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 等角速萬向聯(lián)軸器理論

2.1引言
等角速萬向聯(lián)軸器機(jī)構(gòu)的發(fā)明及應(yīng)用開辟了萬向聯(lián)軸器的開發(fā)和應(yīng)用的嶄新時(shí)代，它也是萬向聯(lián)軸器等角速運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)和靈魂。對(duì)它的創(chuàng)新意味著有可能發(fā)明出新型的等角速萬向聯(lián)軸器，研究意義重大，萬向聯(lián)軸器機(jī)構(gòu)等角速傳動(dòng)的理論研究因此也成為該領(lǐng)域一個(gè)重要的研究課題。
實(shí)現(xiàn)等角速傳動(dòng)，可以有多種形式咨可以用高副機(jī)構(gòu)也可以用低副機(jī)構(gòu)，可以在兩軸間用多個(gè)構(gòu)件也可以用單一構(gòu)件，可以用連桿也可以用滾子或其它形狀的構(gòu)件。正是由于這些不同的型式，通過型演化就會(huì)產(chǎn)生更多的、千變?nèi)f化的等角速機(jī)構(gòu)。這也是等角速理論復(fù)雜的原因所在。
本章從等角速回轉(zhuǎn)連桿機(jī)構(gòu)入手，以實(shí)際的幾種典型等角速產(chǎn)品為例，對(duì)不同的等角速理論進(jìn)行理論推導(dǎo)，分析和綜合，給出了它們不同的適用范圍，為新型等角速聯(lián)軸器機(jī)構(gòu)的發(fā)現(xiàn)提供必要的理論基礎(chǔ)。

2.2等角速回轉(zhuǎn)連桿機(jī)構(gòu)探討
在等角速萬向聯(lián)軸器中，大部分都屬于連桿機(jī)構(gòu)．最古老的雙聯(lián)十字軸萬向聯(lián)軸器機(jī)構(gòu)就是球面四連桿機(jī)構(gòu)。從大量的不同的機(jī)構(gòu)綜合中，有可能得出多種實(shí)用的等角速連桿機(jī)構(gòu)，所以研究等角速理論，以連桿機(jī)構(gòu)的型式和尺度關(guān)系為對(duì)象，進(jìn)行新的等角速理論的探索，在一定的意義上是可行的。在機(jī)構(gòu)學(xué)上，構(gòu)件同構(gòu)件間的連接稱為副，其不同的形式和代號(hào)如圖2-1所示：

2.2.1等角速回轉(zhuǎn)連桿機(jī)構(gòu)

等角速回轉(zhuǎn)連桿機(jī)構(gòu)可用于任意位置軸間的等角速傳動(dòng)，如相交軸、交錯(cuò)軸（interlaced shaft）、平行軸。與齒輪機(jī)構(gòu)相比，它一般具有構(gòu)件簡(jiǎn)單、容易制造、傳動(dòng)精度高、耐磨損等優(yōu)點(diǎn)�，F(xiàn)已被廣泛應(yīng)用于汽車、軋鋼機(jī)等設(shè)備的雙聯(lián)十字軸萬向聯(lián)軸器、十字滑塊聯(lián)軸器等機(jī)構(gòu)就是其代表。
等角速回轉(zhuǎn)連桿機(jī)構(gòu)大多為空間機(jī)構(gòu)，解析較繁難，其尺度約束關(guān)系式較復(fù)雜。對(duì)它的研究，只能從某些方向著手，目前我國(guó)有的學(xué)者利用基本的回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)等角速理論為出發(fā)點(diǎn)，利用機(jī)構(gòu)學(xué)中型演化和運(yùn)動(dòng)鏈疊加等方法得出了多種具有等角速特性的機(jī)構(gòu)。其理論和方法如下：
基礎(chǔ)理論：
若一個(gè)機(jī)構(gòu)在運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)其位形始終具有以軸交角（輸人軸和輸出軸之間的夾角）的角平分面為鏡面的對(duì)稱性，則該機(jī)構(gòu)將具有等角速性。顯然，運(yùn)動(dòng)副與構(gòu)件均對(duì)稱于上述鏡面且含有中間副的單自由度鏡面機(jī)構(gòu)是這類機(jī)構(gòu)的基本型式，其運(yùn)動(dòng)特征是，中間運(yùn)動(dòng)副始終在鏡面內(nèi)作平面運(yùn)動(dòng)。這一理論直觀地闡明了一般相交軸、交錯(cuò)軸等角速連桿機(jī)構(gòu)的基本型式。

鏡面機(jī)構(gòu)的中間運(yùn)動(dòng)副應(yīng)始終作鏡面內(nèi)的平面運(yùn)動(dòng)，可假想構(gòu)成中間運(yùn)動(dòng)副的兩構(gòu)件分別與鏡面構(gòu)成假想平面副而形成了兩個(gè)對(duì)稱于鏡面的假想機(jī)構(gòu)。稱此假想機(jī)構(gòu)為“假想半聯(lián)軸器機(jī)構(gòu)”。
采用的方法：
對(duì)于上述的單自由度鏡面機(jī)構(gòu)，引人“假想半聯(lián)軸器機(jī)構(gòu)”的概念來闡明一般相交軸、交錯(cuò)軸等角速傳動(dòng)連桿機(jī)構(gòu)的構(gòu)成型式，從而將通常十分繁難的等角速多桿空間機(jī)構(gòu)尺度關(guān)系的研究，簡(jiǎn)化為“假想半聯(lián)軸器”聯(lián)軸器機(jī)構(gòu)曲柄條件的研究。應(yīng)用靜力平衡法進(jìn)行求解，即得出它們的曲柄存在的條件，也就得到了此機(jī)構(gòu)等角速回轉(zhuǎn)的尺度約束關(guān)系式。
通過上述的方法，可以得到相交軸、交錯(cuò)軸形式的多種等角速連桿機(jī)構(gòu)。在圖2-2中列出了其中的一部分，它們都是相交軸傳動(dòng)的形式，當(dāng)然全都是鏡面機(jī)構(gòu)。在這些機(jī)構(gòu)中有的已被應(yīng)用在等角速聯(lián)軸器上，如球鉸柱塞式萬向聯(lián)軸器就是以RPSPR機(jī)構(gòu)為基礎(chǔ)。在圖2-3中列出了其中的一種較重要的交錯(cuò)軸形式的等角速連桿機(jī)構(gòu)。

在圖2-3所示的RCRCR鏡面交錯(cuò)軸等角速連桿機(jī)構(gòu)中，要保證這種機(jī)構(gòu)存在雙曲柄，必須滿足許多條件，圖中所示的紅色尺寸值d相等只是其中的一個(gè)，從這一約束關(guān)系，就可以看出，在等角速機(jī)構(gòu)中要實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的等角速性能，不但需要滿足機(jī)械中各構(gòu)件自身的形狀尺寸，而且也要滿足構(gòu)件間的相互空間位置關(guān)系。鑒于圖2-3中所示的空間位置表達(dá)不清晰，特繪制了它的裝配模型圖和機(jī)構(gòu)的各零件模型圖，分別如圖2-4、圖2-5所示。

利用圖2-5中的機(jī)構(gòu)形式，將其在空間中進(jìn)行擴(kuò)展，即可得到一種非常有價(jià)值的等角速萬向聯(lián)軸器——RCRCR交錯(cuò)軸等角速萬向聯(lián)軸器。在圖2-6示意了此種聯(lián)軸器的組成零件模型，在圖2-7中示意了此種聯(lián)軸器的裝配模型，其中左右兩圖分別是從不同的視角得到的視圖。這種聯(lián)軸器在功能上能實(shí)現(xiàn)空間交錯(cuò)軸傳動(dòng)，它的主要特點(diǎn)是：低副結(jié)構(gòu)，耐磨損性好；構(gòu)件形狀簡(jiǎn)單，便于制造；允許被聯(lián)接的兩交錯(cuò)軸的偏移角變動(dòng)范圍大，甚至可作直角交錯(cuò)傳動(dòng)（不考慮構(gòu)件間干涉時(shí)）。

2.2.2等角速連桿機(jī)構(gòu)的驗(yàn)證

上述的理論是在鏡面機(jī)構(gòu)（據(jù)現(xiàn)有的理論是等角速度機(jī)構(gòu)）的基礎(chǔ)上，解出曲柄條件，得到機(jī)構(gòu)等角速運(yùn)動(dòng)的尺寬約束關(guān)系式。為了驗(yàn)證這一方法的可行性，特制作了如正氣RPSPR平面相交軸模型（如圖2-8所示），這個(gè)模型的結(jié)構(gòu)左右未完全對(duì)稱（兩個(gè)移動(dòng)副到球面副的距離不同）。

2.2.2.1仿真模型的建立

在圖2-8所示模型的基礎(chǔ)上，通過在各構(gòu)件間加上運(yùn)動(dòng)副，在運(yùn)動(dòng)副上施加運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)，即可得到此機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)仿真模型（如圖2-9所示）。在此模型的建立過程中嚴(yán)格保證各構(gòu)件的共面，其運(yùn)動(dòng)副的形式同圖2-2中的RPSPR機(jī)構(gòu)均相同。這樣在此模型中有4個(gè)構(gòu)件（不含機(jī)架）、有2個(gè)旋轉(zhuǎn)副、有2個(gè)移動(dòng)副、有l(wèi)個(gè)球面副、模型有l(wèi)個(gè)自由度，再加上l個(gè)運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)即可得到完整的仿真模型。不過此模型并不滿足鏡面機(jī)構(gòu)的條件。

2.2.2.2仿真結(jié)果分析
對(duì)模型進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真分析，并輸出此模型的輸入和輸出角速度的測(cè)量曲線（如圖2-10所示）。
在此仿真中共輸出了此模型運(yùn)動(dòng)兩周的曲線，這證明此模型中雙曲柄肯定存在，按前面的理論，如果機(jī)構(gòu)是鏡面機(jī)構(gòu)，在輸入轉(zhuǎn)速恒定的情況下，則輸出轉(zhuǎn)速就是恒定的，在圖2-10中，在輸入轉(zhuǎn)速恒定為90°/s時(shí)，其輸出轉(zhuǎn)速是周期變化的。后來經(jīng)模型修改，將原模型改為完全對(duì)稱結(jié)構(gòu)，滿足鏡面機(jī)構(gòu)的條件，重新進(jìn)行仿真，得出的結(jié)果是輸入轉(zhuǎn)速同輸出轉(zhuǎn)速完全相等。這從正反兩面說明了前面理論的正確性，同時(shí)也說明要想得到等角速傳動(dòng)并不是一件簡(jiǎn)單的事。不過本次證明只是對(duì)一種形式機(jī)構(gòu)而言，有關(guān)其它的機(jī)構(gòu)形式，還需要進(jìn)一步的探索。

2.2.3等角速回轉(zhuǎn)連桿機(jī)構(gòu)結(jié)論
由上面的分析可知，對(duì)于非鏡面對(duì)稱的RPSPR機(jī)構(gòu)，不可能具有等角速回轉(zhuǎn)的特性。
所有的機(jī)構(gòu)中，連桿機(jī)構(gòu)僅占一部分，鏡面機(jī)構(gòu)又僅占連桿機(jī)構(gòu)的一部分，即使我們證明了上述理論的正確性，所研究的內(nèi)容也僅占整個(gè)機(jī)構(gòu)的很小的一部分，這方面的理論還很不完善，需要進(jìn)一步地研究。
2.3等角速萬向聯(lián)軸器的理論及產(chǎn)品
關(guān)于等角速萬向聯(lián)軸器到目前已形成了三種理論，和大量的相關(guān)產(chǎn)品。已創(chuàng)建的等角速聯(lián)軸器的等角速傳動(dòng)理論如下：
雙十字軸萬向聯(lián)軸器實(shí)現(xiàn)等角速傳動(dòng)的理論；
傳力點(diǎn)位于兩軸交角平分面內(nèi)的等角速傳動(dòng)理論（定心式理論）；

瞬時(shí)滑動(dòng)——轉(zhuǎn)動(dòng)軸理論（非定心式理論）。

2.3.1雙聯(lián)十字軸等角速傳動(dòng)理論及其產(chǎn)品

2.3.1.1雙聯(lián)十字軸等角速傳動(dòng)理論

十字軸萬向聯(lián)軸器的基本結(jié)構(gòu)如圖2-11所示，它是由兩個(gè)在軸上的叉形接頭1、2和一個(gè)十字軸組成，因?yàn)椴嫘谓宇^和十字軸是鉸接的，因此允許被聯(lián)接兩軸有較大的角偏斜，但兩軸不在同一軸線上時(shí)，主動(dòng)軸等速運(yùn)動(dòng)，從動(dòng)軸將在某一范圍內(nèi)作周期的變速運(yùn)動(dòng)，即兩軸不同步。

單聯(lián)萬向聯(lián)軸器的運(yùn)動(dòng)關(guān)系：
十字軸萬向聯(lián)軸器的機(jī)構(gòu)實(shí)際上是球面四連桿機(jī)構(gòu)，它的空間運(yùn)動(dòng)關(guān)系早已解析出。當(dāng)輸入、輸出兩軸線的夾角為β輸入軸轉(zhuǎn)角ф_i轉(zhuǎn)速ω_i，輸出軸轉(zhuǎn)角ф_o，轉(zhuǎn)速ω_o，則它們的位移關(guān)系式為：tgф_i=tgф_pcosβ，速度關(guān)系式為：  ，曲線圖如圖2-12（此圖的目的主要是為了后面的驗(yàn)證所示。

雙聯(lián)十字軸萬向聯(lián)軸器等角速傳動(dòng)原理：
現(xiàn)假設(shè)有兩個(gè)十字軸萬向聯(lián)軸器，按圖2-13或圖2-14聯(lián)接在一起，主動(dòng)軸同從動(dòng)軸與中間軸之間的夾角分別為a_l、a₂，當(dāng)主動(dòng)軸轉(zhuǎn)過ф₁角，中間軸轉(zhuǎn)過ф₀角，從動(dòng)軸轉(zhuǎn)過ф₂角，則由上面的位移關(guān)系，有如下式子：
對(duì)第一個(gè)萬向聯(lián)軸器有：tgф₀=tgф₁cosa₁
對(duì)第二個(gè)萬向聯(lián)軸器有：tgф₀=tgф₂cosa₂

于是可得：tg cosa₁ =tg cosa₂，若要等角速，即：= 則有：a₁= a₂

這樣就得到了雙聯(lián)十字軸萬向聯(lián)軸器等角速傳動(dòng)時(shí)的兩種空間布置形式，也就是圖2-13和圖2-14所示的兩種方式。

將雙聯(lián)十字軸萬向聯(lián)軸器的這兩種布置形式，用文字描述如下：
當(dāng)兩個(gè)十字軸萬向聯(lián)軸器配合使用，則有可能實(shí)現(xiàn)等速傳動(dòng)，只需滿足如下條件：
傳動(dòng)軸、主動(dòng)軸和從動(dòng)軸三軸應(yīng)在同一平面內(nèi)：
傳動(dòng)軸兩端叉形接頭的叉口應(yīng)位于同一平面內(nèi)；
傳動(dòng)軸與主、從動(dòng)軸之間的軸間角應(yīng)相等。

這也是雙聯(lián)十字軸萬向聯(lián)軸器等角速傳動(dòng)的原理。從這一理論可知，它是面向于一種具體的聯(lián)軸器上的理論，只是針對(duì)十字軸萬向聯(lián)軸器，因而適用范圍較窄。
在這樣的理論指導(dǎo)下，人們制作了圖2-15所示的雙聯(lián)十字軸等角速萬向聯(lián)軸器。它的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)就是中間的軛機(jī)構(gòu)，它保證了兩軸同軛（相當(dāng)于中間軸）的夾角始終相等，從而實(shí)現(xiàn)等角速傳動(dòng)。

2.3.1.2雙聯(lián)＋字軸等角速傳動(dòng)理論的產(chǎn)品

2.3.1.2.1環(huán)叉式萬向聯(lián)軸器
在雙聯(lián)十字軸等角速萬向聯(lián)軸器理論的指導(dǎo)下，人們將中間的傳動(dòng)軸縮短為零，而將兩十字軸相應(yīng)變?yōu)槭�字軸和十字環(huán)的結(jié)構(gòu)（如圖2-16所示），于是就產(chǎn)生了環(huán)叉式等角速萬向聯(lián)軸器。其結(jié)構(gòu)原理簡(jiǎn)圖如圖2-17所示。

環(huán)叉式萬向聯(lián)軸器的結(jié)構(gòu)原理：
環(huán)叉式萬向聯(lián)軸器是在雙聯(lián)式萬向聯(lián)軸器的基礎(chǔ)上發(fā)展而成的。取消中間軸，使其兩端的十字軸在幾何上重合為一個(gè)率面，從而保證了理論上的等速傳動(dòng)。為避免兩十字軸重疊時(shí)，軸實(shí)體發(fā)生干涉，將其中一個(gè)十字軸實(shí)體改為虛體一一變形為一個(gè)中空的圓環(huán)，稱為“十字環(huán)”。十字環(huán)上開有兩對(duì)中心線互相垂直的銷孔和短銷軸，實(shí)質(zhì)上構(gòu)成虛體十字軸，同樣起十字軸作用，使虛體和實(shí)體兩個(gè)十字軸在幾何上能重疊為一個(gè)平面。由于萬向聯(lián)軸器具有“環(huán)”和“叉”的結(jié)構(gòu)特征，“環(huán)叉式萬向聯(lián)軸器”由此得名。
當(dāng)環(huán)叉式萬向聯(lián)軸器傳遞轉(zhuǎn)矩時(shí)，轉(zhuǎn)矩由叉軸l（主動(dòng)叉）傳到十字軸，再傳到十字環(huán)及叉軸2（從動(dòng)叉）。此機(jī)構(gòu)雖具備動(dòng)力傳遞功能，但要滿足其勻速運(yùn)動(dòng)特性，尚須增加一套分度裝置，為此將球籠式萬向聯(lián)軸器的杠桿式分度機(jī)構(gòu)移置到環(huán)叉式萬向聯(lián)軸器上來，這就達(dá)到了萬向聯(lián)軸器傳力點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)平面是主、從動(dòng)軸的角平分面的等速傳動(dòng)條件。

環(huán)叉式萬向聯(lián)軸器的特點(diǎn)：
a.靜態(tài)傳動(dòng)等速性近似球籠式萬向聯(lián)軸器；
b.最大工作夾角、最大轉(zhuǎn)角差均達(dá)到了球籠式萬向聯(lián)軸器的水平；

c.負(fù)荷能力、使用壽命、加工精度等同于傳統(tǒng)的雙聯(lián)十字軸萬向聯(lián)軸器，同時(shí)具有十字軸萬向聯(lián)軸器的其它優(yōu)點(diǎn)，如：加工制造容易、成本低廉、價(jià)格便宜等等；
d.結(jié)構(gòu)緊湊，能滿足前輪驅(qū)動(dòng)轎車結(jié)構(gòu)布置的要求，具有廣闊的應(yīng)用前景。

分度機(jī)構(gòu)剖析
環(huán)叉式萬向聯(lián)軸器實(shí)質(zhì)上是由雙聯(lián)十字軸萬向聯(lián)軸器加導(dǎo)桿球籠式萬向聯(lián)軸器的分度機(jī)構(gòu)所組成。環(huán)叉式萬向聯(lián)軸器同導(dǎo)桿球籠式萬向聯(lián)軸器的等角速傳動(dòng)特性的好壞關(guān)鍵就是由分度機(jī)構(gòu)的性能所決定。對(duì)分度機(jī)構(gòu)性能的深入分析，完全解析其特點(diǎn)十分有意義。
在環(huán)叉式萬向聯(lián)軸器中采用的分度機(jī)構(gòu)閱布置形式見圖2-17中紅色部分。當(dāng)叉軸1相對(duì)叉軸2有偏轉(zhuǎn)時(shí)，分度機(jī)構(gòu)的三個(gè)球頭分別相對(duì)它們的配合構(gòu)件轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣就會(huì)帶動(dòng)十字軸和十字環(huán)偏轉(zhuǎn)一定的角度。根據(jù)現(xiàn)有的等角速傳動(dòng)理論，當(dāng)十字軸和十字環(huán)偏轉(zhuǎn)的角度為叉軸1相對(duì)叉軸2偏轉(zhuǎn)角的一半時(shí)，將會(huì)把十字軸和十字環(huán)偏轉(zhuǎn)到叉軸l相對(duì)叉軸2的等分角平面，這樣傳力點(diǎn)就會(huì)在等分角平面內(nèi)，從而實(shí)現(xiàn)等角速傳動(dòng)。那么現(xiàn)在的關(guān)鍵問題是分度機(jī)構(gòu)是否能正好將角度偏轉(zhuǎn)一半。作出分度機(jī)構(gòu)的原理簡(jiǎn)圖如圖2-18所示。機(jī)構(gòu)中各參數(shù)的關(guān)系如下式：

m=18mm，a=9.7mm，b=27.7mm這里值的選取已經(jīng)過優(yōu)化）

現(xiàn)作出分度機(jī)構(gòu)中理論半偏轉(zhuǎn)角 ，實(shí)際半偏轉(zhuǎn)角у和它們的差的函數(shù)圖形，如圖2-19所示。

在圖2-19中，可以看到， ，y的函數(shù)圖形，在β角小于36度以前，幾乎是重疊的，在36度以后，才開始有明顯的差異，這一點(diǎn)從它們的差值曲線（圖2-19中下面的紫紅色曲線）也可以看出。這就是說，此機(jī)構(gòu)在目前的尺度下在36度以前，它的分度性能是相當(dāng)理想的，值得借鑒。不過從分度性能曲線上，可以看出，環(huán)叉式萬向聯(lián)軸器并非是完全的等角速萬向聯(lián)軸器，因?yàn)樵?6度以前的分度也有微小的差異。

2.3.1.2.2 THOMPSON 式萬向聯(lián)軸器
將環(huán)叉式萬向聯(lián)軸器的中間直線分度桿轉(zhuǎn)變?yōu)榍蛎娣侄葯C(jī)構(gòu)，就成為一種新型的等角速萬向聯(lián)軸器，這就是THOMPSON式萬向聯(lián)軸器其結(jié)構(gòu)如圖2-20所示。

這種聯(lián)軸器中通過用球面架（圖2-20左邊）來分度，相對(duì)環(huán)叉式萬向聯(lián)軸器來說，結(jié)構(gòu)上是復(fù)雜了，但它將環(huán)叉式分度中的高副全變?yōu)榱说透�，在�?rùn)滑上會(huì)非常優(yōu)良，壽命就會(huì)大大提高。從上面的結(jié)構(gòu)上看，這種改變?cè)谥圃旌脱b配上并未帶來任何不便。據(jù)現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)資料表明，這種聯(lián)軸器是一種等角速萬向聯(lián)軸器，目前這種聯(lián)軸器在國(guó)內(nèi)還未見有報(bào)導(dǎo)。

2.3.2 定心式等角速萬向聯(lián)軸器傳動(dòng)理論及其產(chǎn)品

2.3.2.1 定心式等角速萬向聯(lián)軸器傳動(dòng)理論

定心式等角速理論

a.兩軸相交時(shí)，兩軸交點(diǎn)與嚙合點(diǎn)恒位于兩軸線所成夾角的平分面上，可實(shí)現(xiàn)萬向聯(lián)軸器等角速轉(zhuǎn)動(dòng)（又稱同步）；
b.兩軸相錯(cuò)時(shí)，單一的萬向聯(lián)軸器聯(lián)接不能實(shí)現(xiàn)等角速轉(zhuǎn)動(dòng)的目的。

理論證明如下：
萬向聯(lián)軸器的等角速條件

2.3.2.1.1 當(dāng)輸入、輸出軸相交時(shí)的等角速條件

先將萬向聯(lián)軸器簡(jiǎn)化為如圖2-21所示的數(shù)學(xué)模型。建立模型及坐標(biāo)系如下：Z_i和Z_j分別代表輸入與輸出軸，X_i和X_j軸重合，均垂直于Z_i和Z_j所組成的平面。兩軸間的夾角為β。特別須說明的是，本文所建立的坐標(biāo)系均為右手坐標(biāo)系，為了清晰起見，Y軸一般不再標(biāo)出，可根據(jù)右手定則判斷其方向。

假設(shè)M點(diǎn)是兩軸的嚙合點(diǎn)（運(yùn)動(dòng)曲線C₁和C₂的交點(diǎn)，也就是傳力點(diǎn)）假設(shè)初始條件為：當(dāng)時(shí)間t=0時(shí)，（輸入軸轉(zhuǎn)角）， （輸出軸轉(zhuǎn)角）均為零，在兩坐標(biāo)系OX_iY_iZ_i和OX_jY_jZ_j中，曲線C_l和C₂的方程分別為：

如圖2-21所示，坐標(biāo)系OX_jY_jZ_j可以看作是坐標(biāo)系OX_iY_iZ_i繞X_i（或X_j）旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角β度。旋轉(zhuǎn)的方向余弦矩陣為：

進(jìn)行坐標(biāo)變換有：（即由坐標(biāo)系OX_jY_jZ_j變換到坐標(biāo)系OX_iY_iZ_i其中（X_i，Y_i，Z_i），（X_j，Y_j，Z_j）分別表示某點(diǎn)在兩坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。）

假設(shè)和β角已知，上述方程中只有三個(gè)未知量（ ，t，s），因此用數(shù)值方法能夠確定其解。

等角速條件的導(dǎo)出：

假設(shè)該萬向聯(lián)軸器是同步的，可令= （ ， 可取任意值）

則得：

msinβ=（1-cosβ）（ksin _i+lcos _i）

由于y可在一定范圍內(nèi)任意地取值，故有：

m=-w

綜合以上所述，得到聯(lián)接相交兩軸的萬向聯(lián)軸器同步性的條件為：

由于 和β的取值是任意的，交點(diǎn)M也是任意的，因此兩曲線方程滿足上述同步條件時(shí)，才能保證輸入、輸出是完全同步。故它們的參數(shù)方程為：

設(shè)兩曲線的交點(diǎn)M（嚙合點(diǎn)）與兩軸的交點(diǎn)。的連線OM與輸入軸（Z_i軸的負(fù)半軸）的夾角和。M與輸出軸和夾角分別為：（在此處|OM|= ，表示嚙合點(diǎn)與兩軸交點(diǎn)間的距離。）

由此可得cosa=cosθ，由于0≤180°  0≤θ≤180°。故有a=θ。簡(jiǎn)而言之，兩相交軸完全同步的基本條件是：兩軸交點(diǎn)與嚙合點(diǎn)恒位于兩軸線所成夾角的平分面上。

2.3.2.1.2 輸入軸、輸出軸相錯(cuò)時(shí)的同步性研究

假設(shè)兩軸的位置如圖2-22所示，建立模型及坐標(biāo)系如下：Z_i和Z_j分別為輸入軸、輸出軸，設(shè)X_i（X_j）與Z_i和Z_j的公垂線重合，h為兩軸間的最短距離，兩軸夾角為β。

進(jìn)行坐標(biāo)變換，則坐標(biāo)系OX_jY_jZ_j中的某點(diǎn)在OX_iY_iZ_i坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可表示為：

在此表示坐標(biāo)系變換矩陣，兩軸嚙合點(diǎn)M的坐標(biāo)可如下求得：

此處 、 分別表示輸入軸、輸出軸在任意時(shí)刻轉(zhuǎn)過的任意角度，由上式我們可導(dǎo)出以下的關(guān)系式：

假設(shè)此時(shí)兩軸能夠?qū)崿F(xiàn)同步，令 = ，則上式只有兩個(gè)未知量，通過計(jì)算，則可以導(dǎo)出兩軸運(yùn)動(dòng)的輪廓曲線存在著某種關(guān)系。

設(shè)（2-6）恒成立，通過比較兩端的系數(shù)可得：k=u，l=v，h=0

這顯然與已知不符，因?yàn)閔≠0，可見假設(shè)不成立。

若再設(shè)（2-8）式恒成立，則有m=0,u=O,w=0,v=O。代入（2-7）式中可得k=l=0，顯然這個(gè)結(jié)果是毫無意義的，因此假設(shè)不成立。
通過以上的分析，我們知道，兩軸相錯(cuò)時(shí)，在這種模型下，單一的萬向聯(lián)軸器聯(lián)接不能實(shí)現(xiàn)同步的目的。

2.3.2.1.3定心式等角速萬向聯(lián)軸器理論總結(jié)
定心式是指兩軸相交時(shí)的情況，盡管上述證明過程涉及到了兩軸相錯(cuò)時(shí)的等角速條件證明，但未得出任何結(jié)果，這里實(shí)際上只有定心式的等角速理論得到了證明。在證明中用到的模型傳力點(diǎn)只有一個(gè)，這就是說結(jié)論的得到是建立在聯(lián)軸器機(jī)構(gòu)模型中中間構(gòu)件只有一個(gè)的情況，多于一個(gè)的情況此結(jié)論就不一定正確了，因此這也限制了這一理論的應(yīng)用范圍。

2.3.2.2定心式等角速萬向聯(lián)軸器的產(chǎn)品
下面的兩類萬向聯(lián)軸器在結(jié)構(gòu)上輸入軸和輸出軸始終相交于一點(diǎn)，只通過鋼球來傳遞力，是典型的定心式等角速理論的應(yīng)用。

2.3.2.2.1球籠式萬向聯(lián)軸器
球籠式萬向聯(lián)軸器是目前性能最優(yōu)良，應(yīng)用最廣泛的一種等角速萬向聯(lián)軸器，根據(jù)結(jié)構(gòu)形式的不同可分為兩大類，即導(dǎo)向桿式球籠萬向聯(lián)軸器和偏心距式球籠萬向聯(lián)軸器，分別如圖2-23和圖2-24所示。
導(dǎo)向桿式球籠萬向聯(lián)軸內(nèi)外環(huán)上鋼球滾道溝槽的圓弧中心和保持架內(nèi)外球面的球心均重合確保萬向節(jié)的中心o保持不變，如圖2-23所示。當(dāng)兩軸線有相對(duì)的角位移時(shí)，通過導(dǎo)向桿的作用能使鋼球分布在兩軸軸線相對(duì)角位移的等分角平面上，從而保證兩軸同步。導(dǎo)向桿式球籠萬向聯(lián)軸器因零件數(shù)量較多、安裝不便，在應(yīng)用上受到了一定的限制。
偏心距式球籠萬向聯(lián)軸器內(nèi)外環(huán)上鋼球滾道溝槽的圓弧中心o′和o″以相同偏心距分別置于對(duì)稱線（如圖2-24中藍(lán)色點(diǎn)劃線所示）的兩側(cè)，當(dāng)兩軸線有相對(duì)的角位移時(shí)，能使鋼球分布在兩軸軸緣相對(duì)角位移的等分角平面上，從而保證兩軸同步。
球籠式萬向聯(lián)軸器的特點(diǎn)：同步性高、角位移大、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積小等許多優(yōu)點(diǎn)。已形成系列，并廣泛應(yīng)用于汽車、冶金、輕工、重型機(jī)械等部門。

2.3.2.2.2鋼球柱槽聯(lián)軸器

鋼球柱槽聯(lián)軸器同球籠式萬向聯(lián)軸器一樣，它也通過鋼球來傳遞兩個(gè)半聯(lián)軸器之間的力，當(dāng)兩個(gè)半聯(lián)軸器的軸線有相對(duì)的角位移時(shí)，半聯(lián)軸器上的滾道能使鋼球分布在兩軸軸線相對(duì)角位移的等分角平面上（如圖2-25所示），從而保證兩軸同步。同球籠式萬向聯(lián)軸器不同的是它的鋼球分布在一個(gè)橢圓面上，而球籠式萬向聯(lián)軸器則分布在一個(gè)球面上。
鋼球柱槽聯(lián)軸器是一種結(jié)構(gòu)極為簡(jiǎn)單且易于制造的等速聯(lián)軸器，因而具有實(shí)用價(jià)值，不過由于結(jié)構(gòu)上的限制這種聯(lián)軸器兩軸間的偏轉(zhuǎn)角較小。

2.3.3非定心式等角速萬向聯(lián)軸器理論及其產(chǎn)品
2.3.3.1非定心式等角速萬向聯(lián)軸器傳動(dòng)理論
非定心式等角速理論：
輸入軸和輸出軸的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸或瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)——滑動(dòng)軸位于或平行于兩軸的等分角平面。
理論證明如下：

2.3.3.1.1單聯(lián)萬向聯(lián)軸器等角速傳動(dòng)的必要條件
設(shè)單聯(lián)萬向聯(lián)軸器的角速度為 ，輸出軸與輸入軸的瞬時(shí)角速度相等，其角速度用 來表示，兩軸線相交于0點(diǎn)，偏轉(zhuǎn)角β隨時(shí)間的偏轉(zhuǎn)角速度為 。對(duì)此聯(lián)軸器可作出圖2-26所示的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系示意圖。
假設(shè)給整個(gè)系統(tǒng)加上一個(gè)角速度- ，則根據(jù)理論力學(xué)中的知識(shí)可知輸出軸和輸入軸的關(guān)系仍保持不變，這時(shí)輸入軸的角速度變?yōu)榱�，而輸入軸的運(yùn)動(dòng)可由下面的方法來分析。

如圖2-26所示，使 矢量等于 ， 矢量等于- ，且∠bo′f=β，作 平行于 ，其大小等于 ，則△abo′為等腰三角形，由b點(diǎn)作 的垂線，得垂足g， 垂線將△abo′等分成兩個(gè)直角三角形，這兩個(gè)直角三角形與△aco′為相似三角形。

由于：         

所以 位于兩軸的等分角平面內(nèi)，因此- 和 的合成矢量即輸出軸相對(duì)于輸入軸的角速度 也位于兩軸的等分角平面內(nèi)。 的大小可通過△o′gb和△ogb來計(jì)算：

=2ω₀sin

由于 矢量與輸入和輸出軸的軸線垂直，所以 與 的合成矢量 = + 也位于兩軸的等分角平面內(nèi)。合成矢量 的位置就是瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的位置。

所以軸線相交的等角速萬向聯(lián)軸器輸出軸相對(duì)于輸入軸的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸始終位于兩軸的等分角平面內(nèi)�？紤]到萬向聯(lián)軸器的一般情形：輸入軸與輸出軸軸線并不位于同一平面內(nèi)，存在與輸入軸線和輸出軸線垂直的徑向位移，且有徑向移動(dòng)速度和軸向移動(dòng)速度 與 ，如圖2-27所示。

這些移動(dòng)速度不影響角速度矢量合成，即不影響瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)——滑動(dòng)軸的方位，但是對(duì)角速度所確定的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)——滑動(dòng)軸的位置有一定影響，這時(shí)輸出軸相對(duì)于輸入軸的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)——滑動(dòng)軸不是位于而是平行于兩軸的等分角平面。這一結(jié)果是以兩軸角速度大小相等為前提條件推導(dǎo)出來的，可以作為單聯(lián)萬向聯(lián)軸器的普遍條件來應(yīng)用，現(xiàn)將此條件簡(jiǎn)述如下：
具有等速傳動(dòng)特性的單聯(lián)萬向聯(lián)軸器的必要條件為兩軸的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸或瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)——滑動(dòng)軸位于或平行于兩軸的等分角平面。

2.3.3.1.2單聯(lián)萬向聯(lián)軸器等角速傳動(dòng)的充分條件
上述條件反之也成立。在一般情況下，如果兩軸用一個(gè)單聯(lián)聯(lián)軸器聯(lián)接，若相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸或瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)―滑動(dòng)軸位于或平行于兩軸的等分角平面，則該萬向聯(lián)軸器具有等角速傳動(dòng)特性。
如圖2-28所示，輸入軸與輸出軸通過一個(gè)萬向聯(lián)軸器J聯(lián)接，兩軸夾角β為變量，輸出軸相對(duì)于輸入軸存在瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)——滑動(dòng)軸，用矢量 來表示瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)——滑動(dòng)軸的方向，矢量 平行于兩軸的等分角平面�，F(xiàn)將 的起點(diǎn)位置移動(dòng)到O′處，使 位于兩軸的等分角平面內(nèi)，將 分解為偏轉(zhuǎn)角速度 和相對(duì)角速度 如圖2-28所示，由于 位于等分角平面內(nèi)，所以在以 為合成矢量、

2.3.3.1.3非定心式等角速萬向聯(lián)軸器理論總結(jié)
從這一理論證明所采用的模型和證明過程可以看出，它的證明僅是從聯(lián)軸器的輸入和輸出著手，并未涉及到聯(lián)軸器的中間傳力構(gòu)件，近似于一種黑箱理論。故而這一理論證明所采用的模型具有廣泛的代表性，理論本身也有廣泛的適用范圍。這就是說如果構(gòu)造出傳力點(diǎn)位于或平行于等分角平面的萬向聯(lián)軸器，則此聯(lián)軸器具有等速傳動(dòng)特性。很明顯這一理論在前面的理論上又前進(jìn)了一步。

2.3.3.2非定心式等角速萬向聯(lián)軸器的產(chǎn)品
同非定心式等角速萬向聯(lián)軸器理論相符的萬向聯(lián)軸器產(chǎn)品主要有如下幾種。在這幾種萬向聯(lián)軸器中它們的兩軸線并不是交于一個(gè)不變的點(diǎn)，這也正是非定心式的概念。

2.3.3.2.1三球銷式萬向聯(lián)軸器
三球銷式萬向聯(lián)軸器是一種被廣泛應(yīng)用的聯(lián)軸器，已有近30年的歷史，它同后面敘述的兩種聯(lián)軸器同屬三叉式萬向聯(lián)軸器，它們的傳動(dòng)原理在本文的第三章中有詳細(xì)的描述，是一種運(yùn)動(dòng)規(guī)律十分復(fù)雜的聯(lián)軸器。它的裝配模型和零部件模型分別如圖2-30、圖2-29所示．在聯(lián)軸器轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，傳遞滾子既可相對(duì)滑道軸中的滑道軸向移動(dòng)，也可沿三叉桿的軸頸轉(zhuǎn)動(dòng)和徑向移動(dòng)，以補(bǔ)償兩軸夾角的變化。

三球銷式萬向聯(lián)軸器是一種準(zhǔn)等角速聯(lián)軸器，與其它各類等角速聯(lián)軸器相比，零件數(shù)目最少，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單緊湊，無論傳動(dòng)方向如何，三個(gè)銷軸全部參加工作，因此傳動(dòng)扭矩能力強(qiáng)，工作可靠，聯(lián)軸器的相對(duì)運(yùn)動(dòng)件為滾動(dòng)摩擦，摩擦損失小，傳動(dòng)效率高。不過它的滾子同滑道的接觸是高副線接觸，傳動(dòng)中接觸應(yīng)力較大，在一定的程度上可能限制了它的傳輸能力。

2.3.3.2.2三叉桿滑移式萬向聯(lián)軸器
三叉桿滑移式萬向聯(lián)軸器是新發(fā)展起來的一種較理想的萬向聯(lián)軸器，其裝配模型和零部件模型分別如圖2-32、圖2-31所示。它的運(yùn)動(dòng)方式在本文的第三章中有詳細(xì)的描述。相對(duì)于三球銷式萬向聯(lián)軸器，它將前者的高副線接觸改為面接觸，增加了聯(lián)軸器的傳輸能力。

這種聯(lián)軸器結(jié)構(gòu)和制造工藝簡(jiǎn)單，傳動(dòng)平穩(wěn)，在輸入、輸出兩軸軸線成較大的夾角傳動(dòng)時(shí)仍能保證等角速傳動(dòng)的性能。

三叉桿滑移式萬向聯(lián)軸器作為一種新型非定心式萬向聯(lián)軸器能達(dá)到等角速傳動(dòng)且具有優(yōu)良性能，將有廣闊的應(yīng)用前景。

2.3.3.2.3三叉桿滑塊式萬向聯(lián)軸器
三叉桿滑塊式萬向聯(lián)軸器是一種新型的萬向聯(lián)軸器，其裝配模型和零部件模型分別如圖2-34、圖2-33所示。它同三叉桿滑移式萬向聯(lián)軸器只是在結(jié)構(gòu)上稍有不同，將前者的滑桿變?yōu)榱嘶瑝K，這樣由于結(jié)構(gòu)上的限制，其偏轉(zhuǎn)角相對(duì)變小，但其傳輸能力相對(duì)提高。
這種聯(lián)軸器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、緊湊，制造裝配不需專用設(shè)備，工藝簡(jiǎn)單，造價(jià)低，傳輸能力強(qiáng)，具有廣闊的應(yīng)用前景。不過它同三叉桿滑移式萬向聯(lián)軸器一樣在潤(rùn)滑方面可能很難設(shè)計(jì)，這樣在壽命上可能就相對(duì)較短。

2.3.3.2.4交錯(cuò)軸等角速萬向聯(lián)軸器
交錯(cuò)軸等角速萬向聯(lián)軸器的裝配模型和零部件模型分別如圖2-7、圖2-6所示，這一種聯(lián)軸器目前還停留在研究階段。它的所有運(yùn)動(dòng)副都為低副，制造工藝簡(jiǎn)單，能實(shí)現(xiàn)交錯(cuò)軸的等角速傳動(dòng)。它最大的特點(diǎn)是可以在交錯(cuò)情況下，進(jìn)行90度夾角的運(yùn)動(dòng)（構(gòu)件不干涉的情況下）。

2.4不同理論的適用范圍和聯(lián)系
在前述的三種理論中，可以看出它們并不互相獨(dú)立，而是在各自的適用范圍內(nèi)有相互的聯(lián)系。
雙聯(lián)十字軸萬向聯(lián)軸器理論只針對(duì)十字軸萬向聯(lián)軸器適用，但當(dāng)環(huán)叉式和THOMPSON式萬向聯(lián)軸器出現(xiàn)后，它們都是利用分度機(jī)構(gòu)將傳力點(diǎn)轉(zhuǎn)至等分角平面，這一點(diǎn)同定心式等角速的理論相同。當(dāng)非定心式等角速的理論出現(xiàn)后，它概括了前面的所有等角速理論，成為單聯(lián)萬向軸器等角速傳動(dòng)的普遍規(guī)律。

2.5本章小結(jié)
本章較為系統(tǒng)地總結(jié)了現(xiàn)有的等角速理論，為新型的等角速萬向聯(lián)軸器提供了理論基礎(chǔ)。
從等角速回轉(zhuǎn)連桿機(jī)構(gòu)探討入手，歸納并總結(jié)了在等角速回轉(zhuǎn)連桿機(jī)構(gòu)的最新成果，說明有多種形式的連桿機(jī)構(gòu)具有等速傳動(dòng)特性，可以作為新型等角速萬向聯(lián)軸器研制的機(jī)構(gòu)學(xué)基礎(chǔ)。
對(duì)現(xiàn)有的三種等角速理論及其相應(yīng)的典型產(chǎn)品，進(jìn)行了總結(jié)和比較，給出了它們各自的適用范圍及相互間的聯(lián)系，為進(jìn)一步的等角速理論研究打下了基礎(chǔ)，也為新型等角速萬向聯(lián)軸器的發(fā)明提供了理論指導(dǎo)。