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 強(qiáng)非線性系統(tǒng)的頻閃一諧波平衡法

4-1 引言

在探索具有非線性遲滯特性元件的系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的求解方法時(shí)，我們擬研究以下系統(tǒng)：

M + （x， ，A，ω）=Pcosωt                            （4-1）

式中M為系統(tǒng)質(zhì)量，P為激勵(lì)力幅值，ω為激勵(lì)園頻率 （x， ，A，ω）= ₁（A，x）+ ₂（A，x， ）， ₁和₂分別為上章中的（3-12）和（3-41）式。為研究方便，將（3-12）和（3-41）式代入（4-1）式并改寫成以下形式：

式中K₁（A），K₃（A），K₅（A），K₇（A），K₉（A）為（3-27）式。由式（4-2）可知，這一系統(tǒng)是一個(gè)強(qiáng)非線性非自治系統(tǒng)。

目前文獻(xiàn)上的一些方法對(duì)于弱非線性系統(tǒng)是有效的，而對(duì)于（4-2）式的強(qiáng)非線性系統(tǒng)則遇到了麻煩。由于描述非線性振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程種類繁多，沒有普遍的解法，因此，仍然只有極少非線性振動(dòng)方程可求得精確解�？尚械霓k法是針對(duì)不同非線性振動(dòng)方程的特點(diǎn)尋求一些近似數(shù)值解法。為研究方便，將（4-2）式進(jìn)一步寫成以下形式：

式中：

f（x， ，t）=-μ +δcosωt                                 （4-6）

ε為正小參數(shù)。

對(duì)于形如（4-4）式這樣的強(qiáng)非線性系統(tǒng)，李驪提出了一種新的頻閃法，近年，杜惠英和李驪用頻閃法研究了含有x⁵項(xiàng)強(qiáng)非線性系統(tǒng)的共振解和亞諧解雖然原則上該方法可適宜和于任意階強(qiáng)非線性系統(tǒng)，但是在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)更高階項(xiàng)會(huì)遇到積分計(jì)算問題，大大地限制了這種方法用于高階強(qiáng)非線性系統(tǒng)的研究。為了解決積分計(jì)算的困擾，本章提出一種新的方法一頻閃一諧波平衡法。

4-2 頻閃一諧波平衡法

式中 ，然后將（4-22），（4-23）及f（x， ，t）在rcosθ+b與-rф₀sinθ鄰域內(nèi)以ε冪級(jí)數(shù)展開式代入（4-4）式，由等號(hào)兩端ε的系數(shù)相等得：

合并后得

式中f=f（rcosθ+b，-rф₀sinθ，t），在進(jìn)行以上積分時(shí)f中的時(shí)間t 代入以θ表示的函數(shù)，求法如下：

因?yàn)锳₁，x₁，ф₁各式右端均為ε=0時(shí)（4-19）中第二式和第三式中ε=0得：

由此兩式可求得r=常數(shù)，θ=θ（r， ，t）然后可求出反函數(shù)t=t（r， ，θ）。由于t式中包含θ₀的初值 ，因此由（4-26）～（4-28）式求得的A₁，x₁，ф₁中也必然所含 ，即A₁（r， ）， x₁（r， ），ф₁（r， ，θ₀）。

為得到（4-2）式的頻閃方程，首先由（4-20）求導(dǎo)得：

將（4-20）式代入（4-19）式，并將A₁，ф_1­在 ，θ₀鄰域內(nèi)展開為ε的冪級(jí)數(shù)得：

比較（4-31）式與（4-30），由ε的同次冪系數(shù)相等得：

由此可解得θ₀=θ₀（ ， ，t），反函數(shù)t=t（ ， ，θ₀），將此式以及（4-20）代入（4-26）～（4-28）式，令等號(hào)兩端在 ，θ₀鄰域內(nèi)展開為ε的冪級(jí)數(shù)并令不含ε的項(xiàng)相等得：

設(shè)頻閃時(shí)間間隔為T=nT₀，其中T₀為x₀= cosθ₀+b（ ）的周期，n為正整數(shù)。于是有θ₀（ ， ，T）=0。據(jù)此，由（4-20）和（4-34）并略去ε二次以上微量得：

△r=r（ ， ，T）-r（ ， ，0）=εA₁（ ， ，T）T

△θ=θ（ ， ，T）-θ（ ， ，0）=εθ₁（ ， ，T）     （4-35）

令△τ=εT，則上式化為：

這就是對(duì)應(yīng)于（4-20式的頻閃差分方程，即（4-2）式在Poicare平面上以T為周期的點(diǎn)變換方程。如ε充分小，則可令△τ=dτ，△r=dr，△θ=dθ，此外，（4-36）中的 ， 雖為初始值但卻可以是平面上任一點(diǎn)（r，θ）于上（4-36）可寫成：

此式就是對(duì)應(yīng)于（4-2）的頻閃方程。如果（4-37）存在一穩(wěn)定一次奇點(diǎn)（r*，θ*），則在此奇點(diǎn)ε鄰域內(nèi)必存在一點(diǎn)（ ），使（4-2）以此點(diǎn)為初始的解為穩(wěn)定周期解，周期為T，其一次近似表達(dá)式為：

在非線性振動(dòng)系統(tǒng)中，為了求出系統(tǒng)的各次諧共振解，必須考慮（4-15）中各次諧波的影響，為此對(duì)以上方法作如下改進(jìn)：

由（4-15）式可知，-dθ₀/dt應(yīng)為實(shí)數(shù)，因此，可以證明（4-15）中的

的絕對(duì)值小于1。于是可將（4-15）式中的根號(hào)部分展開成收斂冪級(jí)數(shù)。為了將冪級(jí)數(shù)形式的dθ₀/dt引入（4-33）、（4-34）各式進(jìn)行計(jì)算，須對(duì)（4-33）中的積分項(xiàng) 進(jìn)行變換。利用（4-18）式，得變換如下：

為求（4-2）的各次諧共振，令ω=（m/n）p，其中m，n，為互質(zhì)整數(shù)。于是有：

在非線性振動(dòng)系統(tǒng)中，當(dāng)系統(tǒng)受到周期性外力作用的情況下，有可能產(chǎn)生三類運(yùn)動(dòng)，非共振運(yùn)動(dòng)，共振運(yùn)動(dòng)，由非共振運(yùn)動(dòng)到共振運(yùn)動(dòng)的過渡過程，即瞬態(tài)運(yùn)動(dòng)。對(duì)于共振運(yùn)動(dòng)來說，有三類，(l)m=n，即ω=p，這是通常所說的共振，稱為主共振，(2)n=1，ω=mp，產(chǎn)生泛音共振，當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，產(chǎn)生次諧波共振，(3）m=1，ω=p／n，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，產(chǎn)生超諧波共振。將幕級(jí)數(shù)形式的dθ₀／dt代人（4-40)，并計(jì)算該式在O-2區(qū)間的定積分，可以得出結(jié)論：只有當(dāng)n=1，m=±1，±3，±5，±7，……時(shí)才可能得到（4-2）的周期解，并且（4-2）式只可能產(chǎn)生主共振解和次諧波共振解。

由前面推導(dǎo)可知，系統(tǒng)（4-2）有周期解時(shí)，第一個(gè)頻閃方程dr/dτ=A₁（r，0）=0，于是由（4-33）第一式和（4-40）式，再令n=1，m=1，3，5，7可求得（4-2）系統(tǒng)存在主共振解，1/3次諧波共振解，1/5及1/7次諧波共振解時(shí)，μ與δ， 應(yīng)滿足的關(guān)系式為：

由（4-33）可算得x₁=0，然而要在算得ф₁后由（4-34）算得θ₁，則會(huì)由于積分函數(shù)繁復(fù)而難以進(jìn)行，在這種情況下，建議用以下方法來求ф₁，從而求得θ₁：

由（4-33）第三式得

等式兩邊同乘ф₀得：

由于（4-49）右端是θ₀的偶函數(shù)，因此，ф₁將是θ₀的奇函數(shù)，于是

將有關(guān)式代入（4-51）并比較等式兩邊各次三角函數(shù)的系數(shù)，得：

（4-54）

n=1，    m=1     時(shí)，有方程組：

a₁₁S₂+ a₁₂S₄+ a₁₃S₆+ a₁₄S₈=b₁

式中{S_k}=[S₂  S₄   S₆  S₈ ]，系數(shù)矩陣[a_ij]在形式上與m=1時(shí)相同，但其中p=ω/3，而

式中各系數(shù)d形式上與m=1時(shí)相同，但其中p=ω/3。

n=1，m=5 時(shí)，有方程組

[a_ij]{S_k}={b_i}                i，j=1，2，3，4， k=2j                   （4-61）

式中[a_ij]形式上與m=1時(shí)的（4-56）相同，但其中p=ω/5,而

式中各d系數(shù)形式上與m=1時(shí)相同，但其中p=ω/5。

n=1，m=7 時(shí)，有方程組

[a_ij]{S_k}={b_i}                i，j=1，2，3，4， k=2j

                                                                 （4-63）

式中[a_ij]形式上與m=1時(shí)的（4-56）相同，但其中p=ω/7，而

式中各d系數(shù)形式上與m=1時(shí)相同，但其中p=ω/7。

通過求解以上幾組四元一次線性方程組可求得S₂，S₄，S₆，S₈。在此基礎(chǔ)上根據(jù)（4-19）、（4-20）式中ф₁與θ₁的關(guān)系和（4-53）、（4-54）可得：

在以上工作的基礎(chǔ)上，便可根據(jù)系統(tǒng)周期解的一次表達(dá)式（4-38），得各種情況下的解析解：

x=±（ sinωt-ε θ₁cosωt）                    （4-69）

式中θ₁為（4-65）式。

m=3，系統(tǒng)的解析解為：

式中θ₁為（4-66）式。

m=5時(shí)，系統(tǒng)的解析解為：

式中θ₁為（4-67）式。

m=7時(shí)，系統(tǒng)的解析解為：

式中θ₁為（4-68）式。以上各式中上排符號(hào)對(duì)應(yīng)正 ，下排符號(hào)對(duì)應(yīng)負(fù) 。由頻閃方程奇點(diǎn)的穩(wěn)定性可知， 取正值時(shí)對(duì)應(yīng)的解是穩(wěn)定的。

代入（4-73），成為一個(gè)一元四次方程

a₀R⁴+ a₁R³+ a₂R²+ a₃R+a₄=0                       （4-75）

所以 可用公式直播妝求解（4-75），也可用數(shù)值求解。本文同時(shí)采用了公式法和數(shù)值法（牛頓-撒網(wǎng)格法）來求解 ，比較表明后者較好。

至此，全部求出了（4-2）式的近似解析解。

4-3 近似解析解與數(shù)值仿真解的結(jié)果比較

為了說明柴油機(jī)閃一諧波平衡法的正確性和精度，我們分別用一個(gè)簡單例子和大撓度彈性聯(lián)軸器系統(tǒng)（4-2）進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)與相應(yīng)的數(shù)值仿真計(jì)算作比較。

例  +3x-3x³+x⁵-2x⁷+x⁹=0.1（-2.03059 +3cost）                （4-76）

曲線圖如圖4-1所示。從圖中可以看到解析解曲線1和數(shù)字仿真解曲線2重合性較好，在振幅與相位上誤差都較小。

鋼絲繩彈性聯(lián)軸器系統(tǒng)（4-2）式中的參數(shù)取為：

式中p為激勵(lì)力幅值。

分別計(jì)算了八種振幅下的解析解和對(duì)應(yīng)的數(shù)字仿真，如圖4-2～4-9所示。曲線1為解析解，曲線2為數(shù)字仿真解。各對(duì)應(yīng)的解析解為：

=1時(shí)，δ=0.81837

從各曲線圖可以看到（1).解析解曲線1與數(shù)字仿真解曲線2的振幅誤差較小， =1和 =2時(shí)兩者的重合性很好。(2).隨著振幅的增大，解析解曲線1和仿真解曲線2在相位上產(chǎn)生微小變化，解析解的相位超前仿真一個(gè)小量，原因是隨著振幅的增大，系統(tǒng)呈現(xiàn)更為強(qiáng)烈的非線性，而在推導(dǎo)中略去了高次項(xiàng)，但還是可以滿足工程的要求。（3）從（4-78）-（4-85）式中的各δ值可知，在聯(lián)軸器產(chǎn)生主共振的情況下，激振力很小。

4-4小結(jié)
本章針對(duì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求解問題，作了以下工作并得結(jié)論：
1.在研究前人求解非線性系統(tǒng)響應(yīng)的基礎(chǔ)上，針對(duì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求解的買際需要，分析了方法的優(yōu)點(diǎn)和不足，提出一種新方法一頻閃一諧彼平衡法，用于求解一類強(qiáng)非線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的近似解析解。
2.頻閃一諧波平衡法的優(yōu)點(diǎn)是：從有關(guān)公式可以一目了然知道系統(tǒng)的基本參數(shù)對(duì)系統(tǒng)特性的影響，如由（4-16）式可以知道系統(tǒng)的固有頻率p是動(dòng)剛度、振幅、系統(tǒng)質(zhì)量的函數(shù)，改變這些基本參數(shù)，可以改變系統(tǒng)特性，因此用這一方法對(duì)具有強(qiáng)非線性特性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)是十分有利的。
3.利用頻閃一諧波平衡法，以鋼絲繩聯(lián)軸器為例，求出了這類強(qiáng)非線性系統(tǒng)主共振解和次諧共振存在的條件，為避免共振提供了理論依據(jù)。
4.用頻閃一諧波平衡法和數(shù)字仿真比較表明，求得的共振解在定性方面是正確的，在定最方面精度可以滿足工程要求。