雙聯(lián)三叉桿式萬向聯(lián)軸器的動力仿真
5.1引言
任何機(jī)械都有運(yùn)動，任何機(jī)械都受到力的作用，各種機(jī)械因受到力的作用而運(yùn)動，在運(yùn)動中又會產(chǎn)生力。正是由于力和運(yùn)動的相互影響，才使動力學(xué)問題相當(dāng)?shù)膹?fù)雜，這一點(diǎn)在空間機(jī)構(gòu)中體現(xiàn)更是突出。由前面的分析可知，三叉桿式萬向聯(lián)軸器機(jī)構(gòu)是一種運(yùn)動規(guī)律非常復(fù)雜的空間機(jī)構(gòu)，它的動力分析自然十分復(fù)雜，如用手工去計(jì)算幾乎不可能。
動力分析是進(jìn)行機(jī)械設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。只有通過動力分析知道物體的受力狀況，才可在機(jī)械設(shè)計(jì)中對物體進(jìn)行強(qiáng)度、剛度、疲勞、壽命等機(jī)械性能進(jìn)行計(jì)算。由此，動力分析的重要性可見一斑。
由于動力學(xué)研究的復(fù)雜性，人們常常引入一些假定，使問題簡化。有時(shí)這種假定無關(guān)緊要，有時(shí)則會導(dǎo)致計(jì)算的失誤。但隨著生產(chǎn)實(shí)踐的發(fā)展，對動力學(xué)分析的準(zhǔn)確度提出了新的要求。如果仍舊采用靜態(tài)代替動態(tài)的靜力學(xué)方法和恒定動態(tài)代替變動動態(tài)的動態(tài)靜力學(xué)方法，則根本不能滿足分析的要求。為此必須進(jìn)行真正的動力學(xué)分析或彈性動力學(xué)分析。
力學(xué)理論的發(fā)展、電子計(jì)算機(jī)的改進(jìn)和廣泛應(yīng)用為動力學(xué)分析方法提供了理論基礎(chǔ)和實(shí)踐手段。目前在眾多的CAD、CAE軟件中，ADAMS以其較強(qiáng)的運(yùn)動學(xué)，動力學(xué)分析功能在眾多工程領(lǐng)域里獲得了廣泛的應(yīng)用，利用它能較好的解決上述的動力學(xué)問題。
本章利用ADAMS軟件，對第四章中建立的雙聯(lián)三叉桿萬向聯(lián)軸器進(jìn)行多剛體的動力分析，得到了一些有用的、可視化的結(jié)果。
5.2理論背景
5.2.1機(jī)械動力學(xué)簡介
機(jī)械動力學(xué)研究機(jī)械在力作用下的運(yùn)動和在運(yùn)動中產(chǎn)生力的科學(xué)。由于機(jī)械產(chǎn)品的高速化、精密化、輕量化、大功率化的發(fā)展趨向不斷促使機(jī)械動力學(xué)的發(fā)展，要求提出更精確、更真實(shí)的反映客觀實(shí)際的動力學(xué)分析方法而摒棄以前在計(jì)算中的許多假設(shè)和簡化。
在機(jī)械動力學(xué)發(fā)展的過程中產(chǎn)生了如下四種分析方法：
靜力學(xué)分析（Static Analysis）。對于低速機(jī)械，在運(yùn)動中的慣性力可以忽略不計(jì)。在機(jī)械運(yùn)動過程中的各個(gè)位置采用靜力平衡的方法求解；
動態(tài)靜力學(xué)分析（Kineto-Static Analysis）。隨著機(jī)械的速度的提高，慣性力不能再被忽略。假定構(gòu)件按理想的規(guī)律運(yùn)動，利用達(dá)朗貝爾原理求解；
動力學(xué)分析（Dynalnic Analysis）。由于在各種力的作用下，機(jī)械并不能維持理想的運(yùn)動規(guī)律這一假定，在分析中，把原動規(guī)包括在機(jī)械系統(tǒng)之內(nèi)來進(jìn)行分析。
彈性動力學(xué)分析（Elasto-dynamics Analysis）。在前三種分析方法中，構(gòu)件均被假定為剛性的，但隨著機(jī)械輕量化的發(fā)展，構(gòu)件柔性加大，運(yùn)轉(zhuǎn)速度提高，慣性急劇增大，在這種情況下，構(gòu)件的彈性變形會給機(jī)械運(yùn)動的輸出帶來誤差。
機(jī)械彈性動力學(xué)是機(jī)械動力學(xué)發(fā)展的新階段，它研究把機(jī)械的構(gòu)件看作是彈性的而不是剛性時(shí)的機(jī)械運(yùn)動狀態(tài)，以及為抑制彈性動力響應(yīng)而采取的措施和相應(yīng)的機(jī)械設(shè)計(jì)方法。目前這種方法已得到了廣泛的應(yīng)用。
5.2.2ADAMS中的動力學(xué)方程
ADAMS中采用拉格朗日乘子法建立系統(tǒng)動力方程
完整約束方程
（q，t）=0
非完整約束方程θ(q，
，t)=0
其中：
T——系統(tǒng)動能；
q——系統(tǒng)廣義坐標(biāo)列陣；
——廣義力列陣；
p——對應(yīng)于完整約束的拉氏乘子列陣；
μ——對應(yīng)于非完整約束的拉氏乘子列陣；
通過求解此微分方程的數(shù)值解，即可得到結(jié)果。
5.3雙聯(lián)三叉桿式萬向聯(lián)軸器的動力仿真
5.3.1分析模型的建立
本分析模型是在第四章中的運(yùn)動分析模型（圖4-18）的基礎(chǔ)上通過除去運(yùn)動驅(qū)動，加上驅(qū)動力、摩擦力而得到圖5-1所示的動力仿真模型。
目前在三叉桿式萬向聯(lián)軸器動力分析方面，所發(fā)表的論文大多是在忽略摩擦力與慣性力的條件下進(jìn)行的，僅是作最基礎(chǔ)的靜力學(xué)分析，或是考慮到恒定摩擦和慣性力的動態(tài)靜力學(xué)分析。而在實(shí)際應(yīng)用中，摩擦不僅是聯(lián)軸器實(shí)際失效的主要原因之一，而且是影響效率的主要因素，另外在聯(lián)軸器高速運(yùn)轉(zhuǎn)中慣性力是不可忽略的重要因素。因此本章在考慮到摩擦和慣性力的情況下，進(jìn)行真正的動力學(xué)分析（多剛體系統(tǒng)），必定會得出全新的結(jié)果，為這種聯(lián)軸器的進(jìn)一步研究、開發(fā)打下基礎(chǔ)。
5.3.1.1建立模型的的關(guān)鍵點(diǎn)
5.3.1.1.1摩擦力的施加
在雙聯(lián)三叉桿式萬向聯(lián)軸器的模型中，相互運(yùn)動的構(gòu)件較多，各個(gè)構(gòu)件之間的活動接觸面都會產(chǎn)生摩擦力的作用，不同的運(yùn)動副形式，摩擦產(chǎn)生的來源也不一樣，在施加摩擦?xí)r要根據(jù)不同的摩擦來源考慮各因素的影響。在本章的分析中，各個(gè)運(yùn)動副間都被加上了摩擦力。由于涉及到了如下四種運(yùn)動副，現(xiàn)對它們摩擦力施加的考慮因素作如下的陳述：
移動副：
移動副產(chǎn)生摩擦的示意圖如圖5-2所示。在這種運(yùn)動副中只會產(chǎn)生逆向于移動方向v（如圖5-2中藍(lán)色箭頭所示）的摩擦力Ffrict（如圖5-2中紅色箭頭所示）,它的產(chǎn)生主要由三種因素，即構(gòu)件間相互作用的徑向力F、構(gòu)件間相互作用的扭矩Tn、構(gòu)件間相互作用的彎矩Tm（這三種力如圖5-2中綠色箭頭所示）。在施加由這些作用力產(chǎn)生的摩擦力時(shí)，要考慮徑向力F的大小、等效作用臂長Rn（如圖5-2中右邊圖所示運(yùn)動副間的重疊量和重疊量的變化情況、扭矩Tn的大小和它的等效反作用臂長Rn、彎矩Tm的大小和彎矩的反作用臂長XS（如圖5-2中間圖所示）。另外還得考慮靜摩擦系數(shù)、動摩擦系數(shù)及預(yù)載荷的作用。
圓柱副：
圓柱副產(chǎn)生摩擦的示意圖5-3所示。在這種動動副中會產(chǎn)生逆向于移動方V（如圖5-3中藍(lán)色箭頭所示）的摩擦力Ffrict（如圖5-3中紅色箭頭所示）及逆向于旋轉(zhuǎn)方向ω（如圖5-3中藍(lán)色箭頭所示）的摩擦扭矩Ffrict（如圖5-3中紅色箭頭所示），它的產(chǎn)生主要由兩種因素，即構(gòu)件間相互作用的徑向力F、構(gòu)件間相互作用的彎矩Tm（這兩種力如圖5-3中綠色箭頭所示）。在施加這些作用力產(chǎn)生的摩擦力時(shí)，要考慮徑向力F的大小、圓柱半徑RP（如圖5-3中間圖所示）、運(yùn)動副間的重疊量和重疊量的變化情況、彎矩Tm的大小和彎矩的反作用臂長Xs（如圖5-2中右圖所示），另外還得考慮靜摩擦系數(shù)、動摩擦系數(shù)及預(yù)載荷的作用。
旋轉(zhuǎn)副：
旋轉(zhuǎn)副產(chǎn)生摩擦的示意圖如圖5-4所示。在這種運(yùn)動副中只會產(chǎn)生逆向于旋轉(zhuǎn)方向。（如圖5-4中藍(lán)色箭頭所示）的摩擦扭矩Tfrict（如圖5-4中紅色箭頭所示），它的產(chǎn)生主要由三種因素，即構(gòu)件間相互作用的徑向力Fr、構(gòu)件間相互作用的軸向力Fa、構(gòu)件間相互作用的彎矩Tr（這三種力如圖5-4中綠色箭頭所示）。在施加由這些作用力產(chǎn)生的摩擦力時(shí)，要考慮徑向力Fr的大小、圓柱半徑RP（如圖5-4右圖所示）、軸向力Fa的大小、摩擦半徑Rn的大�。ㄈ鐖D5-4右圖所示）、彎矩Tm的大小和彎矩的反作用臂長（即旋轉(zhuǎn)副的長度，如圖5-4中左圖所示），另外還得考慮靜摩擦系、動摩擦系數(shù)及預(yù)載荷的作用。
球面副：
球面副產(chǎn)生摩擦的示意圖如圖5-5所示。在這種運(yùn)動副中只會產(chǎn)生逆向于旋轉(zhuǎn)方向的摩擦扭矩Tfrc（如圖5-5中紅色箭頭所示），它的產(chǎn)生只有一種因素，即構(gòu)件間相互作用的徑向力F（如圖5-5中灰色箭頭所示）。在施加由相互作用的徑向力F產(chǎn)生的摩擦力時(shí)，要考慮徑向力F的大小和球半徑，另外還得考慮靜摩擦系數(shù)、動摩擦索數(shù)及預(yù)載荷的作用。
在這一過程中分別對20個(gè)運(yùn)動副添加了摩擦力，這些力在仿真中將會隨著。它們的產(chǎn)生因素的變化而變化。這在后面的結(jié)果中可以見到。
5.3.1.1.2驅(qū)動力的施加
在動力仿真中，對微分方程的求解用的都是用數(shù)值計(jì)算的方法，在迭代求解的過程中，步長不可過長，如果步長太大，則在數(shù)值計(jì)算中會不收斂，導(dǎo)致仿真的失敗。在動力仿真中，如果規(guī)定了時(shí)間步的步長，又添加了過大的驅(qū)動力，則在仿真中物體在較短的時(shí)間內(nèi)會發(fā)生很大的空間位移，在這種情況下，數(shù)值計(jì)算將很可能不收斂．故在進(jìn)行動力仿真中，應(yīng)讓整個(gè)變化過程平緩的進(jìn)行，仿止出現(xiàn)上述的現(xiàn)象。
在ADAMS中提供了階梯函數(shù)（STEP函數(shù)），它可以作為解決這一問題的工具。STEP函數(shù)簡述如下：
在ADAMS中，STEP函數(shù)近似一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)STEP函數(shù)（沒有不連續(xù)性）,并逐步逼近數(shù)值，例如：驅(qū)動或者力，向上或者向下或者打開和關(guān)閉。它的函數(shù)圖形如圖5-6所示。格式同各參數(shù)說明如下：
格式：STEP(x,x0,h0,xl,hl)
參數(shù)說明：
x一自變量，可以是時(shí)間或時(shí)間的任一函數(shù)；
x0一自變量的STEP函數(shù)開始值，可以是常數(shù)或函數(shù)表達(dá)式或設(shè)計(jì)變量；
x1一自變量的STEP函數(shù)結(jié)束值，可以是常數(shù)、函數(shù)表達(dá)式或設(shè)計(jì)變量；
h0一STEP函數(shù)的初始值，可以是常數(shù)、設(shè)計(jì)變量或其它函數(shù)表達(dá)式；
h1一STEP函數(shù)的最終值，可以是常數(shù)、設(shè)計(jì)變量或其它函數(shù)表達(dá)式；
從以上說明中，可以知道，STEP函數(shù)能使數(shù)值之間的過度平緩。在本次仿真中正是利用了這一點(diǎn)，在施加驅(qū)動力時(shí)采用了此函數(shù)，讓驅(qū)動力從O平緩過度到一個(gè)較大的值，使仿真平穩(wěn)地進(jìn)行，避免了發(fā)散現(xiàn)象。
在這一過程中分別在輸入軸同支承間的旋轉(zhuǎn)副及輸出軸同支承間的旋轉(zhuǎn)副上添加了STEP函數(shù)力矩驅(qū)動（輸出軸同支承間的旋轉(zhuǎn)副上的驅(qū)動作為負(fù)載，輸入軸同支承間的旋轉(zhuǎn)副上的驅(qū)動作為主動力矩）。
5.3.1.2模型的檢驗(yàn)
建立好模型后，對模型進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果如下：
模型中共有15個(gè)構(gòu)件；
有6個(gè)圓柱副，2個(gè)旋轉(zhuǎn)副，6個(gè)球面副，6個(gè)移動副；
模型共有8個(gè)自由度（Gruebler數(shù)），且每個(gè)約束均為必要，無冗余；（此過程顯示非常重要，如果檢驗(yàn)中有冗余的約束，則在求解的過程中，ADAMS會除去這些約束，但除去這些約束在那個(gè)運(yùn)動副上是不可控制的，那樣的后果是在動力仿真中中得到的運(yùn)動副上的反作用力就不正確，只能通過在柔性體的動力仿真中才可加以補(bǔ)救。此模型中約束正好無冗余，這樣在每個(gè)運(yùn)動副中所測量的反力都應(yīng)是正確的。)
在模型的兩端加有兩個(gè)力矩，-個(gè)用作主動力矩另-個(gè)則用作被動力矩；
在每個(gè)運(yùn)動副中均有摩擦，共施加20個(gè)摩擦力。
5.3.2動力仿真
通過設(shè)定-定的仿真步數(shù)，選用-種適合于剛性系統(tǒng)（特征值變化大的系統(tǒng)），且積分穩(wěn)定性好的求解器（本次仿真選用了MODIFIED求解器。因?yàn)樵贏DAMS提供的GEAR,DASSL,MODIFIED,ABAM,SI2這五種求解器中，GEAR、DASSL、MODIFIED求解器適合于剛性系統(tǒng)，且積分穩(wěn)定性的關(guān)系為：MODIFIED>DASSL>GEAR。），進(jìn)行動力仿真，并輸出如下測量結(jié)果：
STEP函數(shù)的變化曲線（如圖5-7所示）；
輸入軸轉(zhuǎn)角的變化曲線（如圖5-7所示）；
輸入軸角速度的變化曲線（如圖5-7所示）；
小桿受力曲線（如圖5-8所示）；
軸頸受力曲線（如圖5-9所示）:
小桿受摩擦力曲線（如圖5-10所示）；
軸頸受摩擦力曲線（如圖5-11所示）；
輸入軸、輸出軸由附加彎矩產(chǎn)生的摩擦扭矩（如圖5-12所示）。
以上所有的測量結(jié)果均是在同-次仿真中得到，仿真歷時(shí)0.8秒，雙聯(lián)三叉桿式萬向聯(lián)軸器在仿真中經(jīng)歷了從啟動到平穩(wěn)波動的動態(tài)過程。在所有力的測量曲線中，曲線有突變現(xiàn)象，這-現(xiàn)象可能同模型中的剛體假設(shè)，以及靜摩擦系數(shù)到動摩擦系數(shù)和突變有關(guān)，如果用柔性體代替剛體，其結(jié)果應(yīng)該會平滑。但總的來說，這里的曲線在-定的程度上反應(yīng)了這些力的變化趨勢，也可以作為分析的參考。
5.4仿真結(jié)果分析
由圖5-7可以看出，雙聯(lián)三叉桿萬向聯(lián)軸器在動力仿真的過程中，輸入力矩逐步以STEP函數(shù)的趨勢增大，當(dāng)其克服靜摩擦力后，開始轉(zhuǎn)動，在角速度達(dá)到一定的值后，出現(xiàn)波動的現(xiàn)象（紅色線條所示），并非如平常想象的近似等速轉(zhuǎn)動。
由圖5-8可以看出，雙聯(lián)三叉桿式萬向聯(lián)軸器在動力仿真的過程中，一端的三個(gè)小桿在移動副中受到力逐步增加，當(dāng)系統(tǒng)開始轉(zhuǎn)動后，它們受到的力呈現(xiàn)有規(guī)律的波動，但互相之間有一個(gè)相位差。正是由于它們的受力變動復(fù)雜，故它們在滑桿套軸上的三個(gè)反力的向量和就可能不為0，這樣的結(jié)果是，它們除此之外在滑桿套軸（輸入軸）上形成負(fù)載扭矩外，還會產(chǎn)生附加彎矩的作用。
由圖5-9可以看出，雙聯(lián)三叉桿式萬向聯(lián)軸器在動力仿真的過程中， 雙聯(lián)三叉桿一端的三軸頸同內(nèi)球頭的圓柱副上的作用力變化趨勢同圖5-8中的小桿變化趨勢是相同的。由于它們的受力變動復(fù)雜，故這三力在雙聯(lián)三叉桿一端上的向量和也可能不為0。這樣在雙聯(lián)三叉桿上也會產(chǎn)生附加彎矩的作用。而且軸頸受力平均較小桿的受力要大。
由圖5-10可以看出，雙聯(lián)三叉桿式萬向聯(lián)軸器在動力仿真的過程中，其一端的三小桿同滑桿套軸間的摩擦力變化相當(dāng)有規(guī)律。當(dāng)小桿相對滑桿套軸運(yùn)動反向時(shí)，它們就會在正負(fù)間有規(guī)律的切換。
由圖5-11可以看出，雙取三叉桿式萬向聯(lián)軸器在動力仿真的過程中，其一端的三內(nèi)球頭同軸頸間的摩擦力變化相當(dāng)有規(guī)律。當(dāng)內(nèi)球頭相對軸頸運(yùn)動反向時(shí)，綜們就會在正負(fù)間有規(guī)律的切換。但在這里產(chǎn)生摩擦力的平均大小要較小桿上的小得多。
由圖5-12可以看出，雙聯(lián)三叉桿式萬向聯(lián)軸器在動力仿真的過程中，其一端的三個(gè)小桿所受的摩擦力的合力變動較有規(guī)律，其值在開始一段平滑，其后幾乎以0為中心波動。由于這三個(gè)摩擦力的方向均平行于輸入軸或輸出軸軸線，故此合力會在輸入軸和軸出軸上產(chǎn)生軸向的力，在輸入軸和輸出軸上產(chǎn)生摩擦扭矩。如取其水平較高值60牛來計(jì)算，它產(chǎn)生的摩擦扭矩為270N·mm（60×0.3×15=270，其中0.3為動摩擦系數(shù)，15為摩擦半徑），此值相對圖5-13中的值而方相當(dāng)小。
由圖5-13可以看出，雙聯(lián)三叉桿式萬向聯(lián)軸器在動力仿真的過程中，輸入軸和輸出軸上的摩擦扭矩逐漸增加，然后開始一種復(fù)雜的波動。由于本次仿真是在無重力的環(huán)境下進(jìn)行的，因此，不會因?yàn)橹亓Φ淖饔迷谳斎胼S和輸出軸上產(chǎn)生彎矩和由其產(chǎn)生的反作用力而形成彎矩，當(dāng)然也就沒有它的作用而形成的摩擦扭矩，則只有可能是三小桿同滑桿套軸間的作用力而導(dǎo)致在滑桿套軸上產(chǎn)生的軸向力和彎矩而產(chǎn)生此摩擦扭矩，但由圖5-12的分析可知，軸向力產(chǎn)生的摩擦扭矩很小, 則可以證明滑桿套上有較大的附加彎矩存在，而且它是形成摩擦扭矩的主要原因。
5.5本章小結(jié)
本章中闡述了機(jī)械動力學(xué)的幾種分析方法，明確了動力分析方法的趨勢。并在多剛體動力學(xué)的理論基礎(chǔ)上，利用目前最為流行的多體動力學(xué)軟件ADAMS,對雙聯(lián)三叉桿萬向聯(lián)軸器進(jìn)行了動力學(xué)模型的建立和動力仿真，得到了許多可視化的結(jié)果。證明這種聯(lián)軸器在傳動中其受力相當(dāng)?shù)膹?fù)雜，并得出了一些定性的結(jié)論，這種聯(lián)軸器的進(jìn)一步研究開發(fā)打下了基礎(chǔ)。
