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3.1彈性聯(lián)軸器的剛度和阻尼
彈性聯(lián)軸器由于具有能產(chǎn)生較大彈性變形和阻尼作用的彈性元件，因此除能補(bǔ)償兩軸相對位移外，還能起緩沖和吸振的作用。彈性聯(lián)軸器能適應(yīng)載荷的波動，所以其應(yīng)用較廣，類型也較多。這種聯(lián)軸器的緩沖和吸振性能主要與其剛度和阻尼有關(guān)。

聯(lián)軸器的剛度可分為徑向剛度、周向剛度和扭轉(zhuǎn)剛度。由于載荷變化多數(shù)以扭矩波動形式出現(xiàn)，由此引起的振動也是以扭轉(zhuǎn)振動為主，所以聯(lián)軸器最主要的剛度是扭轉(zhuǎn)剛度。扭轉(zhuǎn)剛度易產(chǎn)生單位扭轉(zhuǎn)變形所需的扭矩表示。通常，由于傳動軸系中其它零件的剛度都比彈性聯(lián)軸器的剛度大得多。所以為了簡化起見，其它零件的彈性可以略去不計。僅考慮聯(lián)軸器彈性，并根據(jù)這一情況以聯(lián)軸器的剛度作為傳動軸系的剛度。剛度可用下式表示：
C=T/                                  （3-1）

式中T——聯(lián)軸器傳遞的扭矩；

——在扭矩作用下兩半聯(lián)軸器的相對扭轉(zhuǎn)角。
當(dāng)軸系接近發(fā)生共振時，剛度隨扭矩增大而增大，改變傳動軸系的固有頻率與振動頻率之間的關(guān)系，就能避開共振。
彈性聯(lián)軸器在傳遞不穩(wěn)定扭矩的過程中，彈性元件的彈性變形隨扭矩的改變而增減。由于變形的不穩(wěn)定，在彈性元件相對運(yùn)動的接觸表面上產(chǎn)生外摩擦，同時在彈性元件內(nèi)部還存在內(nèi)摩擦。這些摩擦將吸收一部分動能轉(zhuǎn)化為熱能，使溫度升高。這就是聯(lián)軸器的阻尼作用。阻尼作用能實現(xiàn)緩沖和衰減振動。聯(lián)軸器的阻尼性能可以用阻尼系數(shù)表示。它是每一次載荷循環(huán)中產(chǎn)生的阻尼能和儲存在扭轉(zhuǎn)彈性元件中的變形能之比，即ф=W_d/W_e。在振動運(yùn)動微分方程中，粘滯阻力系數(shù)用y來表示，它與阻尼系數(shù)之間的關(guān)系為Y= ，ω為振動頻率或繞動力矩變化頻率。阻尼系數(shù)大，由于摩擦而消耗的能量就多，反之，阻尼系數(shù)小，由于摩擦而消耗的能量就少。
彈性聯(lián)軸器一般都有緩沖和吸振功能，但是具有某一定值彈性的聯(lián)軸器，并不是在任意的變扭矩作用下都能產(chǎn)生減振的效果，有時反而會引起更強(qiáng)烈的振動。其原因不在于此聯(lián)軸器的剛度大小�？梢�，只有剛度和整個傳動軸系的其他參數(shù)和載荷協(xié)調(diào)時，才能產(chǎn)生減振效果。因此，必須根據(jù)課題條件，通過計算來定出聯(lián)軸器的剛度。

3.2周期性載荷作用下的動力特性計算

對于某一已定的傳動軸系，轉(zhuǎn)動慣量和固有頻率可由計算求得，如果已知所傳扭矩的變化規(guī)律，如振幅和頻率等，就能建立起軸系在扭轉(zhuǎn)振動式的運(yùn)動微分方程，對該方程求解，即可得到所需的聯(lián)軸器的剛度。
為了便于求解運(yùn)動微分方程，需要對傳動軸系中聯(lián)軸器的主動和從動兩側(cè)的轉(zhuǎn)動慣量和剛度作力學(xué)模型的簡化。根據(jù)具體結(jié)構(gòu)情況，可以將軸系簡化為若干個等效轉(zhuǎn)動慣量圓盤，以具有某一剛度的周聯(lián)系起來。通常比較典型的是簡化為兩個等效的圓盤，配置在聯(lián)軸器的兩側(cè)。并設(shè)定所聯(lián)兩軸的剛性很大，只有聯(lián)軸器具有彈性和阻尼。如圖3.1所示

設(shè)定主動軸與圓盤1以恒扭矩經(jīng)聯(lián)軸器帶動從動軸上的圓盤2，而在從動圓盤上有按簡諧規(guī)律變化的擾動扭矩分量。此時，根據(jù)動量矩定理，按聯(lián)軸器兩側(cè)力矩平衡條件，可以分別列出兩圓盤的轉(zhuǎn)動運(yùn)動方程式，即系統(tǒng)扭振的微分方程為：
                                               （3-2）

                                   （3-3）

式中 ， ——主從動圓盤的轉(zhuǎn)角

--兩圓盤的相對扭轉(zhuǎn)角

I₁,I₂——主、從動軸上圓盤的等效轉(zhuǎn)動慣量

， ——主、從動軸的角速度

， ——主、從動軸的角加速度

C——聯(lián)軸器的剛度
r——聯(lián)軸器粘滯阻力系數(shù)
T_d2sinωt——從動軸圓盤上的擾動扭矩
以上兩式合并得到二階常系數(shù)線性非其次微分方程

上式的解由兩部分組成，即對應(yīng)的其次方程的通解和本方程的特解。經(jīng)運(yùn)算后可得到聯(lián)軸器所受的諧振扭矩為：

當(dāng)sin（ωt+a）=l時，表示諧振扭矩達(dá)到最大值：

由上式可知，在有阻尼的受迫振動中，經(jīng)連軸器傳遞振動扭矩的振幅，主要與動力放大系數(shù)和轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)。當(dāng)擾動扭矩作用一側(cè)的轉(zhuǎn)動慣量大于另一側(cè)的轉(zhuǎn)動慣量時，可以減小振動扭矩的振幅。反之，對減小振動扭矩振幅的作用不大。動力放大系數(shù)對振動扭矩振幅的影響與阻尼系數(shù)、擾動扭矩的變化頻率及軸系固有頻率的比值等有關(guān)。當(dāng)阻尼系數(shù)一定時，振動扭矩的振幅僅與軸系的固有頻率有關(guān)，即與聯(lián)軸器的剛度有關(guān)。

以下分幾種不同的擾動扭矩變化頻率與軸系固有頻率的比值，分析對振動扭矩振動的影響。為了簡便起見，不計阻尼系數(shù)，即 項等于零。

(l）當(dāng) =0,或 ，動力放大系數(shù)K_d總大于1。

這表示經(jīng)聯(lián)軸器的振動扭矩沒有放大，前一種情況相當(dāng)于沒有擾動扭矩，或者可認(rèn)為軸系的固有頻率為無限大，即聯(lián)軸器為絕對剛性體，其剛度C無限大。后一種情況表示聯(lián)軸器具有一定的剛度，軸系的固有頻率與擾動扭矩的變化頻率的比值剛好為 。

(2）當(dāng)0＜ ＜ 時，動力放大系數(shù)K_d總大于1。

表示在該擾動扭矩的變化頻率下，聯(lián)軸器的剛度還太大，而彈性不夠，不能起到減振的作用，以致使經(jīng)聯(lián)軸器傳遞的振動扭矩增大。若 ，則K_d=∞,這表明經(jīng)過聯(lián)軸器傳遞振動扭矩的振幅達(dá)到無限大，也就是說，軸系發(fā)生扭轉(zhuǎn)共振。此時如有阻尼存在，則動力放大系數(shù)為K_d=

即不會使扭轉(zhuǎn)振動的振幅無限增大。但是通常 都是大于1，因此即使有阻尼，扭振還是存在，阻尼對傳動系統(tǒng)的影響程度，完全取決阻尼系數(shù)的大小。
(3）當(dāng) ＞ 時，動力放大系數(shù)K_d＜1。
表示只有在固有頻率為擾動扭矩的變化頻率的萬倍時，彈性聯(lián)軸器才能起到減振的效果。頻率比值 >> ，意即采用剛度很小的彈性聯(lián)軸器，這樣動力放大系數(shù)可降到很小值，這對減振的效果最好，但是卻過分降低了聯(lián)軸器的承載能力。此外當(dāng)比值過分大時，也有可能與較高一階的共振頻率接近，仍會引起共振。因此，聯(lián)軸器的剛度也不宜過分小。

3.3沖擊載荷作用下的動力特性
機(jī)械可能受到周期性的擾動扭矩作用而引起軸系振動，也可受非周期性的擾動扭矩作用而引起軸系振動。例如有沖擊載荷引起的軸系振動。在許多機(jī)械上，比較常見的是沖擊式作用的變載荷。對于從動軸上作用有常量沖擊載荷的情況，與前述情況相似，仍可通過根據(jù)沖擊載荷條件列出的運(yùn)動方程，得到在常量沖擊載荷作用下的物阻尼系統(tǒng)。有沖擊載荷產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)角為：

上式表明軸系有沖擊載荷作用時，經(jīng)聯(lián)軸器傳遞振動扭矩的大小，除與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)外，還與沖擊載荷作用的時間長短有關(guān)。以下為按沖擊載荷作用時間的長、短的兩種情況：
1.沖擊載荷突然作用后，在長時間內(nèi)保持不變，這樣的承載方式相當(dāng)于機(jī)械先空載起動，然后在滿載條件下工作。此時經(jīng)聯(lián)軸器傳遞的總扭矩為

T₁=T₀+ T_d2（1-cosft）                           （3-9）

式中T₀經(jīng)聯(lián)軸器傳遞的穩(wěn)定扭矩，T_d2表示作用在從動軸上的沖擊扭矩，當(dāng)t= 時，經(jīng)聯(lián)軸器傳遞的扭矩達(dá)到最大值：

上式表明，如果發(fā)生沖擊扭矩一側(cè)軸上的轉(zhuǎn)動慣量較小，經(jīng)聯(lián)軸器傳遞的扭矩接近于沖擊扭矩的2倍，聯(lián)軸器的振動周期T為：

在沖擊載荷作用下，聯(lián)軸器的彈性高低，對沖擊載荷引起，經(jīng)聯(lián)軸器傳遞最大扭矩的幅值并無影響。只是改變振動周期的長短。聯(lián)軸器的彈性愈高，固有頻率愈低，經(jīng)聯(lián)軸器傳遞的扭矩達(dá)到最大值的時間就愈長。因此，聯(lián)軸器的彈性對改善傳遞扭矩的平穩(wěn)性有利。影響聯(lián)軸器傳遞的扭矩最大值的因素之一，就是聯(lián)軸器兩側(cè)轉(zhuǎn)動慣量的比值。當(dāng)沖擊載荷作用一側(cè)軸系的轉(zhuǎn)動慣量大于另一側(cè)軸系的轉(zhuǎn)動慣量時，就能減小經(jīng)聯(lián)軸器傳遞的振動扭矩值。此外，當(dāng)聯(lián)軸器具有阻尼時，由于阻尼消耗了一部分沖擊能量，也可減小最大扭矩。
2.沖擊載荷突然增加后，只持續(xù)一段較短的時間t，就恢復(fù)正常值。當(dāng)沖擊載荷持續(xù)作用的時間t₁≥ ，即持續(xù)時間大于或等于固有頻率

的周期的一半時，經(jīng)聯(lián)軸器傳遞的扭矩仍然有時間達(dá)到最大值。因此，這種短時受沖擊載荷與沖擊載荷增加后在較長時間內(nèi)保持不變的情況一樣，在0＜t<t₁這一時間內(nèi)，經(jīng)聯(lián)軸器傳遞的扭矩，當(dāng)不計阻尼時，仍可用（3-1）計算。只有當(dāng)沖擊載荷作用時間t₁< ，才是屬于突然的短時間受沖擊載荷。此時經(jīng)聯(lián)軸器傳遞的振動扭矩仍可按上述方法得出有關(guān)計算式。

當(dāng)時間區(qū)間為O≤t≤t₁時（即沖擊載荷開始作用至消失時的時間）由沖擊載荷引起的兩半聯(lián)軸器的相對扭轉(zhuǎn)角為：

這與（3-9）相同，對于t≥t₁,即在沖擊載荷消失之后的某一時刻，以上兩式轉(zhuǎn)化成

如下形式：
因沖擊載荷引起的兩半聯(lián)軸器相對扭轉(zhuǎn)角：

由式（3-10）可知，在短時沖擊載荷作用下，聯(lián)軸器傳遞的最大扭矩隨t₁與f之間的關(guān)系而變。例如

由此可見，隨著沖擊載荷作用時間的縮短，經(jīng)聯(lián)軸器傳遞的最大扭矩也隨著減小�；蛘咴跊_擊載荷作用時間相同的條件下，只要所選聯(lián)軸器的彈性相當(dāng)大，使得軸系的固有振動頻率降低以達(dá)到保持> t₁，就能使經(jīng)聯(lián)軸器傳遞的最大變動扭矩小于沖擊扭矩。綜上所述，有沖擊載荷作用時，選擇具有彈性的聯(lián)軸器，能夠起到緩沖作用。需要多高的彈性，則與沖擊載荷持續(xù)作用的時間、軸系的轉(zhuǎn)動慣量等有關(guān)。一般聯(lián)軸器的承載能力，隨著彈性的增加而降低。因此，對于大型的和需要量較多的聯(lián)軸器，如果按上述方法選定聯(lián)軸器，則其尺寸和重量都有加大，從而增加制造成本并增加軸系的附加載荷。為此，當(dāng)沖擊載荷作用次數(shù)不多時，可以采用安全性聯(lián)軸器，或采用具有較高阻尼的彈性聯(lián)軸器。

3.4不對中時的運(yùn)動及動態(tài)特性
實際上可以將不對中分為冷態(tài)不對中和熱態(tài)不對中兩種情況。其中冷態(tài)不對中主要是指在室溫下由于安裝誤差造成的對中不良；熱態(tài)不對中指聯(lián)軸器在運(yùn)行過程中由于溫度等因素造成的不對中。其主要原因有：轉(zhuǎn)子各零部件受熱不均，使聯(lián)軸器產(chǎn)生熱膨脹變形和扭曲變形；發(fā)動機(jī)熱膨脹時由于表面的摩擦力及導(dǎo)向鍵磨損引起軸承座傾斜和側(cè)行；由于轉(zhuǎn)子的饒性和重量分配不均勻，轉(zhuǎn)子在安裝之后產(chǎn)生原始彎曲，進(jìn)而影響對中情況。

3.4.1不對中時的運(yùn)動分析

（1）當(dāng)轉(zhuǎn)子軸線存在軸向的位移時（如圖3.2），軸向位移只會產(chǎn)生附加的周向應(yīng)力，而不會影響轉(zhuǎn)子的運(yùn)動性。所以這里不進(jìn)行計算。

（2）當(dāng)轉(zhuǎn)子軸線之間存在徑向位移時（如圖3.3所示），聯(lián)軸器的中間套齒與半聯(lián)軸器組成移動副，不能相對轉(zhuǎn)動，但是中間套齒與半聯(lián)軸器產(chǎn)生相對滑動而作平面圓周運(yùn)動，即中間套齒的中心是沿著以徑向位移△y為直徑作圓周運(yùn)動，如圖3.4所示。

設(shè)A為主動轉(zhuǎn)子的軸心投影，B為從動轉(zhuǎn)子的軸心投影，K為中心齒套的軸心，那么有AK丄BK，設(shè)AB長度為D，K點(diǎn)的坐標(biāo)為K（x，y），取θ為自變量，如圖3.5所示。則有

則K的線速度為

由于中間套齒平面運(yùn)動的角速度等于轉(zhuǎn)軸的角速度，即 =ω，所以K點(diǎn)繞圓周中心運(yùn)動的速度為

由上式可知，K點(diǎn)的轉(zhuǎn)動為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動的角速度的兩倍，因此當(dāng)轉(zhuǎn)子高速運(yùn)動時，就會產(chǎn)生很大的離心力，激勵轉(zhuǎn)子產(chǎn)生徑向振動，其振動頻率為轉(zhuǎn)子工頻的兩倍。

（3）當(dāng)轉(zhuǎn)子軸線之間存在偏角位移時（如圖3.6），從動轉(zhuǎn)子的角速度與主動轉(zhuǎn)子角速度是不同的，從動轉(zhuǎn)子的角速度為

式中ω₁，ω₂——分另為主動轉(zhuǎn)子和從動轉(zhuǎn)子的角速度

a——從動轉(zhuǎn)子的偏斜角

ф₁——主動轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角

當(dāng)主動轉(zhuǎn)子的回轉(zhuǎn)角速度為常數(shù)時，從動轉(zhuǎn)子的角速度是偏角和主動轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角的函數(shù)。當(dāng)或ф₁=0⁰或180⁰時，ω₂最大，當(dāng)ф₂=90⁰獲270⁰時，ω₂最小。其轉(zhuǎn)速比變化曲線如圖3.8所示，即有ω₁cosa≤ω₂≤

由此可知，當(dāng)發(fā)動機(jī)或機(jī)組的轉(zhuǎn)子軸線發(fā)生偏角位移時，其傳動比不僅隨轉(zhuǎn)子每轉(zhuǎn)一周變動兩次，而且其變動的幅度雖偏角的增加而增大，因而從動轉(zhuǎn)子由于傳動比變化所產(chǎn)生的角加速度激勵轉(zhuǎn)子而發(fā)生振動，其徑向振動頻率也為轉(zhuǎn)子工頻的兩倍。

(4）實際旋轉(zhuǎn)機(jī)械的轉(zhuǎn)子聯(lián)軸器處既有平行不對中，又有偏角不對中，即為兩種情況的綜合，因而轉(zhuǎn)子發(fā)生徑向振動的頻譜特征是兩者綜合的結(jié)果，其徑向振動頻率為轉(zhuǎn)子工頻的兩倍。
3.4.2不對中時的動態(tài)特性
由上面的運(yùn)動分析可知，軸向不對中時對聯(lián)軸器的運(yùn)動情況可以忽略。所以動態(tài)特性分析也只考慮平行不對中、偏角不對中以及平行偏角不對中三種情況。
聯(lián)軸器連接的兩轉(zhuǎn)子軸線之間發(fā)生不對中故障時具有平行位移或角度位移，在運(yùn)動傳遞過程中，聯(lián)軸器中間齒套的運(yùn)動必須同時滿足兩半聯(lián)軸器的需要，即中間齒套軸線作平面運(yùn)動，且軸心線的回轉(zhuǎn)運(yùn)動頻率與轉(zhuǎn)子的運(yùn)行頻率不一致。當(dāng)產(chǎn)生平行不對中、偏角不對中和平行偏角不對中三種情況時，聯(lián)軸器中間齒套的軸線回轉(zhuǎn)軌跡分別為圖下圖所示的圓柱體、雙錐體和半雙錐體。在這些圖中，O₁，O₂為兩半聯(lián)軸器的軸心，O，O′為聯(lián)軸器中間套齒的靜態(tài)和動態(tài)回轉(zhuǎn)中心，△y，△a分別為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的平行和偏角不對中量。

對于上面圖中所示的三種情況，任意回轉(zhuǎn)輪廓的截面圖為一周，如圖3.12所示，O′的運(yùn)動軌跡可以描述為

X=△Esin（Ω′t-Ψ）                                         （3-24）

式中Ω——轉(zhuǎn)子的回轉(zhuǎn)角頻率

△E——當(dāng)量不對中量，△E= （平行不對中時）；

 

△E= （偏角不對中時）

Ψ——初始相位角，Ψ=2ф（平行不對中時）；

Ψ=2ф（偏角不對中時左端）；Ψ=2ф- （偏角不對中時右端）中間套齒對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)施加的激振力為

F_x=4M△EΩ²sin（Ωt-ф），F(xiàn)_y=4M△EΩ²cos2（Ωt-ф）                    （3-24）

工作狀態(tài)下聯(lián)軸器的動態(tài)特性如圖3.13所示，兩半聯(lián)軸器的中心為O₁和O₂，聯(lián)軸器外殼的動態(tài)中心為O′，當(dāng)系統(tǒng)以Ω轉(zhuǎn)動時，外殼重心的加速度在

其中△e=OO′為系統(tǒng)當(dāng)量不對中量，在轉(zhuǎn)軸的彈性力的作用下，由質(zhì)心運(yùn)動定理：m ₀=-kX，m ₀-kY，考慮到外阻力的作用

現(xiàn)在對結(jié)果進(jìn)行討論：
(1）當(dāng)r趨近于O時，動力放大系數(shù)M趨近于O；θ趨近于O，這表明，系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速較低時，其向應(yīng)振幅較小，且有較小的相位角。
(2）當(dāng)r=1/2時，系統(tǒng)發(fā)生共振，系統(tǒng)具有振幅最大值，該值的大小只與阻尼系數(shù)有關(guān)，與此同時，相位角為 。
(3）當(dāng)r趨近于∞時，動力放大系數(shù)M趨近去1，這表明，系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速較高時，其向應(yīng)振幅趨于穩(wěn)定。振幅并不隨激振力的迅速增加而加大，與此同時，相位角θ趨近于π，并逐漸保持穩(wěn)定。
3.5本章小結(jié)
本章通過引入聯(lián)軸器的剛度和阻尼，計算了彈性聯(lián)軸器在周期性載荷與沖擊載荷二的動力特性。在第四節(jié)中著重分析了平行不對中，偏角不對中以及平行偏角不對中的運(yùn)動與動力特性。
從各種不對中的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)分析可以得出如下結(jié)論：
(1）激勵力幅與不對中量成正比，隨不對中量的增加，激勵力幅則線性加大

(2）在不對中情況下，中間圓環(huán)的軸芯線相對于聯(lián)軸器的軸心線產(chǎn)生相對運(yùn)動，其中，平行不對中的回轉(zhuǎn)輪廓為一圓柱體，偏角不對中時為一雙錐體，平行偏角不對中時為半雙錐體�；剞D(zhuǎn)體的范圍由不對中量決定。
(3）聯(lián)軸器處于工作狀態(tài)時，無論是哪一種不對中形式，系統(tǒng)的響應(yīng)在轉(zhuǎn)速達(dá)到臨界轉(zhuǎn)速的一半時發(fā)生共振，振幅具有最大值。同時，相位角為
(4）系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速大于臨界轉(zhuǎn)速后，隨轉(zhuǎn)速的增加，其響應(yīng)振幅趨于穩(wěn)定，并不隨激勵力的迅速增加而增大。