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 兩種有非圓輪的行星傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的不同設(shè)計(jì)

6.1概述

單激波推桿減速器的激波器廓形一般使用偏心圓，多激波推桿減速器的激波器廓形是非圓弧曲線(xiàn)。當(dāng)去掉推桿，內(nèi)外滾子合而為一時(shí)，推桿減速器就變成了滾柱活齒減速器，如圖6.1所示。因而可以把它們都看作是非圓行星傳動(dòng)機(jī)構(gòu)。這類(lèi)活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的瞬時(shí)傳動(dòng)比是個(gè)常數(shù)，如式（2.8）所示，這也是設(shè)計(jì)活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)必須遵循的準(zhǔn)則。從后面的分析可知，這就決定了活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)各嚙合副的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)都不可能是純滾動(dòng)。因而要在推桿兩端加裝內(nèi)外滾子以增加滾動(dòng)成份而減小滑動(dòng)成份。對(duì)于滾柱活齒減速器來(lái)說(shuō)，因?yàn)闈L柱同時(shí)要與激波器、內(nèi)齒圈相接觸，所以一定有一面有滑動(dòng)。因而可以說(shuō)活齒傳動(dòng)是一種滑滾運(yùn)動(dòng)方式的非圓行星傳動(dòng)。由于運(yùn)動(dòng)副是滑滾運(yùn)動(dòng)，實(shí)際機(jī)構(gòu)不能使用輪齒進(jìn)行傳動(dòng)，而是靠相嚙合的兩個(gè)輪的光滑表面接觸。
如果去掉瞬時(shí)傳動(dòng)比為常數(shù)這個(gè)前提，根據(jù)運(yùn)動(dòng)副都作純滾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方式，可設(shè)計(jì)出純滾動(dòng)的非圓行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)（圖6.2）。從后面的分析可知，這種機(jī)構(gòu)，相鄰兩行星輪之間的中心角是變化的，相鄰行星輪和太陽(yáng)輪、內(nèi)齒圈之間所包容的面積也是變化的，利用這一特性，可制造出低速大扭矩液壓馬達(dá)。

 

心角的變化規(guī)律進(jìn)行了分析。

6.2節(jié)曲線(xiàn)之間的關(guān)系

設(shè)太陽(yáng)輪節(jié)曲線(xiàn)方程為T(mén)₁= T₁（θ），行星輪節(jié)曲線(xiàn)是半徑為T(mén)₂的圓，根據(jù)機(jī)構(gòu)作純滾運(yùn)動(dòng)或瞬時(shí)傳動(dòng)比為常數(shù)這兩種不同的設(shè)計(jì)原則，可設(shè)計(jì)出兩種不同的內(nèi)齒圈齒廓曲線(xiàn)。
6.2.1純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)方式的節(jié)曲線(xiàn)關(guān)系

建立如圖6.3所示的坐標(biāo)系，在起始位置，分別與太陽(yáng)輪、行星輪以及內(nèi)齒圈固聯(lián)的三個(gè)動(dòng)坐標(biāo)系的極軸x₁ 、x₂、x₃在同一條直線(xiàn)上，且指向相同。圖6.3所示為太陽(yáng)輪相對(duì)行星輪轉(zhuǎn)過(guò)了 角的情形。設(shè)此時(shí)內(nèi)齒圈相對(duì)該行星輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度為 ，根據(jù)三心定理，作平行平面運(yùn)動(dòng)的三個(gè)構(gòu)件的三個(gè)瞬心必然位于同一條直線(xiàn)上，而純滾動(dòng)副的接觸點(diǎn)就是它們的瞬心。因而太陽(yáng)輪與行星輪節(jié)曲線(xiàn)的接觸點(diǎn)M₁，行星輪與內(nèi)齒圈節(jié)曲線(xiàn)的接觸點(diǎn)M₂以及傳動(dòng)中心O₁這三個(gè)點(diǎn)位于同一條直線(xiàn)上。因?yàn)槭羌儩L動(dòng)，圖6.3中弧長(zhǎng) 與 應(yīng)相等（在起始位置S₁與S₂重合）。由此可得圖6.3中 與θ₁的函數(shù)關(guān)系為。

設(shè)μ為太陽(yáng)輪節(jié)曲線(xiàn)在M₁點(diǎn)的切線(xiàn)正向與矢徑O₁M₁的夾角，由微分幾何知：

將（6.5）式及（6.9）式聯(lián)立，便是內(nèi)齒圈節(jié)曲線(xiàn)的方程。同理，若已知內(nèi)齒圈節(jié)曲線(xiàn)方程，仿上可求得太陽(yáng)輪節(jié)曲線(xiàn)。

6.2.2按傳動(dòng)比為定值的設(shè)計(jì)

如圖6.4所示，設(shè)太陽(yáng)輪相對(duì)行星輪從初始位置轉(zhuǎn)過(guò) 角時(shí)，內(nèi)齒圈相對(duì)該行星輪反向轉(zhuǎn)過(guò)的角度為 。令 與 的比值為常數(shù)i₁₃，這時(shí)上一節(jié)中弧長(zhǎng)相等的特性已無(wú)法保證，因而接觸點(diǎn)M₁、M₂也不再是運(yùn)動(dòng)的瞬心，M₁、M₂及中心O₁不一定在同一條直線(xiàn)上。這就是滾柱活齒傳動(dòng)的結(jié)構(gòu)形式。設(shè)計(jì)方法與第二章類(lèi)同�，F(xiàn)簡(jiǎn)要敘述如下：

曲線(xiàn)向徑與切線(xiàn)正方向的夾角μ以及工作角a₁的計(jì)算都與純滾動(dòng)動(dòng)方式下相同，即：

若用l₁表示行星輪與太陽(yáng)輪的中心距O₁O₂，則由圖6.4可得：

聯(lián)立（6.15）式及（6.18）式，便是內(nèi)齒圈的齒廓方程。內(nèi)齒圈的齒廓曲線(xiàn)是行星輪節(jié)曲線(xiàn)的外包絡(luò)線(xiàn)。
從上述求內(nèi)齒圈齒廓方程的過(guò)程可以看出，由于規(guī)定了轉(zhuǎn)角 與 的比值為常數(shù)i₁₃，使得對(duì)于太陽(yáng)輪的任一轉(zhuǎn)角 ，相應(yīng)地有確定的值 = /i₁₃。同時(shí)圖6.4中行星輪工作角a₂也隨之由（6.12）式確定下來(lái)。因而M₁、M₂與O₁三點(diǎn)肯定不會(huì)始終保持在同一條直線(xiàn)上。其理由如下：
假設(shè)圖6.4中O₁、M₁、M₂三點(diǎn)始終都能保持在同一直線(xiàn)上，則對(duì)于太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)角 ，圖6.4中的a₂可根據(jù)圖6.3中的行星輪轉(zhuǎn)角θ₂求得，由圖中幾何關(guān)系及（6.4)式應(yīng)有

                             a₂= -a₁-θ₂=π-2μ-a₁                        （6.19）

另一方面，由于 與 的比的比值為常數(shù)i₁₃，a₂的值已由（6.12）式確定。比較(6.19)式與（6.12）式可知，只有在a₁=0且μ= 時(shí)，它們才是一致的，由（6.10）式及（6.11）式知，只有在 時(shí)才有μ= ，且a₁=0，由于太陽(yáng)輪的節(jié)曲線(xiàn)是周期性，所以在一周內(nèi)只有2n₁個(gè)點(diǎn)（n_l是太陽(yáng)輪節(jié)曲線(xiàn)的周期數(shù)）有 ，其余各點(diǎn) 都不為零，對(duì)于太陽(yáng)輪的轉(zhuǎn)角 只要不是對(duì)應(yīng)于 ，式（6.19）與式（6.12）是矛盾的，也就是說(shuō)M₂點(diǎn)必然不會(huì)與M₁、O₁位于同一直線(xiàn)上。這說(shuō)明當(dāng)傳動(dòng)比為常數(shù)時(shí)，行星輪與太陽(yáng)輪、行星輪與內(nèi)齒圈所組成的兩個(gè)嚙合副不可能都作純滾運(yùn)動(dòng)，一定有一個(gè)嚙合副有滑動(dòng)，因而活齒傳動(dòng)都是滑滾運(yùn)動(dòng)。

6.3節(jié)曲線(xiàn)的封閉條件及等分

對(duì)于作純滾運(yùn)動(dòng)的非圓行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，上面求得的節(jié)曲線(xiàn)關(guān)系只是一般的公式，要設(shè)計(jì)出實(shí)際的非圓行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)還要受到許多限制。
6.3.1節(jié)曲線(xiàn)的封閉條件
為了能夠連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，已知的太陽(yáng)輪節(jié)曲線(xiàn)當(dāng)然應(yīng)是連續(xù)而封閉的,T₁(θ₁）必須是θ₁的周期函數(shù)。設(shè)太陽(yáng)輪一轉(zhuǎn)中的周期數(shù)是n₁，當(dāng)太陽(yáng)輪相對(duì)行星輪從θ₁= θ₁₀轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)周期時(shí)，由于 ，所以由（6.2）式可知轉(zhuǎn)動(dòng)前后在接觸點(diǎn)具有相同的μ值。根據(jù)（6.4）式，設(shè)θ_1­­=θ₁₀時(shí)，行星輪的轉(zhuǎn)角有關(guān)系式

                                                        （6.20）

則當(dāng)太陽(yáng)輪相對(duì)行星輪轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)周期后，由于μ值相同，行星輪轉(zhuǎn)角關(guān)系式為：

                                          （6.21）

上式中△θ₂及 分別為行星輪轉(zhuǎn)角θ₂及 在太陽(yáng)輪從θ₁=θ₁₀轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)周期后的增量。由（6.20）式和（6.21）式可知在太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)過(guò)的任一周期中，行星輪轉(zhuǎn)角增量△θ₂與 相等，即：

                          △θ₂=                                     （6.22）

由此可得到結(jié)論：太陽(yáng)輪節(jié)曲線(xiàn)在一個(gè)周期內(nèi)的弧長(zhǎng)與內(nèi)齒圈節(jié)曲線(xiàn)在一個(gè)周期內(nèi)的弧長(zhǎng)相等。若內(nèi)齒圈的周期數(shù)為n₂，則n₂應(yīng)大于n₁。為了減小行星輪尺寸，應(yīng)取最小整數(shù)值n₁+1作為內(nèi)齒圈節(jié)曲線(xiàn)的周期數(shù)，從而可由（6.9）式得到內(nèi)齒圈節(jié)曲線(xiàn)的封閉條件為：

6.3.2節(jié)曲線(xiàn)上輪齒等分的限制

設(shè)齒輪的模數(shù)為m，為了使太陽(yáng)輪、行星輪及內(nèi)齒圈都有等分的輪齒，它們的節(jié)曲線(xiàn)都必須是周節(jié)mπ的整數(shù)倍。由上節(jié)知道，太陽(yáng)輪節(jié)曲線(xiàn)與內(nèi)齒圈節(jié)曲線(xiàn)在一個(gè)周期內(nèi)的弧長(zhǎng)相等，并且內(nèi)齒圈的周期數(shù)比太陽(yáng)輪的周期數(shù)大1，所以?xún)?nèi)齒圈節(jié)曲線(xiàn)的周長(zhǎng)是太陽(yáng)輪節(jié)曲線(xiàn)周長(zhǎng)的（n₁+1）/n₁倍。因此只要太陽(yáng)輪節(jié)曲線(xiàn)在一個(gè)周期內(nèi)的弧長(zhǎng)能夠被周節(jié)等分，就能保證內(nèi)齒圈的等分。也就是說(shuō)，設(shè)Z₁為太陽(yáng)輪齒數(shù)，則Z₁應(yīng)是n₁的整數(shù)倍，且太陽(yáng)輪與內(nèi)齒圈的輪齒等分條件為：

由于每個(gè)周期的弧長(zhǎng)都是相等的，太陽(yáng)輪節(jié)曲線(xiàn)的總長(zhǎng)等于n₁個(gè)周期的弧長(zhǎng)之和，用n₁乘以（6.24）兩邊，可得等分條件的另一種表達(dá)形式：

對(duì)于節(jié)曲線(xiàn)為圓的行星輪，輪齒等分條件為：

             2T₂=mZ₂                                    （6.26）

上式中z₂為行星輪的齒數(shù)，顯然內(nèi)齒圈齒數(shù)z₃為：

6.3.3不干涉條件
設(shè)計(jì)的非圓行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)還應(yīng)保證太陽(yáng)輪最大向徑處的齒頂與內(nèi)齒圈錄小向徑處的齒頂不發(fā)生相碰。若太陽(yáng)輪節(jié)曲線(xiàn)在θ₁=0時(shí)向徑取得極小值，則內(nèi)齒圈節(jié)曲線(xiàn)向徑的極小值為T(mén)₁（0）+2T₂，對(duì)于關(guān)于極軸有對(duì)稱(chēng)性的太陽(yáng)輪節(jié)曲線(xiàn)，在θ₁=π/n₁時(shí)有極大向徑，若齒頂高為h_a，則不發(fā)生運(yùn)動(dòng)干涉的條件為：

                   2T₂+T₁（0）>T₁（ ）+2h_a                    （6.28）

6.4傳動(dòng)特性分析

6.4.1太陽(yáng)輪與行星輪的平均傳動(dòng)比
固定內(nèi)齒圈，當(dāng)太陽(yáng)輪起點(diǎn)從初始位置開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)到與行星輪重新在初始位置接觸時(shí)，太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)與行星輪公轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)之比 稱(chēng)作太陽(yáng)輪與行星輪的均傳動(dòng)比。圖6.5(a）為初始位置，圖6.5(c）為太陽(yáng)輪按順時(shí)針?lè)较蛳鄬?duì)行星輪1轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)周期后的情形。此時(shí)內(nèi)齒圈相對(duì)該行星輪也應(yīng)轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)周期，即行星輪1從初始位置公轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：

而太陽(yáng)輪相對(duì)內(nèi)齒圈轉(zhuǎn)過(guò)的角度 為：

即太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)兩圈零一個(gè)周期，行星輪公轉(zhuǎn)一圈。

6.4.2行星輪的個(gè)數(shù)

設(shè)太陽(yáng)輪起點(diǎn)從初始位置相對(duì)內(nèi)齒圈轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)周期，從圖6.5(a）轉(zhuǎn)到圖6.5(b）位置。從圖6.5(b）可知，此時(shí)在內(nèi)圈的初始位置S₃處可放入另一個(gè)行星輪，稱(chēng)它為2號(hào)行星輪。類(lèi)似當(dāng)太陽(yáng)輪從初始位置相對(duì)內(nèi)齒圈轉(zhuǎn)過(guò)第二個(gè)周期，在S₃可放入第3號(hào)行星輪，太陽(yáng)輪旋轉(zhuǎn)一圈，放入第n₁+1號(hào)行星輪，太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)兩圈，放入第2n_l+l號(hào)行星輪，當(dāng)太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)兩圈零一個(gè)周期，恰好第1號(hào)行星輪回到S₃點(diǎn)。所以可安放的行星輪總數(shù)為2n₁+1個(gè)。
6.4.3相鄰兩行星輪之間的中心角
設(shè)太陽(yáng)輪起點(diǎn)從初始位置相對(duì)內(nèi)齒圈順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)了 角，當(dāng) 大于太陽(yáng)輪一個(gè)周期（ ）時(shí)，第2號(hào)行星輪也相對(duì)內(nèi)齒圈極軸公轉(zhuǎn)過(guò)了一個(gè)角度（圖6. 5（C））。令 ，則 表示此時(shí)太陽(yáng)輪與2號(hào)行星輪的初始接觸點(diǎn)S₁₁相對(duì)內(nèi)齒圈初始位S₃轉(zhuǎn)過(guò)的角度。用 表示1號(hào)行星輪相對(duì)內(nèi)齒圈初始位S₃公轉(zhuǎn)過(guò)的角度，由圖6.3可得：

根據(jù)（6.33）式，可由任給的 確定出太陽(yáng)輪起點(diǎn)S₁至1號(hào)行星輪與太陽(yáng)輪節(jié)曲線(xiàn)的接觸點(diǎn)M₁所來(lái)的中心角θ₁，然后代入（6.30）式，可得l號(hào)行星輪中心O₂與內(nèi)齒圈初始件S₃所夾的中心角 ()。用 代替（6.33）式中的 ，將解得的θ₁值代入（6.30）式，便可得到第2號(hào)行星輪中心與內(nèi)齒圈S₃點(diǎn)所夾的中心角 ()。兩行星輪之間的中心角 為：

                                                   （6.34）

可見(jiàn)兩行星輪所夾的中心角 是太陽(yáng)輪相對(duì)內(nèi)齒圈轉(zhuǎn)角 的函數(shù)，它隨著 值的不同而呈周期性的變化，并圍繞 瞬時(shí)傳動(dòng)比i₁₂為：

i₁₂也是隨太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)角 變化的函數(shù)。由于太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈都是非圓的，而相鄰兩行星輪之間的中心角又是變化的，因而太陽(yáng)輪、內(nèi)齒圈與相鄰兩行星輪之間包含的面積也是變化的，正是利用這些特性，可制造出低速大扭矩液壓馬達(dá)、空氣壓縮機(jī)等機(jī)器。

6.5設(shè)計(jì)步驟及計(jì)算實(shí)例

現(xiàn)以太陽(yáng)輪是一個(gè)回轉(zhuǎn)中心在幾何中心的標(biāo)準(zhǔn)橢圓為例，來(lái)說(shuō)明純滾動(dòng)非圓仃雖傳動(dòng)非圓行星傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)方法步驟。

給定齒輪模數(shù)m=2.5,n₁=2，內(nèi)齒圈周期數(shù)為3 ，設(shè)計(jì)步驟如下：

6.5.1確定齒數(shù)

太陽(yáng)輪的齒數(shù)Z₁可根據(jù)所要求的太陽(yáng)輪的大小來(lái)確定，它應(yīng)是n₁的整數(shù)倍。本例選z₁=42，由（6.27）式，內(nèi)齒圈齒數(shù)應(yīng)為z₃=63。為了確定z₂的合適數(shù)值，可以采用這樣的方法，假想太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈都退化成齒數(shù)為z₁及z₃的圓齒輪，則此時(shí)的行星輪半徑 應(yīng)為：

時(shí)常不是整數(shù)，我們稱(chēng)它為行星輪的參考齒數(shù)。實(shí)際采用的太陽(yáng)輪雖然和退化的圓齒輪具有相同的模數(shù)m和齒數(shù)z₁，但是它的形狀不是圓的，這就使得實(shí)際采用的行星輪齒數(shù)z₂應(yīng)比參考齒數(shù) 小，太陽(yáng)輪節(jié)曲線(xiàn)與圓相差越大，z₂應(yīng)比 小的越多。為了減小輪齒干涉的可能生，z₂要盡量接近 。本例選z₂=10，從而得T_2­=12.5mm。

6.5.2確定太陽(yáng)輪節(jié)曲線(xiàn)

所要求的橢圓型太陽(yáng)輪節(jié)曲線(xiàn)方程可表示為：

上式中，a為橢圓的長(zhǎng)軸半徑，b為橢圓的短軸半徑。由（6.25）式得輪齒等分條件為：

利用辛普生法計(jì)算數(shù)值積分，由（ 6.37）和（6.38）兩條件式組成的方程組可解算出參數(shù)a和b來(lái)，結(jié)果是：

a=59.7616   mm                    b=44.6943    mm

取h_a=2.5，將T₁（0）=44.6943，T₁（ ）=59.7616，T₂=12.5代入（6.28）式，可知不會(huì)發(fā)運(yùn)動(dòng)干涉。

6.5.3求人齒圈節(jié)曲線(xiàn)

根據(jù)（6.5）式和（6.9）式，可得內(nèi)齒圈節(jié)曲線(xiàn)方程為：

節(jié)曲線(xiàn)形狀如圖6.6所示。圖6.2為該輪系加上輪齒后的情形。按（6.34）式可算得相鄰兩行星輪之間的夾角隨 的變化規(guī)律，其關(guān)系曲線(xiàn)如圖6.7所示。由曲線(xiàn)圖可看出，當(dāng) 時(shí)，夾角 有最小值 ，夾角 的變化范圍是2.732°。

6.5.4機(jī)構(gòu)優(yōu)化

從以上設(shè)計(jì)過(guò)程可以看出，根據(jù)非圓太陽(yáng)輪設(shè)計(jì)行星輪為圓的純滾動(dòng)非圓行經(jīng)齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)時(shí)，并不是對(duì)任意指定的太陽(yáng)輪節(jié)曲線(xiàn)都有解。當(dāng)太陽(yáng)輪節(jié)曲線(xiàn)的周期數(shù)n₁給定后，節(jié)曲線(xiàn)必須有兩個(gè)可調(diào)整的參數(shù)（例中的a和b）的要由節(jié)曲線(xiàn)的封閉條件及輪齒等分條件來(lái)確定。齒輪模數(shù)m和太陽(yáng)輪齒數(shù)z₁是被預(yù)先指定了的。當(dāng)各參數(shù)求出后，要用不干涉條件（6.28）式進(jìn)行校驗(yàn)，若發(fā)生干涉，應(yīng)調(diào)整z₁數(shù)值，重新計(jì)算太陽(yáng)輪的可調(diào)整參數(shù)。
顯然，當(dāng)太陽(yáng)輪與圓的差別越大時(shí)，越容易發(fā)生運(yùn)動(dòng)干涉。液壓馬達(dá)、空氣壓繃機(jī)等機(jī)器正是利用了相鄰兩行星輪之間的中心角變化的特點(diǎn)，當(dāng)太陽(yáng)輪與圓的差別越大時(shí)，相鄰兩行星輪之間夾角的變化范圍也越大，這是液壓馬達(dá)等機(jī)構(gòu)所要求的。
令：

                                                                   （6.40）