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 管道穩(wěn)態(tài)裂紋擴(kuò)展模擬

2.1斷裂動(dòng)力學(xué)理論簡述
斷裂力學(xué)學(xué)科的先導(dǎo)者是A.A.Griffith，他在1920年首先提出將裂紋臨界擴(kuò)展的判據(jù)與裂紋的長度定量地聯(lián)系在一起，建立起脆斷理論的基本框架。斷裂力學(xué)的蓬勃發(fā)展則以1948年Irwin和Orowan分別獨(dú)立建立的工程材料脆性斷裂理論為標(biāo)志。
作為斷裂力學(xué)的一個(gè)重要分支，斷裂動(dòng)力學(xué)誕生的標(biāo)志是1948年英國物理學(xué)家N.F.Mott在Griffith理論中考慮動(dòng)能的影響后所發(fā)表的論文。1951年印度女科學(xué)家Elizabeth Yoffe最早給出了運(yùn)動(dòng)Griffith裂紋的解析解。然而斷裂動(dòng)力學(xué)中最重要基本概念的提出，系統(tǒng)分析方法的形成，以及相對(duì)成熟的實(shí)驗(yàn)研究方法的建立，是20世紀(jì)80年代以來的研究成果。本文的主旨是用數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)方法解決管道動(dòng)態(tài)斷裂評(píng)估問題。
2.1.1靜止裂紋與動(dòng)態(tài)擴(kuò)展
斷裂力學(xué)認(rèn)為在結(jié)構(gòu)中不可避免有類似裂紋的缺陷存在。在小變形、低能量耗散的情況下，可看作脆性斷裂；對(duì)于大變形、高能量耗散的情況則按延性斷裂來處理。受應(yīng)力集中影響，除去理想脆性材料外，外加載荷在裂紋尖端附近均伴隨非彈性區(qū)。若該區(qū)域尺寸與其他特征尺寸相比為小量，則可以用線彈性斷裂力學(xué)處理。裂紋根據(jù)加載方式的不同可分為三種模型：張開模式（I型）；滑開模式（Ⅱ型）；撕開模式（Ⅲ型）。本文討論的范圍限于I型裂紋。在斷裂力學(xué)中，定義引起裂紋產(chǎn)生單位長度的擴(kuò)展所需要的能量為裂紋驅(qū)動(dòng)力G。在平面問題中，G與應(yīng)力強(qiáng)度因子K_c的關(guān)系可以表達(dá)為：

對(duì)于平面應(yīng)力問題，E′=E；對(duì)于平面應(yīng)變問題，E′=E/（1-v²）。其中，E是材料的楊氏模量，v為泊松比。

斷裂動(dòng)力學(xué)（FractUre Dynamics）也叫做動(dòng)態(tài)斷裂力學(xué)（Dynamic Fracture

Mechanics)，其目的是研究那些慣性效應(yīng)不能忽略的斷裂力學(xué)問題。這些問題主要?dú)w納為兩大類：一是裂紋穩(wěn)定而外力隨時(shí)間迅速變化，如振動(dòng)、沖擊、波動(dòng)等：二是外力恒定或緩漫變化而裂紋發(fā)生快速傳播。這兩類斷裂動(dòng)力學(xué)的問題分別稱為裂紋動(dòng)態(tài)起始問題和運(yùn)動(dòng)裂紋問題。
運(yùn)動(dòng)裂紋問題從現(xiàn)象上看可以分為前期加速，擴(kuò)展軌跡，擴(kuò)展速度，分叉和止裂幾方面問題。本文研究裂紋從快速擴(kuò)展開始直至止裂的過程。

2.1.2裂紋擴(kuò)展的極限速度

輸氣管道上的脆性裂紋擴(kuò)展速度曾經(jīng)達(dá)到過10³m/s而S的量級(jí)。通過改善鋼材韌性，降低韌脆轉(zhuǎn)換溫度等辦法，裂紋擴(kuò)展的主要形式由脆性斷裂轉(zhuǎn)化為延性斷裂，裂紋擴(kuò)展速度也有大幅度的下降。伴隨著超高壓管道上的裂紋擴(kuò)展，近年來的實(shí)測速度又有上升。
對(duì)于本文的裂紋動(dòng)態(tài)模擬和止裂評(píng)估，裂紋擴(kuò)展速度是關(guān)鍵變化量。那么裂紋擴(kuò)展存在極限速度嗎？如果存在，如何量化？本小節(jié)旨在探討這方面的內(nèi)容。尤其針對(duì)輸氣管道上的應(yīng)用，文中給出了大致的估算。
1948年Mott認(rèn)為快速裂紋擴(kuò)展過程中的動(dòng)能作用不可忽略。考慮無窮大彈性板中的裂紋擴(kuò)展，加入動(dòng)能項(xiàng)的能量平衡方程為：

式中a為半個(gè)裂紋長度，U為彈性應(yīng)變能，K為動(dòng)能，Γ為表面能。

在推導(dǎo)動(dòng)能表達(dá)式的過程中，Mott引入以下假定:
●圍繞裂紋尖端區(qū)域的應(yīng)力場、位移場，可由靜態(tài)彈性理論確定；

●裂紋擴(kuò)展速度遠(yuǎn)小于柱形桿縱波速度C_o= ；
●裂紋擴(kuò)展阻力不隨裂紋速度變化而改變。
在上述假定的前提下，得到無限大彈性板中的動(dòng)能表達(dá)式:

式中k是待定的比例系數(shù)，p為密度，v為裂紋擴(kuò)展速率，σ為無窮遠(yuǎn)處承受的均勻拉伸應(yīng)力，E為材料的楊氏模量。

對(duì)于無限大板中的裂紋而言，應(yīng)變能U和表面能廠的表達(dá)式同靜態(tài)清況相比沒有形式上的改變。將三種能量的表達(dá)式代入能量平衡方程（2-2)，可得：

將單位面積的表面能廠用表示為臨界裂紋長度a_c的形式，經(jīng)過Berry等人的修正，得到裂紋速度的表達(dá)式:

Roberts(1954）用數(shù)值方法計(jì)算了泊松比v=0.25時(shí)的系數(shù) ＝0.38,從而得到鋼材中的極限裂速v_m≈1929m/s。
在雙懸臂梁DCB(double-Cantilever-Beam）試樣中測到的結(jié)果比上述值略低，約為1500m/s。
Freund(1972）通過分析推導(dǎo)，認(rèn)為裂紋的極限裂速v_m，應(yīng)該等于Rayleigh波速C_R。按此方法估算，v=0.25時(shí)鋼材中的極限裂速v_m=294m/s。

根據(jù)Rice(2000）通過奇異裂紋模型做出的最新論斷，在典型的遠(yuǎn)場加載條件下，在I型和Ⅱ型時(shí)的極限速度為Rayleigh波速，而在Ⅲ型時(shí)的極限速度可達(dá)橫波波速，對(duì)鋼材而言約3100m/s。
Rice總結(jié)了I型拉伸裂紋的實(shí)驗(yàn)觀測結(jié)果，發(fā)現(xiàn):
●在脆性非晶態(tài)材料（如玻璃、PMMA）中，裂紋速度的上限為0.55C_R～0.65C_R;
●裂紋速度v<0.3C_R～0.4C_R時(shí)，斷裂面呈鏡面光滑狀。在更高（平均）速度時(shí)，裂紋表面變得非常粗糙，并且v開始劇烈振蕩；
●存在v接近于C_R的例外情況，如高度各向異性的脆性單晶（鎢、云母）,及不完全燒結(jié)的固體。
這一結(jié)果同鋼材斷裂從DBF到DDF的發(fā)展過程中，實(shí)測速度與斷口形貌的變化趨勢相吻合。簡單的說，就是韌性提高可以導(dǎo)致斷裂的極限速度降低。

壓力管道的裂紋擴(kuò)展與無限大彈性板不同，Kanninen等（1980）利用類似一維梁的模型提出了輸氣管道中的裂紋擴(kuò)展極限速度的估算值。模型中采用彈性基礎(chǔ)梁的撓度模擬在對(duì)稱載荷作用下圓柱殼的變形，并作了以下基本假設(shè)：

●以徑向變形為主；
●壓力沿圓周的變化可以忽略不計(jì)；
●裂紋張開位移等于在裂紋區(qū)任何截面徑向位移沿圓周的積分；

●塑性屈服鉸在裂尖后部形成；
●裂紋擴(kuò)展速度超過流體降壓速度，擴(kuò)展中裂尖后面的壓力為零；

●由于裂紋出現(xiàn)導(dǎo)致殼體剛度突變。
得到管道裂紋的極限速度：

式中C₀為柱形桿縱波波速，鋼材約5076m/s,h和R為管道壁厚和平均半徑。按此式估算的西氣東輸管道上裂紋擴(kuò)展的極限速度約為648m/s。

對(duì)于裂紋在脆性管道中的快速擴(kuò)展，在全尺寸實(shí)驗(yàn)中可觀察到的裂速范圍為600～1000m/s，考慮到不同的設(shè)計(jì)參數(shù)，與上述預(yù)測比較接近；全尺寸實(shí)驗(yàn)在近年來應(yīng)用的高韌性管線中觀測到的裂紋穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展速度一般在150～350m/s,近似可以看作脆性斷裂速度的1/3，即：

在Kanninen之后，Emery（1950）提出，盡管裂紋的起裂和小范圍擴(kuò)展可由系統(tǒng)的降壓值作為上限而加以估算，但開裂管道中的裂紋擴(kuò)展卻受到流體外流引起的壓力降低的強(qiáng)烈影響。在幾何尺寸一定的條件下，由管道斷裂引起的壓力釋放波可以由遠(yuǎn)端反射回來，從而增加了裂尖處的管道壓力：同時(shí)張開裂紋的自由邊，卻承受一個(gè)顯著減少的壓力，致使裂紋擴(kuò)展減速。因此，為了解裂紋的動(dòng)力學(xué)特征，必須考慮管道變形及流體壓力。
在Emery的圓柱殼模型下，極限裂紋擴(kuò)展速度比（2-6）式略低。
2.1.3動(dòng)態(tài)斷裂力學(xué)參數(shù)

斷裂動(dòng)力學(xué)理論為結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)斷裂的分析與控制奠定了理論基礎(chǔ)，并為其在工程應(yīng)用方面提供了重要的概念、分析方法、結(jié)構(gòu)參數(shù)計(jì)算和動(dòng)態(tài)斷裂準(zhǔn)則�；�本概念可以歸納為三個(gè)方面：描述動(dòng)態(tài)斷裂的特征參數(shù)、材料的動(dòng)態(tài)斷裂韌性和運(yùn)動(dòng)裂紋的止裂判據(jù)。接下來對(duì)上述三方面問題，尤其是對(duì)于和管道問題相關(guān)的概念，加以闡述和介紹，以備后文直接引用。
本節(jié)的討論范圍限于I型裂紋快速擴(kuò)展問題，主要目的是給出與斷裂力學(xué)參數(shù)相應(yīng)的動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子、動(dòng)態(tài)能量釋放率和裂紋尖端張開角的表達(dá)式。

2.1.3.1動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子
I型動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子  (t）的定義為：

式中t為時(shí)間，a_yy為y向正應(yīng)力分量。
自Yoffe（1951)開始，包括形Rice(1968)、Freund(1990)在內(nèi)的很多學(xué)者推導(dǎo)并不斷完善了無限大板等簡單模型的以  (t）表示的穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展的裂紋頂端漸進(jìn)應(yīng)力場和位移場的解析解，Nishioka等（1996）進(jìn)而給出了包括瞬態(tài)情況下的四階漸進(jìn)展開式，在此不做贅述。
這樣只要得到  (t）的值，就可以按照上述文獻(xiàn)中的公式得到裂紋尖端場的解析解。目前除對(duì)于無限介質(zhì)中的穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展裂紋，通過適當(dāng)簡化可以得到應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析表達(dá)式以外，有限介質(zhì)及構(gòu)件中運(yùn)動(dòng)裂紋的動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算主要依靠數(shù)值方法，包括有限元法和有限差分法。
本文研究的高韌性鋼為彈塑性材料，在裂紋擴(kuò)展前，往往在裂端區(qū)甚至更大范圍內(nèi)有相當(dāng)大的塑性變形，且伴隨著裂端后面的卸載。因此，起裂后必須克服塑性變形才能發(fā)生裂紋擴(kuò)展。此時(shí)，作為衡量裂端區(qū)應(yīng)力場強(qiáng)度的力學(xué)參量J積分和應(yīng)力強(qiáng)度因子K并不是嚴(yán)格有效的。Kanninen提出了更先進(jìn)的J積分-T積分，適合應(yīng)用于在彈塑性材料中的動(dòng)態(tài)裂紋擴(kuò)展分析。
2.1.3.2動(dòng)態(tài)能量釋放率
對(duì)含運(yùn)動(dòng)裂紋的一般彈性體，為確定釋放到裂尖的能量，考慮圍繞裂尖非常小的閉合回路Γ，如圖2-1所示，動(dòng)態(tài)能量釋放率可以由能量流動(dòng)定義為：

式中v_n表示裂紋尖端運(yùn)動(dòng)速度在回路Γ上的法向分量，v為裂尖速率，T_i為作用于Γ上的應(yīng)力分量，W為應(yīng)變能密度，p為物質(zhì)密度。

這里Γ的形狀是任意的，但必須附關(guān)于裂尖的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系。這個(gè)表達(dá)式對(duì)線性與非線性的材料均適用。

在裂紋穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展的條件下， （t）退化為斷裂力學(xué)中的動(dòng)態(tài)J積分，是與路徑無關(guān)的量：

對(duì)于無限介質(zhì)而言， （t）和 （t）都可以寫成與裂紋速度有關(guān)的函數(shù)與靜態(tài)因子乘積的形式：

（t）=k（v）K（0）                   （t）=g（v）G（0）    （2-9）

將用動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子表示的無限大平面彈性體應(yīng)力場和位移場的表達(dá)式代入動(dòng)態(tài)能量釋放率的定義式，可得二者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

式中F（v）可以表示為裂尖速率v與材料平面縱波波速C₁及平面橫波波速C₂的函數(shù)，E是材料的楊氏模量，v為泊松比。

（2-10）式意味著 （t）和 （t）同時(shí)達(dá)到臨界值。也就是說，動(dòng)態(tài)擴(kuò)展斷裂判據(jù)既可用臨界應(yīng)力強(qiáng)度因子，也可用臨界能量釋放率來表示。這是對(duì)線彈性材料、恒定裂速擴(kuò)展的裂紋在無限大彈性體中得出的結(jié)論，可以定性地推廣到一般問題中使用。

2.1.3.3裂紋尖端張開角
裂紋尖端張開角CTOA（Crack Tip Opening Angle）最早被用來分析核電站管路的穩(wěn)態(tài)裂紋擴(kuò)展，后來用于輸氣管線和航空工業(yè)。如圖2-2，與裂紋張開角COA不同，CTOA對(duì)應(yīng)于一定的斷裂擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)，不隨測量點(diǎn)的位置而改變。CTOA在數(shù)學(xué)上可以按下式定義：

式中：δ_t為裂紋尖端張開位移，△a為裂紋擴(kuò)展長度。

2.1.4材料的動(dòng)態(tài)斷裂韌性
作為材料抵抗動(dòng)態(tài)斷裂能力的度量，引入韌度的概念，稱為動(dòng)態(tài)斷裂韌性。具體材料的韌性值由規(guī)定條件下的實(shí)驗(yàn)測定。
表征材料抗力的動(dòng)態(tài)斷裂參數(shù)有沖擊斷裂韌性K_Id，動(dòng)態(tài)能量釋放率臨界值G_d，動(dòng)態(tài)J積分臨界值J_d，裂紋尖端張開角臨界值（CTOA)c，甚至包括直接從實(shí)驗(yàn)機(jī)上獲得的夏比沖擊功和落錘吸收能量等等，均可以作為判斷裂紋擴(kuò)展與止裂的參數(shù)。工程上如何選用要視具體問題與實(shí)驗(yàn)條件而定。
動(dòng)態(tài)韌性參數(shù)除與靜態(tài)斷裂韌性同樣與材料性質(zhì)，環(huán)境溫度，應(yīng)力狀態(tài)等因素有關(guān)以外，同時(shí)還與裂紋速度有關(guān)。這是本文關(guān)心的問題。
裂紋發(fā)生快速運(yùn)動(dòng)時(shí)，一個(gè)高應(yīng)力集中區(qū)被驅(qū)動(dòng)穿過材料，因此裂紋頂端附近的材料產(chǎn)生很高的應(yīng)變速率或加載速率。在一般情形下，高加載速率使得材料變脆，因而抗力降低：另一方面，隨著裂紋速度的提高，由于裂紋頂端應(yīng)力場多軸化程度降低，又增強(qiáng)了塑性效應(yīng)，從而提高了材料的抗力。另外，快速擴(kuò)展引起的熱耗散使得裂紋頂端附近溫度上升，也會(huì)影響材料的抗斷性能。Eftis,Klaft(1965）和Barton,Mall(1960）等的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，動(dòng)態(tài)斷裂韌性由裂紋起始擴(kuò)展的材料抗力開始下降，當(dāng)裂紋速度達(dá)到一定值時(shí)，動(dòng)態(tài)斷裂韌性又隨裂紋速度的增長而提高，表明了前面分析的正確性。
在裂紋穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展階段，CTOA達(dá)到臨界值而保持恒定不變，稱作（CTOA）c。(CTOA）c可在小試樣沖擊實(shí)驗(yàn)中測得，并直接應(yīng)用到全尺寸管道的斷裂上。在描述斷裂性能方面，(CTOA）c是衡量延性斷裂擴(kuò)展抗力的指標(biāo)之一，它被認(rèn)為可以替代夏比沖擊韌性，以解決在高韌性管線上依賴后者而出現(xiàn)的重大偏差。

Kanninen等（1992）認(rèn)為，對(duì)于動(dòng)態(tài)裂紋擴(kuò)展問題，G_d和（CTOA)c是最適合的斷裂韌性描述參數(shù)，如表2-1。
表2-1斷裂力學(xué)基本處理方法

2.1.5運(yùn)動(dòng)裂紋的止裂判據(jù)

含裂紋結(jié)構(gòu)在動(dòng)載作用下將發(fā)生裂紋的起裂和擴(kuò)展，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞或者發(fā)生止裂，產(chǎn)生這些過程的條件稱為判據(jù)。除了1.2,1節(jié)提到過的減壓波速判據(jù)及在它基礎(chǔ)上發(fā)展起來的雙曲線方法以外，還有應(yīng)力強(qiáng)度因子K判據(jù)，能量釋放率G判據(jù)和裂紋尖端張開角CTOA判據(jù)等。表2-1同樣給出了參考性意見。

在止裂條件的建立上，存在兩種不同的觀點(diǎn)，即動(dòng)態(tài)觀點(diǎn)和靜態(tài)觀點(diǎn)。下面用K判據(jù)為例介紹一下兩種觀點(diǎn)的區(qū)別和發(fā)展，以及本文的選擇。動(dòng)態(tài)觀點(diǎn)認(rèn)為，裂紋的快速擴(kuò)展直至止裂是一個(gè)完整的過程，止裂是這種過程的結(jié)束，并忽略慣性力的影響。這樣，裂紋持續(xù)快速擴(kuò)展的條件為：

=K_ID（v，T）                             （2-12）

即把裂紋動(dòng)態(tài)擴(kuò)展斷裂韌度K_ID表示成為裂紋速率v和溫度T的函數(shù)。注意這一條件并不適用于起裂時(shí)刻，因?yàn)镵_ID(O，T刀不等于靜態(tài)韌性K_IC（T）。

按照上面的觀點(diǎn)，從止裂發(fā)生的t₀時(shí)刻一直到裂紋速度降為零的t_a時(shí)刻， 加均應(yīng)小于擴(kuò)展斷裂韌度K_ID（v，T）的最小值，止裂判據(jù)表示為：

這樣，通過數(shù)值方法解出特定問題的K_I(t)，和材料實(shí)驗(yàn)定出的K_ID（v，T）相比較，可以得到是否滿足止裂條件的結(jié)論。
靜態(tài)觀點(diǎn)著眼于止裂瞬間的裂紋尖端條件，而不顧及已經(jīng)發(fā)生的裂紋動(dòng)態(tài)擴(kuò)展過程和歷史。這樣，基于靜態(tài)觀點(diǎn)的止裂判據(jù)表示為：
≤K_Ia                                                       （2-14）

式中 是對(duì)應(yīng)于止裂長度的靜態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子，K_Ia是材料的靜態(tài)斷裂韌性。兩種學(xué)術(shù)觀點(diǎn)的爭論長達(dá)二十多年，并都得到了特定條件下實(shí)驗(yàn)結(jié)果的證實(shí)。直至1985年方達(dá)成一致，解釋如下：
引起動(dòng)態(tài)效應(yīng)的主要原因是由于試樣邊界對(duì)應(yīng)力波的反射，當(dāng)邊界反射的應(yīng)力波幾乎不返回到裂紋尖端的情況下，采用靜態(tài)觀點(diǎn)相對(duì)合適；反之應(yīng)采用動(dòng)態(tài)止裂分析觀點(diǎn)。這一結(jié)論得到了實(shí)驗(yàn)的證明。
壓力管道尤其是高壓輸氣管道上的裂紋擴(kuò)展是強(qiáng)幾何非線性的過程，同時(shí)不斷伴隨應(yīng)力波的傳播與反射，因而本文在分析裂紋擴(kuò)展與止裂時(shí)用了動(dòng)裂紋約束的概念（動(dòng)態(tài)觀點(diǎn)）。根據(jù)這一概念，裂紋止裂就是使裂紋不能連續(xù)擴(kuò)展�，F(xiàn)將本文用到的以G和CTOA建立的動(dòng)態(tài)判據(jù)分述如下：
對(duì)于天然氣管道，能量釋放率判據(jù)可以表示為:
G(a,p,D,SDR,E)=G_d(T,v,h)                                    (2-15)

式（2-15）中，當(dāng)G_max=G_d時(shí)，裂紋擴(kuò)展；若G<G_dmin，裂紋止裂。G表示裂紋驅(qū)動(dòng)力，G_d表示材料的動(dòng)態(tài)斷裂韌性，a為裂紋長度，p為流體壓力，D為管道直徑，SDR(Standard Dimension Ratio）為管道外直徑與壁厚的比值，E為材料的楊氏模量，T為溫度，v為裂紋擴(kuò)展速率，h為試樣壁厚。
為了防止裂紋在工程管道上擴(kuò)展事故的發(fā)生，G和G_d的相對(duì)值為實(shí)際應(yīng)用準(zhǔn)則提供了定量的形式。G來源于對(duì)結(jié)構(gòu)模型的分析和計(jì)算，而G_d要通過對(duì)結(jié)構(gòu)材料的實(shí)驗(yàn)來分析確定。

類似的，在管道延性裂紋擴(kuò)展過程中，表征裂紋驅(qū)動(dòng)力的（CTOA）_max與表征管壁斷裂韌性（CTOA）c構(gòu)成止裂判據(jù)：

（CTOA）_max（a,p,D,SDR,E）=（CTOA）c（T,v,h）               （2-16）

當(dāng)（CTOA）_max ≥(CTOA）c時(shí)，裂紋擴(kuò)展；若（CTOA）_max＜(CTOA）c，則裂紋止裂。

2.2斷裂動(dòng)力學(xué)的有限元法

管道裂紋動(dòng)態(tài)擴(kuò)展問題的關(guān)鍵是正確描述管道的實(shí)際工作狀態(tài)。斷裂動(dòng)力學(xué)問題的復(fù)雜性和目前的研究深度決定了分析解法的求解必須對(duì)加載形式、材料參數(shù)、裂紋幾何和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)作很多限制，因而本文以有限元方法為主，在表征韌性的參數(shù)確定和計(jì)算結(jié)果參照中引入實(shí)驗(yàn)手段，在試件比擬的塑性區(qū)范圍確定等處用到了解析方法。
斷裂動(dòng)力學(xué)中的有限元法分為動(dòng)力學(xué)分析和斷裂分析兩方面。在動(dòng)力學(xué)分析中要考慮材料的慣性效應(yīng)，在動(dòng)態(tài)變化的載荷下求解運(yùn)動(dòng)方程；在斷裂分析方面，要考慮裂紋尖端場的性質(zhì)，以及裂紋擴(kuò)展引起的邊界變化等。下面分別從這兩方面介紹本文計(jì)算中用到的有限元技術(shù)及相關(guān)處理方法。

2.2.1殼體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基本方程

殼體有限元計(jì)算的一般思路是在單元內(nèi)描述問題，再根據(jù)節(jié)點(diǎn)集合。在描述幾何方程和運(yùn)動(dòng)方程之前，首先說明符號(hào)的格式。本節(jié)將用到矢量符號(hào)、矩陣符號(hào)和上下標(biāo)。矢量符號(hào)通過黑體表示，如a，它的分量表示為：a_i，也可以以矩陣｛a｝的形式表示。a_iI是節(jié)點(diǎn)I的a矢量的第i個(gè)分量。
在本節(jié)中，將會(huì)用到圖2-3所示的三種坐標(biāo)系：

●空間固定的總體坐標(biāo)系（x，y，z），或x_i，正交基矢量為 。
●節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系行（  ）習(xí)，反映節(jié)點(diǎn)的平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)；正交基矢量為b_i。

●單元隨體坐標(biāo)系（  ）；正交基矢量為e_i。
對(duì)于總體坐標(biāo)系中的任意矢量a，其在節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系中的分量可以表達(dá)為：

其中，b_xl，b_yi，b_zl是節(jié)點(diǎn)基矢量b_i在總體坐標(biāo)系中的三個(gè)分量。

類似地，對(duì)于單元隨體坐標(biāo)系：

其中[b]^T、[e]^T分別是總體坐標(biāo)與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、總體坐標(biāo)與單元隨體坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換矩陣。

節(jié)點(diǎn)J的初始位置為： （i=1，2，3代表x，y，z三個(gè)方向的分量），當(dāng)發(fā)生了位移u_iJ后，新的位置坐標(biāo)為x_iJ。

x_iJ= +u_iJ                                               （2-19）

2.2.1.1幾何方程

基于Kirchhoff假設(shè)的板殼單元，殼體中某一點(diǎn)的應(yīng)變可以由中面應(yīng)變  和曲率  來表示：

其中[N^P]為殼體面內(nèi)位移形函數(shù)，[N^b]為殼體彎曲位移形函數(shù)。[δ^P]、[δ^b]是相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位移。

將方程（2-22）代入（2-21），得到

2.2.1.2運(yùn)動(dòng)方程

對(duì)于慣性力不可忽略的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，要求解運(yùn)動(dòng)方程，以獲得系統(tǒng)在瞬時(shí)狀態(tài)下的位移和速度、加速度。一般的方法是按照平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度，分別給出運(yùn)動(dòng)方程。在有限元中，對(duì)于離散化的節(jié)點(diǎn)，要相應(yīng)地給出它的三個(gè)平動(dòng)方程和三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方程。

三個(gè)平動(dòng)方程為：

其中i代表節(jié)點(diǎn)號(hào)，m_i為節(jié)點(diǎn)質(zhì)量，  為平動(dòng)加速度， 為外力， 為變形引起的內(nèi)力（其中j=1，2，3，分別表示三個(gè)坐標(biāo)軸方向x，y，z）。

三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方程為：

其中I_ij為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量， 分別為角速度和角加速度， 為外力矩， 為變形引起的內(nèi)力矩。

公式（2-24），（2-25）中的內(nèi)力分量 和 可以如下求得：

首先根據(jù)虛功原理，在一個(gè)單元E內(nèi)，對(duì)節(jié)點(diǎn)i有：

其中對(duì)I 不求和；；j代表各方向，對(duì)j求和。 為單元E的應(yīng)變率，V是單元體積。由上述方程可以得到節(jié)點(diǎn)內(nèi)力和節(jié)點(diǎn)內(nèi)彎矩：

利用疊加原理，將每一個(gè)單元內(nèi)的節(jié)點(diǎn)上的內(nèi)力和內(nèi)彎矩分別求和，可得到節(jié)點(diǎn)上的相應(yīng)分量：

其中， 是如下定義的相關(guān)系靈敏：

=1     當(dāng)單元E中的節(jié)點(diǎn)A與節(jié)點(diǎn)i相關(guān)；

=0     當(dāng)單元E中的節(jié)點(diǎn)A與節(jié)點(diǎn)i無關(guān)。

將方程（2-28）代入方程（2-24）和（2-25），可得到各節(jié)點(diǎn)的加速度與角加速度：

對(duì)于每一時(shí)間步長，由運(yùn)動(dòng)方程首先解出各節(jié)點(diǎn)的平動(dòng)加速度，然后根據(jù)顯式中心差分公式解出各節(jié)點(diǎn)速度：

利用位移可以根據(jù)幾何方程和本構(gòu)方程求得應(yīng)變和應(yīng)力。

2.2.1.3本構(gòu)方程

本文研究鋼制管道的裂紋擴(kuò)展。忽略軋制過程的影響，鋼材可看作各向同性材料，則本構(gòu)關(guān)系可以寫成分段線性彈性的形式。進(jìn)一步考慮到本文采用節(jié)點(diǎn)力釋放法進(jìn)行裂紋擴(kuò)展計(jì)算，裂尖附近的應(yīng)力集中影響不大，故可采用線彈性本構(gòu)關(guān)系計(jì)算。

對(duì)于板殼單元，在單元隨體坐標(biāo)下應(yīng)變和應(yīng)力均只有三個(gè)分量：

2.2.1.4局部坐標(biāo)下的邊界條件

一般地，可以在邊界處約束任意平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)分量，即令其為零。如要定義的運(yùn)動(dòng)分量不在總體坐標(biāo)系下，則需在該節(jié)點(diǎn)定義局部坐標(biāo)（X，Y，Z）。計(jì)處牙可以通過定義X和Y坐標(biāo)的方向余弦c_xX，c_yX，c_zX，c_xY，c_yY，c_zY來實(shí)現(xiàn)。Z坐標(biāo)的方向余弦可通過其正交性由下式求得：

將上面的轉(zhuǎn)換矩陣定義為[c]，則邊界條件中的平動(dòng)速度可按（2-36）式轉(zhuǎn)化為局部坐標(biāo)中的分量，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度按下式定義：

然后將被約束的分量置零，求解。求解后的平動(dòng)速度和轉(zhuǎn)動(dòng)速度可分別通過（2-36）和（2-37）的逆變換轉(zhuǎn)化成總體坐標(biāo)中的分量。因?yàn)樾碌慕俏灰屏繌姆匠?2-31）和關(guān)于b₁的方程直接解得，邊界條件通常反映在更新的位移和節(jié)點(diǎn)向量b₁中。
2.2.2斷裂動(dòng)力學(xué)基本方程

2.2.2.1生成模式與擴(kuò)展模式

在管道裂紋擴(kuò)展問題中，因動(dòng)態(tài)斷裂發(fā)生的時(shí)間很短，以及裂紋擴(kuò)展速度的非預(yù)先確定性，使得測量高階的物理量如能量分布、瞬時(shí)動(dòng)態(tài)能量釋放率和動(dòng)態(tài)裂紋尖端應(yīng)力場變得十分困難。為此針對(duì)管道快速斷裂問題發(fā)展了兩種分析計(jì)算模式：生成模式（Generation mode）和擴(kuò)展模式（Propagation mode）。

生成模式就是給定管道的幾何尺寸和工作條件，同時(shí)必須給出已知的以裂紋擴(kuò)展長度或者裂紋速度表示的裂紋擴(kuò)展歷史作為補(bǔ)充條件使得問題可解，從而計(jì)算裂紋驅(qū)動(dòng)力G（或CTOA和評(píng)估斷裂韌度G_d（或（CTOA）c）。
本章計(jì)算中的裂紋擴(kuò)展速度取為定值，該值未必是裂紋穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展的真實(shí)速度。然而通過指定不同的速度值，可以尋找對(duì)應(yīng)于某一特定穩(wěn)態(tài)裂紋擴(kuò)展速度的G或CTOA，如果該值小于材料韌性，可以判斷發(fā)生止裂；否則可能發(fā)生擴(kuò)展。從而得到一些有價(jià)值的結(jié)論，例如在什么速度下管道失穩(wěn)斷裂等等。這種分析方法是運(yùn)用了生成模式。
擴(kuò)展模式是通過實(shí)驗(yàn)測量裂紋速度和壓力分布，分析G_d（或（CTOA）），找到它與裂紋速度之間的關(guān)系，分析確定產(chǎn)生裂紋擴(kuò)展需要的驅(qū)動(dòng)力，從而得到一定條件下是否止裂的結(jié)論。包括第一章提到的雙曲線法和后面提到的韌性減速機(jī)理等以實(shí)驗(yàn)和結(jié)合實(shí)驗(yàn)的計(jì)算為主的分析方法，就是采用了擴(kuò)展模式。

2.2.2.2節(jié)點(diǎn)力釋放技術(shù)
節(jié)點(diǎn)力釋放（Node Foroe Release)，顧名思義就是當(dāng)裂紋頂端通過有限元網(wǎng)格中的某節(jié)點(diǎn)時(shí)，便解除該節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)格中本來起到的連接作用，即將其分為兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，并釋放連接力，如圖2-4。

在典型的生成模式計(jì)算中，可根據(jù)指定的a(t）或v(t）判斷裂紋經(jīng)過的時(shí)間和路線，依次釋放節(jié)點(diǎn)力；另一種運(yùn)用擴(kuò)展模式的方法是通過判斷裂紋頂端被約束的節(jié)點(diǎn)力達(dá)到F_c時(shí)，這個(gè)節(jié)點(diǎn)便被松弛。這里的F_c是指定的，它與網(wǎng)格尺寸以及動(dòng)態(tài)斷裂韌性K_ID有關(guān)。Keergstra(1976）證明，對(duì)于給定的網(wǎng)格，裂紋頂端的節(jié)點(diǎn)力正比于應(yīng)力強(qiáng)度因子K_ID。

早期將有限元法應(yīng)用于動(dòng)態(tài)裂紋擴(kuò)展時(shí)，裂尖運(yùn)動(dòng)由不連續(xù)的突進(jìn)進(jìn)行模擬：在時(shí)間增量△t內(nèi)，裂尖沿裂紋方向從單元的一個(gè)節(jié)點(diǎn)改變到下一個(gè)節(jié)點(diǎn)。為了得到比較精確的解答，必須采用較小的時(shí)間步長△t，通常為膨脹波在兩個(gè)最近單元節(jié)點(diǎn)間傳播所需要的時(shí)間。由于裂紋傳播速度通常明顯低于波速，在時(shí)間△t內(nèi)裂尖實(shí)際上通常只能運(yùn)動(dòng)到兩個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)之間的某一位置。在裂尖從一個(gè)節(jié)點(diǎn)移動(dòng)到下一個(gè)節(jié)點(diǎn)的過程中，裂紋長度的突然增加和位移約束的突然解除，將引起有限元求解中比較嚴(yán)重的高頻振蕩現(xiàn)象。為了克服這一困難，產(chǎn)生了“回復(fù)力”法，Lagrange乘子法，節(jié)點(diǎn)力釋放率法等緩步釋放節(jié)點(diǎn)的方法,下面介紹本文采用的節(jié)點(diǎn)力釋放率法。

在生成模式中，輸入信息包括作為時(shí)間函數(shù)的裂紋尖端位置，每一時(shí)間步長中裂紋前進(jìn)的距離是已知的。裂紋沿著單元擴(kuò)展的過程中單元節(jié)點(diǎn)力逐步釋放，此時(shí)，能量釋放率G，即在裂端區(qū)每單位面積上裂紋擴(kuò)展所引起的能量變化，可以近似地以節(jié)點(diǎn)力作功的形式表示:

式中，h是管理壁厚度， 是沿裂紋擴(kuò)展方向的一個(gè)單元長度，△t是裂紋擴(kuò)展一個(gè)單元所用的時(shí)間，v_n是垂直裂紋擴(kuò)展方向的節(jié)點(diǎn)位移速度，系數(shù)2表示管道對(duì)稱計(jì)算的兩個(gè)部分。

在公式（2-38）中，F(xiàn)是被釋放的約束力，它的大小隨著裂紋在單元邊界上的位置呈線性變化，表示為：

式中的F_o是被釋放的節(jié)點(diǎn)約束力，a（t）是裂紋在單元上的擴(kuò)展長度。指數(shù)c曾取過1/2、1、3/2、2等不同取值。本文在與實(shí)驗(yàn)對(duì)比的基礎(chǔ)上取1。

2.2.2.3裂紋驅(qū)動(dòng)力G的能量表達(dá)

能量平衡方法計(jì)算裂紋驅(qū)動(dòng)力基于Griffiths斷裂理論。在本章的計(jì)算程序中，外力作功和內(nèi)部能量的平衡常被用來校核計(jì)算結(jié)果的數(shù)值穩(wěn)定性，也可將算得的能量值帶入Irwin-Orowan能量平衡公式計(jì)算裂紋驅(qū)動(dòng)力。該方法與節(jié)點(diǎn)釋放法更為簡便。

Griffiths奠定了斷裂問題的能量平衡理論。在裂紋擴(kuò)展過程中，物體內(nèi)部能量釋放所產(chǎn)生的裂紋驅(qū)動(dòng)力導(dǎo)致了裂紋增長，同時(shí)存在阻止形成新裂紋面積的阻力，當(dāng)裂紋增長da長度時(shí)，二者形成平衡。這樣裂紋驅(qū)動(dòng)力G可以表示為：

式中h表示裂尖處材料厚度，W表示外力作用于裂紋體的功，U表示應(yīng)變能。在動(dòng)裂紋擴(kuò)展問題中需要考慮動(dòng)能K的作用，上式擴(kuò)展為：

早期對(duì)流體壓力管道裂紋擴(kuò)展問題的分析中曾應(yīng)用應(yīng)變能變分原理，將裂紋動(dòng)力等效為裂紋前面環(huán)向應(yīng)變能的釋放率，Iewin-Conten發(fā)展了裂紋驅(qū)動(dòng)力的解析計(jì)算：

式中p₀為初始內(nèi)壓，D₀和h為管壁外徑和壁厚，E為材料的楊氏模量。

2.2.3數(shù)值穩(wěn)定性分析
在顯式時(shí)間積分中，除非時(shí)間步長選得足夠小，否則會(huì)出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定性，從而使計(jì)算結(jié)果失去意義。盡管對(duì)于完全非線性問題，不能進(jìn)行穩(wěn)定性分析，但是經(jīng)驗(yàn)表明線性分析也會(huì)給出有用的時(shí)間步長估計(jì)。一般說來，將線性穩(wěn)定的時(shí)間步長減少10%到20%，可以克服非線性帶來的不穩(wěn)定性。
對(duì)于中心差分，線性分析表明時(shí)間步長

其中， 是系統(tǒng)的最高頻率， 是最高頻率下的臨界阻尼系數(shù)。
ω是下面問題的特征值：
[K]{X}=ω²[M]{X}                                        （2-44）

其中[K]是系統(tǒng)的剛度矩陣，[M]是質(zhì)量矩陣。
在實(shí)際計(jì)算中，我們并不是直接計(jì)算系統(tǒng)的ω_max，而是計(jì)算單元的 。在所有的單元的 中選擇最大值作為ω_max。
對(duì)于板單元，有

其中，C_l是平面縱波波速，對(duì)四邊形板單元來說，L是短邊的長度。

2.2.4氣體壓力模式
1.3.3節(jié)提到了解禍算法中氣體壓力模式的廣泛應(yīng)用。對(duì)于含裂紋擴(kuò)展的管道，其內(nèi)部管壁受到的氣體壓力由兩種模式組成：裂紋前面氣體減壓傳播和裂紋后部的氣體壓力衰減。
Battelle的Maxey等人在實(shí)驗(yàn)中采用壓縮空氣、氮?dú)庖约凹淄楹�量高的天然氣觀察氣體的減壓行為，發(fā)現(xiàn)理想氣體規(guī)律足以滿足這些氣體的狀態(tài)等式。假設(shè)氣體的膨脹過程是等熵過程，充滿氣體的管道突然發(fā)生開裂，整個(gè)狀態(tài)中氣體成分混和均勻，則裂尖附近氣體局部壓力與裂紋擴(kuò)展速度有如下關(guān)系:

式中p_d為減壓后的壓力水平（MPa)；p_i為開裂前管內(nèi)壓力（MPa)；v為裂紋擴(kuò)展速度（m/s)；v_a為初始?jí)毫�和溫度狀態(tài)下的聲速（m/s)； 為起始狀態(tài)下氣體的絕熱系數(shù)，C_P和C_v分別為定壓比熱和定容比熱。
從（2-46）式可以看出，當(dāng)裂紋在管道上擴(kuò)展時(shí)，裂紋前面的氣體減壓傳播，其數(shù)值低于氣體初始?jí)毫χ祊₀，氣壓減少值主要取決于裂紋的擴(kuò)展速度，對(duì)于穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展的長裂紋，管道內(nèi)部氣體減壓趨于穩(wěn)定的數(shù)值。

當(dāng)裂紋沿管壁快速擴(kuò)展時(shí)，裂紋后面的氣體逸出，氣壓降低，但是與液體壓力不同的是，該區(qū)域內(nèi)的氣體壓力并不是立即降為零值，而是穩(wěn)定地衰減至大氣壓力，并有一段明顯的衰減區(qū)。在這一衰減區(qū)內(nèi)，氣體壓力仍然作用在已經(jīng)開裂的管壁上，加速管壁的變形。
根據(jù)實(shí)驗(yàn)給出的實(shí)際管道開裂實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，發(fā)展了裂紋后面氣體壓力衰減模式，將氣壓的衰減表示成裂紋位置和初始?jí)毫Φ暮瘮?shù)。常見的衰減模式有指數(shù)衰減的Fourier級(jí)數(shù)和拋物線衰減函數(shù)等。
更為簡便的是圖2-5所示的氣體壓力衰減模式是線性衰減函數(shù)，圖中以裂紋擴(kuò)展方向z為橫軸，壓力分布p為縱軸，其計(jì)算表達(dá)式為

P（z）=P₁（1- ），z<L                                                 （2-47）

式中z是計(jì)算截面的位置，L是衰減長度。在計(jì)算中，L取1.5倍或2倍的管道外徑。
2.3管道穩(wěn)態(tài)裂紋擴(kuò)展問題的數(shù)值模擬
本節(jié)著重介紹穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展條件下的開裂管道計(jì)算結(jié)果，力求從多個(gè)角度模擬管道變形的真實(shí)狀態(tài)，為建立止裂判據(jù)與后文的減速機(jī)理打下基礎(chǔ)。

2.3.1計(jì)算模型與邊界條件
管道上的裂紋一般從起裂點(diǎn)同時(shí)向兩側(cè)擴(kuò)展。因管道幾何形狀和載荷分布具有對(duì)稱性，本文取一側(cè)管道的一半來分析和計(jì)算，即四分之一模型，如圖2-6所示。采用四節(jié)點(diǎn)板殼單元，沿管道軸向和環(huán)向分別劃分網(wǎng)格，在管道內(nèi)壁給出氣體壓力分布。

在對(duì)西氣東輸管道進(jìn)行計(jì)算時(shí)，采用的管道模型長度L=37.5m，直徑D=1.016m，厚度h=0.0147m，沿軸向劃分為250個(gè)單元，環(huán)向劃分為16個(gè)單元，共4000個(gè)單元，4267個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)四邊形單元軸向長度0.15m，環(huán)向長度0.lm。下文如無特殊說明，則網(wǎng)格均按此劃分。
在圖2-7中，C點(diǎn)表示裂尖位置：裂紋沿LINE4擴(kuò)展，在A、B點(diǎn)和邊界LINEl、LINE2、LINE3和LINE4上施加不同的邊界條件。I、Ⅱ和Ⅲ區(qū)代表卸載區(qū)、減壓區(qū)和裂前區(qū)：其中，點(diǎn)A、B和邊界LINEl、LINE2、LINE3是約束

邊界條件，C點(diǎn)和邊界LINE4為運(yùn)動(dòng)邊界條件。I、Ⅱ及Ⅲ區(qū)隨時(shí)間而變化。

根據(jù)對(duì)稱性指定邊界條件如下：
B、F點(diǎn)是固定點(diǎn)；
C點(diǎn)隨時(shí)間而變化，AC是自由邊；
邊界LINE1（包括A點(diǎn)）與LINE3上約束了z向的位移和繞x、y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)；

邊界LINE2上約束x、y向的位移和繞x、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)；
邊界LINE4上約束x向的位移和繞y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。
2.3.2表征裂紋驅(qū)動(dòng)力的G與CTOA的計(jì)算
本節(jié)采用節(jié)點(diǎn)力釋放法計(jì)算裂紋驅(qū)動(dòng)力G。根據(jù)（2-38）式，以鋼制管道為例，指定設(shè)計(jì)參數(shù)：直徑為0.72m，壁厚0.015m，管長取37.5m，壓力為0.30MPa,裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展速度為550m/s。圖2-8給出了程序計(jì)算的結(jié)果，反映了裂紋驅(qū)動(dòng)力與裂紋擴(kuò)展距離的變化關(guān)系。在這一計(jì)算中，裂紋后面壓力衰減長度，即（2-47)式中的L，取為2倍的直徑長度。
如圖2-8，隨著裂紋起裂后的迅速擴(kuò)展，裂紋驅(qū)動(dòng)力上升直至達(dá)到并保持在穩(wěn)定的數(shù)值，這一平臺(tái)值1.6KN/m就是裂紋穩(wěn)態(tài)（steady state）擴(kuò)展的驅(qū)動(dòng)力G。裂紋尖端的移動(dòng)過程中，G在該值附近有一些小的波動(dòng)，這是由于裂紋長度的突然增加和位移約束的突然解除，引起的有限元解的高頻振蕩。振蕩的幅度與有限元單元網(wǎng)格的疏密和單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)力釋放的指定規(guī)律有關(guān)。

圖2-9表示了CTKOA的計(jì)算方法。由于在裂紋后方有很大的非線性變形，計(jì)算中張開位移用割線近似，采用8個(gè)單元的長度來計(jì)算CTOA。這一長度經(jīng)過與細(xì)化后的網(wǎng)格結(jié)果比較，誤差在10%之內(nèi)。

2.4管道穩(wěn)態(tài)裂紋擴(kuò)展算例分析

如2.1.2節(jié)所述，可在Kanninen（1980）按一維梁模型推導(dǎo)的輸氣管線裂紋擴(kuò)展極限速度（2-6a）式的基礎(chǔ)上，對(duì)高延性管道進(jìn)行修正。按照西氣東輸管道選用的設(shè)計(jì)參數(shù)，可得到大致的延生斷裂穩(wěn)態(tài)裂紋擴(kuò)展速度，估算裂紋穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展達(dá)到該速度時(shí)的裂紋驅(qū)動(dòng)力G和CTOA。另我，通過選用不同的設(shè)計(jì)參數(shù)，可給出穩(wěn)態(tài)裂紋驅(qū)動(dòng)力隨內(nèi)壓、壁厚、管徑以及徑厚比等參數(shù)變化的規(guī)律。

2.4.1西氣東輸設(shè)計(jì)參數(shù)下的典型算例

在這一小節(jié)，我們研究的管道參數(shù)限于：管道長度L=25m，直徑D=l.016m,內(nèi)壓10.OMPa，厚度h=0.0147m。網(wǎng)格劃分比2.3.1節(jié)中的網(wǎng)格兩個(gè)方向各密一倍，即：沿軸向劃分為500個(gè)單元，環(huán)向劃分為32個(gè)單元，共16000個(gè)單元，16533個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)四邊形單元軸向長度0.05m，環(huán)向長度0.05m。裂紋穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展速度按（2-6b）式，取為216m/s。軸向壓力衰減長度取1.5倍直徑，即約1.5m。

首先觀察裂尖附近的MISES應(yīng)力分布，如圖2-10。按以針狀鐵素體和塊狀鐵素體組織為主的X70鋼級(jí)管線鋼的平均屈服強(qiáng)度500～600MPa估算，計(jì)算給出的裂尖前部塑性區(qū)長度大約在3個(gè)單元長度以內(nèi)，即0.15m左右。

圖2-11直觀地給出了內(nèi)壓10MPa，裂紋速度216m/s時(shí)一維管道氣體壓力模型（L=1.5D）下的管壁壓力沿軸向的分布。每條曲線的衰減起始點(diǎn)即為該時(shí)刻的裂尖位置。圖中裂尖壓力約為6.6MPa。

圖2-12展示了管道裂紋穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展中的開裂段位移的分布。圖中最大位移點(diǎn)位于裂尖后部第28個(gè)單元，即1.4m左右，位移量為0.23m。裂紋后方遠(yuǎn)端的管道因回彈現(xiàn)象而位移量降低，這與全尺寸實(shí)驗(yàn)中觀測到的現(xiàn)象是吻合的。

圖2-13分別按照三個(gè)方向上的位移分布在開裂前管道表面畫出云紋圖。從圖中可以看到，此種設(shè)計(jì)參數(shù)下的位移量主要發(fā)生在裂尖附近5m左右的區(qū)域，對(duì)遠(yuǎn)端的影響較小。

在裂紋擴(kuò)展與止裂分析中，代表裂紋驅(qū)動(dòng)力的G和CTOA是最受關(guān)注的量。下面分別對(duì)本小節(jié)穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展情況下的典型算例進(jìn)行分析。

圖2-14反映了節(jié)點(diǎn)力釋放法計(jì)算的動(dòng)態(tài)能量釋放率與裂尖位置的關(guān)系，其結(jié)果因前面提到過的有限元算法的原因而略有抖動(dòng)，G的穩(wěn)態(tài)值約35KN/m，遠(yuǎn)高于X70鋼材的斷裂韌性G_d<10KN/m。

CTOA的計(jì)算值大約在14°左右，略高于第四章中測到的（CTOA）c≈12°。

2.4.2不同設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)裂紋驅(qū)動(dòng)力的影響

在這一小節(jié)，我們分別根據(jù)與西氣東輸有關(guān)的不同的管道設(shè)計(jì)參數(shù)，在裂紋穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展的前提下，對(duì)G和CTOA的變化作規(guī)律性的評(píng)測。

目前我國輸氣管道的最高輸氣壓力為6.4MPa；俄羅斯運(yùn)營的輸氣干線最高為7.5MPa；西氣東輸工程先期設(shè)計(jì)壓力8.4MPa；干線設(shè)計(jì)壓力10MPa；國際上的輸送壓力在二十世紀(jì)末期達(dá)到了14MPa。圖2-16和2-17給出了上述幾種壓力下計(jì)算的動(dòng)態(tài)能量釋放率G和裂紋尖端張開角CTOA的值，管道口徑和壁厚均分別為1.016m和14.7mm。從圖上看，G和CTOA與P_O呈線性關(guān)系。

西氣東輸工程中，靖邊——上海復(fù)線管壁厚11.7mm；根據(jù)地理結(jié)構(gòu)與危險(xiǎn)程度劃分的一、二、三、四類地區(qū)分別采用的干線臂厚為14.7、17.5、21.0、26.2mm。我國現(xiàn)有輸氣管道最大直徑 660mm（陜京線）；西氣東輸管線天津——南京支線口徑813mm；主要干線口徑1016mm；先期設(shè)計(jì)口徑1118mm；預(yù)計(jì)未來十年間進(jìn)口管線直徑將達(dá)1422mm。

根據(jù)式（2-15）和（2-16），引入管道無量綱參數(shù)SDR，即直徑與厚度之比，固定其余參數(shù)，分別按上述不同工程參數(shù)變化壁厚和直徑，總結(jié)出G和CTOA隨SDR變化的規(guī)律。從圖2-18和圖2-19看，除個(gè)別點(diǎn)外，G和CTOA與SDR滿足線性關(guān)系。但有一點(diǎn)值得注意，這里未考慮SDE對(duì)穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展速度的影響。

2.5本章小結(jié)

在本章中，我們將斷裂動(dòng)力學(xué)中的基本原理（如裂紋極限速度、動(dòng)態(tài)能量釋放率、止裂動(dòng)態(tài)觀點(diǎn)與靜態(tài)觀點(diǎn)等），基本方法（節(jié)點(diǎn)力釋放法）和基本止裂判據(jù)與殼體動(dòng)力學(xué)有限元方法結(jié)合起來，利用氣體壓力模式確定管壁處的氣體壓力，形成了求解輸氣管道上穩(wěn)態(tài)裂紋擴(kuò)展的數(shù)值分析方法。
程序計(jì)算各種設(shè)計(jì)參數(shù)下裂紋驅(qū)動(dòng)力的結(jié)果同管材實(shí)驗(yàn)得到的韌性值處于同一量級(jí)，基本反映了目前求解的工程問題所處的狀態(tài)。通過計(jì)算得到的管道穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展過程中的各向應(yīng)力與位移的具體數(shù)值，對(duì)分析管道變形量和強(qiáng)度要求有重要的參考意義。
在裂紋穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展的條件下，動(dòng)態(tài)能量釋放率G或裂紋尖端張開角CT（劉同管道內(nèi)壓p₀或徑厚比SDR之間均呈線性關(guān)系。由此關(guān)系可便捷地推算任意設(shè)計(jì)參數(shù)下的裂紋驅(qū)動(dòng)力。通過和第四章介紹的小試件實(shí)驗(yàn)的動(dòng)態(tài)斷裂韌性結(jié)果相對(duì)照，可以得到裂紋止裂或擴(kuò)展的結(jié)論。
本章的結(jié)果還存在一些不足。
一是與計(jì)算結(jié)果密切相關(guān)的穩(wěn)態(tài)裂紋擴(kuò)展速度難以確定。本文擬定的（2-6b)式僅僅是一個(gè)粗略的估算公式，無法保證計(jì)算的精度。而測定裂紋擴(kuò)展速度的全尺寸爆破實(shí)驗(yàn)因?yàn)槠浒嘿F（一次實(shí)驗(yàn)耗費(fèi)上千萬人民幣）和測量手段的高要求，目前國內(nèi)尚未進(jìn)行；
二是對(duì)于止裂過程的描述。高韌性輸氣管道上已有的全尺寸爆破實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，動(dòng)態(tài)裂紋的止裂大都不是瞬間完成的，而是有一段明顯的減速過程。本章僅能提供穩(wěn)態(tài)裂紋擴(kuò)展的驅(qū)動(dòng)力，通過和小試件實(shí)驗(yàn)測得的動(dòng)態(tài)斷裂韌性相比較得到止裂或擴(kuò)展的結(jié)論，卻無法提供止裂過程、止裂點(diǎn)以及止裂長度等止裂分析中的關(guān)鍵量；
三是氣體壓力模式的取值范圍與可靠性難以保證。盡管該模式早在三十年前就得到了實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證，但僅常見的衰減模式就有指數(shù)衰減的Fourie：級(jí)數(shù)和拋物線衰減函數(shù)等一系列表達(dá)，本文應(yīng)用的線性衰減模式中的衰減長度也有不同的取值方法。尤其是高壓輸送導(dǎo)致欠膨脹超聲速射流出現(xiàn)以后，氣體壓力模式的適用性也在受到挑戰(zhàn)。
本文將在下面的三至五章中對(duì)上述問題作進(jìn)一步的研究與分析。