻可以知道，齒輪的異常振動會激起齒輪本身的固有頻率。因此，如果能夠精確計算出正常和裂紋齒輪的固有頻率值，并且能夠在齒輪工作的條件下將其提取出來，對于齒輪的故障診斷工作將有重要的實際意義。
1齒輪有限元模態(tài)分析
模態(tài)分析主要用來確定構件或系統(tǒng)的振動特性即固有頻率和振型。
1.實體模型的建立
漸開線齒輪建模的難點是如何比較精確地反映出漸開線廓形和齒根過渡圓角，為了力求較高的計算精度，本文采用在ANSYS中直接建模的方式，其操作流程為。
1）編程生成若干齒廓關鍵點；
2）形成一些過渡曲線關鍵點；
3）連點成線，生成較精確的漸開線廓形；
4）鏡像，生成二維完整齒輪模型；
5）拉伸成體；
6）對模型進行網(wǎng)格劃分。
所建立的齒輪模型的幾何參數(shù)為：齒數(shù)Z=20，模數(shù)m=4，齒寬b=10mm。材料屬性為：楊氏彈性模量E=2.09E11N/m2，泊松比μ= 0.259，材料密度ρ=7.85E3kg/m2。在劃分網(wǎng)格時，采用Solid73單元類型和自由網(wǎng)格劃分方法，得到如圖1所示的有限元模型。
文獻在ANSYS環(huán)境下對齒輪齒根裂紋進行了擴展模擬，模擬結(jié)果與實際很吻合。本文在建立裂紋齒輪的模型時，裂紋開口方向和裂紋長度的選取均參照了上述文獻所提出的方法，只不過考慮到裂紋加工的方便性，用矩形裂紋代替了圓弧裂紋，裂紋的局部放大圖如圖2所示。裂紋齒輪單元類型和網(wǎng)格劃分方式的選取，均同正常齒輪相同。圖中裂紋的深度為5mm，寬度為 0.3mm。
1.2約速及加載
工作條件下，齒輪和傳動軸之間為過盈配合，因此本文的邊界條件約束了齒輪內(nèi)表面各節(jié)點X，Y，Z方向的平動自由度和繞X，Y軸的轉(zhuǎn)動自由度。模態(tài)是由系統(tǒng)固有特性決定的，與外載荷無關，因此不需要設置載荷邊界條件。
1.3結(jié)果分析
本文采用子Block Lanczos法提取了正常齒輪和裂紋齒輪的前10階自由振動的模態(tài)，由于篇幅限制，表1只列出了前6階固有頻率值。
表1 齒輪的固有頻率值 Hz
|
模態(tài) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
正常
裂紋 |
293.6
250.1 |
294.8
250.5 |
305.0
262.7 |
337.5
287.5 |
337.7
288.8 |
409.3
400.3 |
從表1可以看出，裂紋齒輪比正常齒輪的固有頻率值明顯降低。
考慮公式
，其中 為固有頻率，K為剛度，M為質(zhì)量。當裂紋出現(xiàn)時，齒輪的質(zhì)量并沒有明顯的改變，所以由公式可以推出， 的降低是由于齒輪剛度的下降引起的，這就是為故障齒輪系統(tǒng)的建模提供了一個依據(jù)。
2裂紋深度變化對固有頻率的影響
為進一步研究裂紋對構件動力學特性的影響，本文對齒輪齒根裂紋作了更深入的仿真，仿真過程主要針對不同裂紋深度的齒輪展開（深度從小到大，共仿真了14組數(shù)據(jù)），對各齒輪均提取了其前10階固有頻率值。各階固有頻率隨裂紋深度變化的趨勢圖如圖3所示，其中橫坐標代表裂紋深度比（裂紋深度和齒根處齒厚之比）；縱坐標為裂紋齒輪和正常齒輪的固有頻率比。為便于觀察，本文僅畫出了前7階固有頻率隨裂紋深度變化的趨勢圖，如圖3所示。
從圖3可以看出，隨著裂紋深度的增加，固有頻率呈現(xiàn)明顯的下降趨勢，尤其是前幾階固有頻率受裂紋的影響程度較大。
3試驗驗證
3.1實測齒輪箱振動信號
為了模仿齒根裂紋，用線切割機在齒根過渡圓角危截面處全齒寬上切割寬0.3mm，深度分別為2mm，3mm，4mm和5mm的裂紋。
有限元仿真的正常齒輪的第10階固有頻率為708.17Hz，由采樣定理，取采樣頻率為2048Hz就可以了，采樣點數(shù)取為2048，輸入軸齒輪齒數(shù)z1=20，輸出軸齒輪齒數(shù)z2=30，輸入軸的回轉(zhuǎn)頻率為ƒr1=18.55Hz，因此嚙合頻率ƒm=371Hz。圖4和圖5分別給出了正常齒輪和裂紋齒輪（裂紋深度為4mm）的振動信號時域波形圖。
3.2模態(tài)參數(shù)的提取方法
通過前面的分析可以知道，齒輪發(fā)生裂紋故障時，其模態(tài)參數(shù)（固有頻率）將會發(fā)生顯著的變化，因此可以考慮將固有頻率作為診斷齒輪裂紋故障的一個重要參數(shù)。
常用的模態(tài)分析方法有2種，即有限元理論分析法和試驗模態(tài)分析法。
有限元理論分析法建立的結(jié)構動力學模型，不能足夠準確的反映實際情況，因此計算的結(jié)果會有一定的偏差，但可將有限元計算結(jié)果作為試驗分析的參考值，進行信號的預處理。
傳統(tǒng)的試驗模態(tài)分析法往往是通過測量工程結(jié)構在非工作狀態(tài)下的激振力和響應，進而采用頻響函數(shù)和脈沖響應函數(shù)來識別模態(tài)參數(shù)。但是對于像齒輪箱這樣復雜的機械系統(tǒng)，實現(xiàn)上述測量常常會面臨如下困難：激振力的測量難實現(xiàn)；有些情況還不允許停機測試。本文提取模態(tài)參數(shù)的目的是為了將其用于故障識別，因此，需要尋找一種在線模態(tài)識別方法。
利用振動信號直接進行模態(tài)參數(shù)識別的常用方法有Ibrahim時域法、ITD法、最小二乘復指數(shù)法、多參考點復指數(shù)法、特征系統(tǒng)實現(xiàn)法和ARMA時序分析法。本文采用ARMA時序分析法對齒輪箱振動信號進分析，進而提取系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。在以往進行頻域譜分時，常由于信號截斷而引起泄露，出現(xiàn)旁瓣、分辨率低及信號被淹沒等缺陷，而時間序列分析則與頻域譜分析不同，由于時序譜是動態(tài)譜，觀測數(shù)據(jù)能外延，因此不會由于觀測數(shù)據(jù)的樣本長度有限而產(chǎn)生上述缺陷。
3.3ARMA時序分析法原理
時間序列分析首先由觀測數(shù)據(jù)擬合一個時序模型，然后對該模型進行分析研究，從而得出觀測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性。由于實測時間序列反映了系統(tǒng)工作的動態(tài)過程，因此蘊含著系統(tǒng)的固有特性。建立時序參數(shù)模型的目的，就是把系統(tǒng)本身固有的特性很好地表達出來。
N個自由度的線性系統(tǒng)激勵與響應之間的關系可用高階微分方程描述，在離散時間域內(nèi)，該微分方程變成由一系列不同時刻的時間序列表示的差分方程，即ARMA時序模型方程：
式（1）表示響應數(shù)據(jù)序列Xt與歷史值Xt-k，的關系，其中等式左邊為自回歸（AR）模型，右邊為滑動均值（MA）模型，2N為自回歸和滑動均值模型的階次，ak、bk分別表示待識別的自回歸系數(shù)和滑動均值系數(shù)，ft-k為白噪聲激勵。
運用ARMA時序法識別模態(tài)參數(shù)首先要估算系數(shù)ak和bk的值，本文利用Prony方法對時間序列響應進行擬合獲得ARMA模型的參數(shù)（可以通過調(diào)用MATLAB中的prony函數(shù)實現(xiàn)）。當求得自回歸系數(shù)ak和滑動均值系數(shù)bk后，通過ARMA模型傳遞函數(shù)的表達式計算系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，ARMA模型的傳遞函數(shù)為：
用代數(shù)方程求解法計算分母多項式方程的根：
求解得到的根為傳遞函數(shù)的極點，他們與系統(tǒng)的模態(tài)頻率ωk和阻尼比的關系為：
由式（4）可求得模態(tài)頻ωk和阻尼比，即：
3.4模態(tài)參數(shù)提取結(jié)果
本文首先用有限元法計算了試驗齒輪的前10階固有頻率，并將其作為確定實際信號帶通濾波上下限的依據(jù)，然后用ARMA時序分析法對濾波后的信號進行處理，提取了不同裂紋深度的齒輪的前5階固有頻率值見表2。
表2 試驗提取的固有頻率值 Hz
|
模態(tài) |
裂紋深度 |
|
2mm |
3mm |
4mm |
5mm |
|
1 |
259 |
257 |
255 |
241 |
|
2 |
303 |
300 |
295 |
290 |
|
3 |
367 |
360 |
359 |
352 |
|
4 |
454 |
452 |
444 |
434 |
|
5 |
531 |
530 |
524 |
524 |
從表2的模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果來看，隨著裂紋深度的增加，提取到的固有頻率值也會有所降低，因此將固有頻率作為齒輪裂紋故障的診斷參數(shù)是可行的。
4結(jié)語
本文提出的方法避免了傳統(tǒng)方法診斷所帶來的不便之處，并且可以有效地診斷齒輪的齒根裂紋故障診斷中。對于其它類型的故障（如點蝕、磨損等）的診斷，本文也可以為其提供一個很好的參考思路和診斷方法。
