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  基于灰色系統(tǒng)理論的多目標(biāo)動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)

5.1引言

隨著生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展，機(jī)械產(chǎn)品與設(shè)備逐漸向高速、高效、精密、輕量化和自動(dòng)化方向發(fā)展，產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的日趨復(fù)雜，對(duì)其工作性能的要求越來(lái)越高。在現(xiàn)代機(jī)械設(shè)計(jì)中，為設(shè)計(jì)出高性能的機(jī)械產(chǎn)品，需對(duì)機(jī)械的結(jié)構(gòu)、可靠性及動(dòng)態(tài)特性等多方面性能進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。而傳統(tǒng)的單一靜態(tài)設(shè)計(jì)己經(jīng)不能滿足生產(chǎn)對(duì)機(jī)械產(chǎn)品動(dòng)態(tài)性能的要求。因此，為使機(jī)械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)同時(shí)具有良好的靜、動(dòng)態(tài)特性，必須對(duì)其進(jìn)行多目標(biāo)動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)。
對(duì)于復(fù)雜機(jī)械產(chǎn)品動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)，人們力求采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法，即由計(jì)算機(jī)自動(dòng)完成結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析的優(yōu)化過(guò)程，以便在設(shè)計(jì)階段即可獲得具有良好動(dòng)態(tài)特性的設(shè)計(jì)方案。而其中關(guān)鍵性的問(wèn)題是如何建立動(dòng)態(tài)性能目標(biāo)函數(shù)。因?yàn)閺臄?shù)學(xué)原理上看，機(jī)械結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)變量與其動(dòng)態(tài)特性參數(shù)之間是一種高度非線性的映射關(guān)系，無(wú)法用一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)函數(shù)來(lái)表示，因此其目標(biāo)函數(shù)很難建立。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一門(mén)近代發(fā)展的新興學(xué)科,它具有極強(qiáng)的非線性映射功能，是一種描述和處理非線性關(guān)系的有力數(shù)學(xué)工具。因此，可以利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立動(dòng)態(tài)性能目標(biāo)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)機(jī)械系統(tǒng)設(shè)計(jì)變量與其動(dòng)態(tài)特性參數(shù)之間的映射，解決動(dòng)態(tài)性能目標(biāo)函數(shù)難以建立的難題，這樣就能夠利用數(shù)學(xué)規(guī)劃法自動(dòng)地實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)。
在多目標(biāo)動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，同時(shí)使幾個(gè)分目標(biāo)都達(dá)到最優(yōu)值，一般來(lái)說(shuō)是比較困難的。目標(biāo)函數(shù)之間關(guān)系復(fù)雜，甚至相互矛盾，往往由于一個(gè)分目標(biāo)的極小化而引起另一個(gè)或幾個(gè)分目標(biāo)的最優(yōu)值變壞。也就是說(shuō)，各分目標(biāo)在求極小化過(guò)程中是相互矛盾的，所以人們只能求得一些滿意解，絕對(duì)最優(yōu)解一般是不存在的。而這些滿意解中的任意兩個(gè)解不一定能比較其優(yōu)劣，因此多目標(biāo)的解是半有序的�；疑�聚類分析方法提供了尋求多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的最滿意解的一個(gè)有效途徑，該方法比其他求解最滿意解的方法更具有理論依據(jù)和合理性，且方法實(shí)用性強(qiáng)，滿意程度可由欲望水平確定，能排列出滿意解的優(yōu)劣次序，為決策提供了更趨于實(shí)際的方法和依據(jù)。
根據(jù)以上思想，本文利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練動(dòng)態(tài)性能目標(biāo)函數(shù)，并在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用灰色聚類分析方法對(duì)圓柱正弦活齒減速器系統(tǒng)進(jìn)行了多目標(biāo)動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)。利用該方法獲得了具有良好靜、動(dòng)態(tài)特性的設(shè)計(jì)方案，較傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，得到進(jìn)一步的優(yōu)化。

5.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

5.2.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)概述
BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一單向傳播的多層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)除輸入輸出節(jié)點(diǎn)外，還有一層或多層的隱含層節(jié)點(diǎn)，輸入信號(hào)從輸入層節(jié)點(diǎn)依次傳過(guò)隱含層節(jié)點(diǎn)，然后通過(guò)輸出層節(jié)點(diǎn)輸出。同層節(jié)點(diǎn)間沒(méi)有任何耦合，故每層節(jié)點(diǎn)的輸出只影響下一層節(jié)點(diǎn)的輸出。每個(gè)節(jié)點(diǎn)表示單個(gè)神經(jīng)元，隱含層蘿點(diǎn)對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)常為sigmofd型函數(shù)，輸出層節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)有時(shí)為線性。1987年RobertHecht-Nielson證明了對(duì)于任何在閉區(qū)間內(nèi)的一個(gè)連續(xù)函數(shù)都可以用具有一個(gè)隱含層的BP網(wǎng)絡(luò)來(lái)逼近，因而一個(gè)三層的BP網(wǎng)絡(luò)可以完成任意的n維到m維的映射。常見(jiàn)的三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖5-1所示，其最下層稱為輸入層，中間層稱為隱含層，最上層稱為輸出層。

三層前饋型BP網(wǎng)絡(luò)采用BP算法來(lái)調(diào)整網(wǎng)絡(luò)連接權(quán)值和節(jié)點(diǎn)閾值。BP算法，即誤差逆?zhèn)鞑�學(xué)習(xí)方法，是一種曲型的誤差修正方法。BP算法是一個(gè)種有教師的學(xué)習(xí)算法，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過(guò)程由信息的正向傳動(dòng)播和誤差的反向傳播兩上階段構(gòu)成，在正向傳播的過(guò)程中，輸入信息從輸入層經(jīng)隱含層逐層處理，并傳向輸出層，如果不能在輸出層得到期望的輸出，則轉(zhuǎn)入反向傳播，運(yùn)用梯度下降法連接權(quán)關(guān)于誤差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)沿原來(lái)的連接通路返回，通過(guò)修改各層的權(quán)值使得誤差函數(shù)減小，直到達(dá)到收斂為止。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)練過(guò)程如圖5-2所示。

5.2.2應(yīng)用Matlab神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱訓(xùn)練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

Matlab神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱是以人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論為基礎(chǔ)，用Matlab語(yǔ)言構(gòu)造出典型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)，使設(shè)計(jì)者對(duì)所選定網(wǎng)絡(luò)輸出的計(jì)算變成對(duì)激活函數(shù)的調(diào)用。另外，根據(jù)各種典型的修正網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的規(guī)則及網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過(guò)程，在Matlab神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱中編寫(xiě)好了各種網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)與訓(xùn)練的子程序，設(shè)計(jì)者可根據(jù)自己的需要調(diào)用這些程序進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練，擺脫了每繁瑣的編程過(guò)程，使精力全總值訂中在問(wèn)題的解決方法上，從而提高了工作效率和質(zhì)量。應(yīng)用Matlab神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱進(jìn)行BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，具體過(guò)程如下：

（1）用小的隨機(jī)數(shù)對(duì)每一層的的權(quán)值w_i和閾值b_i初始化，以保證網(wǎng)絡(luò)不被大的加權(quán)輸入飽和，同時(shí)還要進(jìn)行以下參數(shù)的設(shè)定或初始化：期望誤差最小值err_goal、最大循環(huán)次數(shù)max_epoch、修正權(quán)值的學(xué)習(xí)速度l_r等；

（2）計(jì)算網(wǎng)絡(luò)各層輸出矢量A_1­、A₂，以及網(wǎng)絡(luò)誤差E

式中   A_1­——隱含層矢量；

A₂——輸出層矢量；

P——樣本輸入值；

T——樣本輸出值；

A——網(wǎng)絡(luò)輸出值。

（3）計(jì)算各層反向傳播的誤差變化D₁、D₂，并計(jì)算各層權(quán)值的修正值及新的權(quán)值：

（4）再次計(jì)算權(quán)值修正后的誤差平方和：

       SSE=sumsqr （T-pruelin（w₂*tansig（w₁*P，b₁），b₂））         （5-3）

（5）檢查SSE是否小于err_goal，若是，則訓(xùn)練結(jié)束；否則繼續(xù)。

5.3灰色系統(tǒng)理論

5.3.1灰數(shù)

只知道大概的范圍而不知道其確切值的數(shù)叫做灰數(shù)�；覕�(shù)并不是一個(gè)數(shù)，而是一個(gè)數(shù)的區(qū)間，記為 。設(shè)a為區(qū)間，a_i為a中的數(shù)，如果灰數(shù) 區(qū)間內(nèi)取值，稱a_i為 的一個(gè)可能白化值。為此，下列符號(hào)表示：

為一般灰數(shù)；
（a_i）為以a_i為白化值的灰數(shù)；
或 （a_i）是灰數(shù) 的白化值，有時(shí)也用a_i表示 （a_i）的白化數(shù)。

5.3.2白化權(quán)函數(shù)
屬于某個(gè)區(qū)間的灰數(shù) ，在該區(qū)間內(nèi)取值時(shí)，如果每一個(gè)數(shù)的取值機(jī)會(huì)相等，那么這個(gè)灰數(shù)稱之為純灰數(shù)或絕對(duì)灰數(shù)，如深取值機(jī)會(huì)不相等，那么稱這個(gè)灰數(shù)為相對(duì)灰數(shù)。由于任何一個(gè) （x）都是圍繞某個(gè)x組成的，因此認(rèn)為x在 （x）中的地位最重要，權(quán)最大，而 （x）中的其他值，則不一定是最重要的，權(quán)不一定都有一樣大。如果用f(x）表示 （x）上不同x的權(quán)，則稱廠（x）為  (x）的白化權(quán)函數(shù)。
設(shè)有如圖5-3所示的白化權(quán)函數(shù)f(x),f(x）E =[0,l]，如果滿足

(l)f(x)=L(x)，單調(diào)增，xE （a,b_l)
(2)f(x)=R(x)，單調(diào)降，x E（b₂，c)
(3)f(x)==max=1（峰值）,xE ［b₁，b₂］

則f(x）稱為典型白化權(quán)函數(shù)，稱L(x）為左增函數(shù)，R(x）為右降函數(shù)，稱叭，[b₁，b₂]為峰區(qū)。峰區(qū)表示灰量x的最佳程度，即權(quán)為1，稱a為起點(diǎn)，c為終點(diǎn)，b₁、b₂為轉(zhuǎn)折點(diǎn)，其值稱為轉(zhuǎn)折值或閾值。
白化權(quán)函數(shù)的確定，是指函數(shù)形狀、函數(shù)起點(diǎn)和終點(diǎn)的確定。白化權(quán)函數(shù)的形狀是指L(x）與R(x）的形狀。當(dāng)已知較少的信息時(shí)可建立直線型白化權(quán)函數(shù)。而當(dāng)已知信息較多時(shí)可以選用曲線型白化權(quán)函數(shù)，曲線形式包括正態(tài)函數(shù)曲線、威布爾函數(shù)曲線、對(duì)數(shù)正態(tài)函數(shù)曲線等。
5.3.3灰色聚類
灰色聚類是建立在灰數(shù)的白化權(quán)函數(shù)生成的基礎(chǔ)上。它將聚類對(duì)象對(duì)于不同的聚類指標(biāo)所擁有的白化數(shù)，按幾個(gè)灰類進(jìn)行歸納，以判斷該聚類對(duì)象屬于那一類。

記I、Ⅱ、Ⅲ、…為聚類對(duì)象，i=1，2，…，n；

記l^#、2^＃、3^＃、…為聚類指標(biāo)，j=1，2，…，m；

記l、2、3、…為聚類灰類，即灰類，k=l,2，…，n₁；
記d_ij，i=l,2，…，n，j=l,2，…，m，為第i個(gè)聚類對(duì)象對(duì)第j個(gè)聚類指標(biāo)所擁有的白化數(shù)據(jù)（樣本）；
記f_jk（d_ij）,i=1,2,，…，n，j=1,2，…，m,k=l,2，…，n，為第j個(gè)指標(biāo)對(duì)于第個(gè)k灰類的白化權(quán)函數(shù)。
5.3.4熟灰色聚類分析在多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用
多目標(biāo)模糊優(yōu)化問(wèn)題是要求在優(yōu)化設(shè)計(jì)的同時(shí)有多個(gè)指標(biāo)達(dá)到滿意值，其數(shù)學(xué)模型為

求x=(x₁,x₂，…，x_n）^T
使min f₁（x)
min f₂（x)

…

minf_m（x）

s.t.  g_j（x）≤0（j=1，2，…，j）

對(duì)于式（5-4)，若存在x^*使f₁（x)，f₂（x)，…，f_m(x）全部達(dá)到最小，則稱x^*為理想解。在多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，由于目標(biāo)函數(shù)間相互制約，往往得不到理想解，而滿意解也不止一個(gè)，因此定義最接近理想解的滿意解為最滿意解。應(yīng)用灰色聚類分析方法求解多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的最滿意解，具體步驟如下所示：

2.求轉(zhuǎn)換樣本矩陣  即象矩陣  由于指標(biāo)不同，要求不同，因此有必要按上限效果測(cè)度、下限效果測(cè)度、中心效果測(cè)度來(lái)統(tǒng)一樣本。當(dāng)指標(biāo)要求“越大越好”時(shí)，可用上限效果測(cè)度，記統(tǒng)一后的樣本為d_ij，則有

當(dāng)指標(biāo)要求“越小越好”時(shí)，可用下限效果測(cè)度，即

當(dāng)指標(biāo)為適度的規(guī)格，即規(guī)格太高太低都不舍適時(shí)，采用中心效果測(cè)度，即

將樣本轉(zhuǎn)換后，得到轉(zhuǎn)換后的樣本矩陣

3.確定閾值及其矩陣  閾值即為轉(zhuǎn)折點(diǎn)值，可按某種規(guī)則取得，也可按照經(jīng)驗(yàn)或類比的方法獲得，或直接從角矩陣中獲得相對(duì)閾值，即在象矩陣中尋找最大、最小、中等閾值，方法如下：

如果認(rèn)為灰類或評(píng)估類別取“1”、“2”、“3”三級(jí)合適，考慮綜合評(píng)價(jià)權(quán)重的相對(duì)閾值的取值方法。由取矩陣

A=[P₁d（max），P₂d（mean），P₃d"（min）]                     （5-11）

式中  一般取P₁=0.80，P₂=1.0，P₃=1.20。

4.進(jìn)行灰色聚類  對(duì)象矩陣進(jìn)行聚類，聚類類別選為“1”、“2”、“3”三類時(shí)，其白化權(quán)函數(shù)分別與式（5-12）～（5-14）和圖5-4對(duì)應(yīng)。

①灰類 E[x₂，∞]

 

②灰類E [x₁、x₂、x₃]

則第j個(gè)指標(biāo)屬于第k個(gè)灰類的標(biāo)致定聚類權(quán)η_jk為

式中   λ_jk——ƒ_jk的閾值，與相應(yīng)x₁、x₂、x₃的對(duì)應(yīng)。

所有指標(biāo)的第i個(gè)聚類對(duì)象對(duì)于第k個(gè)灰類的聚類系數(shù)σ_ik­

將聚類系靈敏矩陣σ進(jìn)行歸一化處理得到歸一化矩陣σ_c

5.求最滿意解  設(shè)定

      W=σ_c×A_T=（W₁，W₂，…，W_n）^T                                 （5-17）

 

W₁，W₂，…，W_n分別對(duì)應(yīng)F₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n的綜合評(píng)分值，值最大者為最滿意解。

求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題最滿意解的程序框圖如圖5-5所示。

5.4減速器的多目標(biāo)動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)

5.4.1設(shè)計(jì)變量

根據(jù)圓柱正弦活齒減速器的結(jié)構(gòu)和優(yōu)化的目標(biāo)來(lái)確定設(shè)計(jì)變量，有關(guān)設(shè)計(jì)變量共為7個(gè)，分別為：主動(dòng)軸參與嚙合軸段半徑r_l、活齒半徑r、導(dǎo)架參與嚙合軸段壁厚b₂、滾道深度b、空間正弦軌跡曲線幅值A(chǔ)、主動(dòng)軸參與嚙合軸段軸長(zhǎng)l₁、導(dǎo)架參與嚙合軸段軸長(zhǎng)l₂。則設(shè)計(jì)變量為

    x=[x₁，x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇]=［r₁，r,b₂,b,A，l₁，l₂]                  （5-18）

各設(shè)計(jì)變量的含義見(jiàn)圖5-6。

 

5.4.2目標(biāo)函數(shù)
5.4.2.1分目標(biāo)函數(shù)的確定本課題研究的目的是為設(shè)計(jì)出結(jié)構(gòu)緊湊、徑向尺寸小、傳動(dòng)效率高、可靠性高、動(dòng)態(tài)性能好的新型圓柱正弦活齒減速器，并以此為依據(jù)來(lái)確定多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)。
為使設(shè)計(jì)出的減速器適應(yīng)工況要求，在傳動(dòng)比一定，滿足傳遞扭矩的前提下，減速器的徑向尺寸V應(yīng)盡量減小，因此首先將減速器的徑向尺寸最小科：為多目標(biāo)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)之一。即

    ƒ₁（x）=min（V）=min（x₁+2x₂-x₄）                          （5-19）

嚙合副的滑動(dòng)率U是影響齒輪傳動(dòng)效率的一個(gè)重要因素，為降低嚙合副間的磨損，提高傳動(dòng)效率，將滑動(dòng)率最小也作為多目標(biāo)優(yōu)化中的目標(biāo)函數(shù)之一。即

                     ƒ₂（x）=min（U）                        （5-20）
接觸副間的疲勞點(diǎn)蝕是傳動(dòng)的主要失效形式，為了提高傳動(dòng)的可靠性，提高工作壽命，將活齒傳動(dòng)接觸強(qiáng)度的可靠性最大作為目標(biāo)函數(shù)之一。在圓柱正弦活齒傳動(dòng)中，活齒分別與主動(dòng)軸、導(dǎo)架、殼體接觸，各嚙合副接觸強(qiáng)度的可靠性分別為R_l,R₂,R₃，則選取三者中可靠性最低的接觸副作為優(yōu)化目標(biāo)R，即R=min{ R_l,R₂,R₃}，并使R的可靠度達(dá)到極大值，為使各目標(biāo)函數(shù)統(tǒng)一目際測(cè)度，故選取目標(biāo)函數(shù)為使三者中可靠性最低的接觸副的失效率最低，也即
ƒ₃（x）=min（1-R）=min（1-min{ R_l,R₂,R₃}）                    （5-21）

為使減速器系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)性能，應(yīng)使系統(tǒng)各階模態(tài)柔度比較均勻，特別是危險(xiǎn)模態(tài)的動(dòng)柔度要盡可能小，設(shè)減速器系統(tǒng)的各階模態(tài)柔度值為A（i=1,2,3)，通常可將這三階的模態(tài)柔度值作為分目標(biāo)函數(shù)，由于減速器的二階模態(tài)柔度較其它階的值要大得多，所以僅取max{A₁}作為目標(biāo)函數(shù)，并使其達(dá)到極小值，也即分目標(biāo)函數(shù)為
ƒ₄（x）=min（max{A₁，A₂，A₃}）                          （5-22）

為滿足各階模態(tài)柔度盡可能均勻的要求，可建立另一分目標(biāo)函數(shù)為

ƒ₅（x）=                               （5-23）

式中A_v——三階模態(tài)柔度的均值（rad·（N·mm）^-1）

綜上所述，為設(shè)計(jì)出高性能的圓柱正弦活齒減速器，需對(duì)其進(jìn)行多目標(biāo)動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化目標(biāo)為使減速器體積、嚙合副間滑動(dòng)率、危險(xiǎn)模態(tài)的動(dòng)柔度達(dá)到極小值，嚙合副接觸強(qiáng)度的可靠度達(dá)到極大值，并使系統(tǒng)各階模態(tài)柔度盡可能均勻。由此可見(jiàn)，分目標(biāo)函數(shù)共為5個(gè)：
ƒ={ƒ₁（x），ƒ₂（x），ƒ₃（x），ƒ₄（x），ƒ₅（x）}              （5-24）

5.4.2.2神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本和權(quán)值的確定

在圓柱正弦活齒減速器的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，優(yōu)化目標(biāo)ƒ₄（x）、ƒ₅（x）的函數(shù)值是經(jīng)過(guò)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析直接得到的，體現(xiàn)了機(jī)械結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)變量與其動(dòng)態(tài)特性參數(shù)之間的關(guān)系，是一種高度非線性的映射關(guān)系，因此無(wú)法用一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)函數(shù)來(lái)表示。本文采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)機(jī)械系統(tǒng)設(shè)計(jì)變量與其動(dòng)態(tài)特性參數(shù)之間的映射，并利用該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立新的分目標(biāo)函數(shù) 、 （x)。為了能夠提供訓(xùn)練樣本，在第4章我們建立了圓柱正弦活齒減速器的動(dòng)力學(xué)分析模型，并對(duì)其進(jìn)行了動(dòng)態(tài)特性分析，具體步驟這里不再贅述。分別利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)f₄(x）、f₅（x）進(jìn)行函數(shù)逼近，現(xiàn)以f₄（x）為例說(shuō)明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立和訓(xùn)練的過(guò)程。
將上述的設(shè)計(jì)變量作為BP向絡(luò)的輸入量，代入計(jì)算f₄（x）的程序中得到最大模態(tài)柔度值作為網(wǎng)絡(luò)的教師樣本，通過(guò)不斷改變?cè)O(shè)計(jì)變量的值可以得到多組設(shè)計(jì)變量與最大模態(tài)柔度值之間映射的樣本，在這里選取38組映射作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本。由于系統(tǒng)有7個(gè)設(shè)計(jì)變量，因此可以建立一個(gè)輸入層7個(gè)節(jié)點(diǎn)，隱含層7個(gè)節(jié)點(diǎn)，輸出層1個(gè)節(jié)點(diǎn)的三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。有了訓(xùn)練樣本和網(wǎng)絡(luò)模型后，就可以利用Matlab中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱進(jìn)行訓(xùn)練，以便得到設(shè)計(jì)變量與最大模態(tài)柔度之間的精確映射關(guān)系。
進(jìn)行動(dòng)態(tài)優(yōu)化時(shí)，若要建立起目標(biāo)函數(shù)，首先要獲得一組能夠精確計(jì)算f₄（x）的權(quán)值，這就需要通過(guò)樣本訓(xùn)練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)誤差精度達(dá)到要求時(shí)，訓(xùn)練停止，并得到了該組權(quán)值，利用該組權(quán)值與設(shè)計(jì)變量通過(guò)三層BP網(wǎng)絡(luò)可以計(jì)算出訓(xùn)練后的分目標(biāo)函數(shù)值f₄（x）。在訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，學(xué)習(xí)速率取為0.01，動(dòng)量常數(shù)取為0.9，目標(biāo)誤差取為l×10^-16。當(dāng)訓(xùn)練結(jié)束時(shí)，網(wǎng)絡(luò)輸出值與樣本目標(biāo)值之間的誤差均方根值為8.8386×l0^-17（見(jiàn)圖5-7)，訓(xùn)練過(guò)程誤差的變化情況及訓(xùn)練完成后網(wǎng)絡(luò)輸出值與樣本目標(biāo)值對(duì)比情況如圖5-8所示。

以同樣的方法對(duì)f₅（x）進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，目標(biāo)誤差取為1×10^-6，網(wǎng)絡(luò)輸出值與樣本目標(biāo)值之間的誤差均方根值為9.7271×10^-7（見(jiàn)圖5-9），訓(xùn)練過(guò)程誤差變化情況及訓(xùn)練完成后網(wǎng)絡(luò)輸出值與樣本目標(biāo)值對(duì)比情況如圖5-10所示。

在建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型過(guò)程中，需要注意以下幾方面的問(wèn)題：
1.輸入?yún)��?shù)的選擇  輸入?yún)��?shù)選擇的正確與否是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模的關(guān)鍵，若輸入?yún)��?shù)太多，將會(huì)影響建模的效率，若輸入不足，又會(huì)影響建模精度。本文經(jīng)過(guò)對(duì)圓柱正弦活齒減速器各設(shè)計(jì)變量的仔細(xì)分析，選出其中的7個(gè)變量作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的輸入?yún)��?shù)。
2.訓(xùn)練樣本的選擇  如何在整個(gè)設(shè)計(jì)空間選擇樣本才能使建立起來(lái)的網(wǎng)絡(luò)模型具有全局性，即解決樣本泛化問(wèn)題，是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論中一個(gè)有待深入研究的問(wèn)題，它直接影響到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的精度與實(shí)用性。本文在各設(shè)計(jì)變量允許的范圍內(nèi)，選取了38個(gè)訓(xùn)練樣本。
3.隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)的選擇  選用隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)的多少關(guān)系到網(wǎng)絡(luò)建模的成敗，隱層節(jié)點(diǎn)的數(shù)目與所選取的訓(xùn)練樣本空間有關(guān)，隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)太少，網(wǎng)絡(luò)難以處理較夏雜的問(wèn)題，并且會(huì)使網(wǎng)絡(luò)建模誤差增大，但若隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)太多，將使網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時(shí)間急劇增加，又會(huì)影響訓(xùn)練速度。本文在訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)過(guò)程中，經(jīng)過(guò)反復(fù)嘗試后認(rèn)為選取7個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)時(shí)訓(xùn)練效果最好。
4.學(xué)習(xí)速率的選擇  學(xué)習(xí)速率的大小對(duì)算法的收斂特性有很大的影響。若取值太大，會(huì)出現(xiàn)算法不收斂。若學(xué)習(xí)速率選擇太小，會(huì)使訓(xùn)練過(guò)程時(shí)間大大增加，影響計(jì)算效率。一般選擇為0.01～0.1，本文根據(jù)訓(xùn)練過(guò)程中梯度變化和均方誤差變化值，選取學(xué)習(xí)速率為O.01。

5.4.3模糊約束條件
5.4.3.1約束條件的確定  考慮從完全許用到完全不許用的中介過(guò)渡過(guò)程，把活齒傳動(dòng)的接觸強(qiáng)度和扭轉(zhuǎn)剛度等性能約束，嚙合角、不頂切條件等幾何約束，各設(shè)計(jì)變量的上下限約束等的取值范圍，均視為設(shè)計(jì)空間上的模糊子集，于是得到如下的約束條件：
(l）為避免活齒接觸副間發(fā)生疲勞點(diǎn)蝕等失效形式，活齒嚙合副間的接觸應(yīng)力應(yīng)小于接觸疲勞強(qiáng)度許用應(yīng)力，其中各嚙合副接觸應(yīng)力的計(jì)算公式見(jiàn)式(3-l)，即

                               （5-25）

(2）為保證傳動(dòng)軸在扭轉(zhuǎn)時(shí)具有足夠的強(qiáng)度，必須使其最大的工作剪應(yīng)力，不超過(guò)材料的許用剪應(yīng)力，在圓柱正弦活齒減速器的傳動(dòng)軸中，導(dǎo)架的空心軸段部分是最為薄弱的環(huán)節(jié)，則其扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件應(yīng)滿足：

（5-26）

式中    T——輸出扭矩（N·mm）；

W_n——抗扭截面系數(shù)W_n= （D⁴-d⁴）；

D——導(dǎo)架空心軸段部分外徑（mm）；

d——導(dǎo)架空習(xí)軸段部分內(nèi)徑（mm）。

(3）一般機(jī)械設(shè)備中的傳動(dòng)軸除了要求具有足夠的強(qiáng)度外，往往還要求其變形限制在一定的范圍內(nèi)，即要求傳動(dòng)軸要具有一定的剛度，也就是軸最大單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角不能超過(guò)軸單位長(zhǎng)度許用扭轉(zhuǎn)角，則導(dǎo)架扭轉(zhuǎn)的剛度條件為：

 （5-27）

式中    I_P——截面極慣矩I_P= ；

GI_P——抗扭剛度（N·m）。

(4）在設(shè)計(jì)圓柱正弦活齒傳動(dòng)的滾道的結(jié)構(gòu)尺寸時(shí)，為保證接觸副間正確的傳力，需考慮在傳遞扭矩一定的前提下，滾道的深度應(yīng)滿足活齒嚙合副間接觸力的最大嚙合角的限制，即

（5）為滿足活齒傳動(dòng)正確連續(xù)傳動(dòng)的條件，正弦滾道齒形必須保證不發(fā)生頂切，即

（6）設(shè)計(jì)變量上下界約束為

5.4.3.2隸屬函數(shù)及容差的確定  模糊約束的隸屬函數(shù)，應(yīng)根據(jù)約束的性質(zhì)來(lái)具體確定，為簡(jiǎn)便計(jì)算，本文均采用線性嫦娥屬函數(shù)，對(duì)于性能約束采用的隸屬函數(shù)形式為

式中 ——模糊約束過(guò)渡區(qū)間上下限。

無(wú)論選擇何種形式的隸屬函數(shù)，都需要確定模糊過(guò)渡區(qū)間的上、下界。為此，首先需要確定過(guò)渡區(qū)間的容差。所謂容差，即為過(guò)渡區(qū)間的總長(zhǎng)度，實(shí)際上就是約束限制的容許偏差。確定容差的方法有概率分析法、模糊綜合評(píng)判法、擴(kuò)增系數(shù)法等。前兩種方法需要有足夠的統(tǒng)計(jì)分析資料，工程中常用的是擴(kuò)增系數(shù)法。擴(kuò)增系數(shù)法是在充分考慮以往普通設(shè)計(jì)規(guī)范和設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)引入擴(kuò)增系數(shù)β（包括上增擴(kuò)系數(shù)β和下增擴(kuò)系數(shù)β）來(lái)確定過(guò)渡區(qū)間上、下界的一種方法。
通常選取 =1.05～1.30，β=0.7～0.95。
5.4.3.3最優(yōu)水平截集的確定  采用最優(yōu)水平截集法來(lái)實(shí)現(xiàn)從模糊優(yōu)化模型向普通優(yōu)化模型的轉(zhuǎn)化。當(dāng)我們規(guī)定某一隸屬度λ（O≤λ≤1）值的時(shí)候，就由模糊集合分解出一個(gè)普通的集合，將模糊優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為普通優(yōu)化問(wèn)題處理；而一系列不同的λ的普通集合又對(duì)應(yīng)一個(gè)模糊集合。因此，λ截集是溝通普通集合與模糊集合的橋梁。λ取值越大，設(shè)計(jì)結(jié)果越可靠，λ取值越小，設(shè)計(jì)結(jié)果越經(jīng)濟(jì)，所以在[O,l]區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)最佳的λ^*值，使設(shè)計(jì)結(jié)果既經(jīng)濟(jì)又可靠，尋求最優(yōu)λ^*截集，是實(shí)現(xiàn)模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)向普通優(yōu)化設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵。本文采用二級(jí)模糊綜合評(píng)判的方法求解λ^*，分別建立備擇集、因素集、因素權(quán)重集、因素等級(jí)權(quán)重集，并確定評(píng)判數(shù)學(xué)模型，由此計(jì)算出最優(yōu)置信水平λ^*。

下面給出采用二級(jí)模糊綜合評(píng)判法的具體步驟。
1.確定因素集  采用二級(jí)模糊綜合評(píng)判確定最優(yōu)水平值λ^*。將模糊優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為最優(yōu)水平截集上的常規(guī)優(yōu)化模型。影響λ^*取值的因素、因素等級(jí)及其隸屬度見(jiàn)表5-1。隸屬度可以采用模糊統(tǒng)計(jì)法或由專家打分法確定，本文采用專家打分法。
2.確定備擇集  備擇集是以評(píng)判者對(duì)評(píng)判對(duì)象可能做出的各種總的評(píng)價(jià)結(jié)果為元素組成的集合。本設(shè)計(jì)的評(píng)判對(duì)象是水平截集λ，其取值區(qū)間范圍是[0,1]區(qū)間。根據(jù)設(shè)計(jì)條件及要求，分別以兄的各離散值作為評(píng)判對(duì)象，因此取備擇集為
λ={0.30,0.40,0.50,0.60,0.65,0.70,0.75,0.80,0.85,0.90}            (5-33)

3.確定因素權(quán)重集及因素等級(jí)權(quán)重集  不同的因素相對(duì)于評(píng)判對(duì)象的重要程度不同，為準(zhǔn)確反映各因素及因素等級(jí)對(duì)評(píng)判對(duì)象λ的影響，應(yīng)賦予各因素及因素等級(jí)相應(yīng)的權(quán)重W和w_i。在模糊綜合評(píng)判過(guò)程中，權(quán)數(shù)的確定非常重要。根據(jù)各設(shè)計(jì)條件，確定因素權(quán)重集W為
W={0.25,0,30,0.20,0.10,0.10,0.05}                                  (5-34)

表5-1影響因素等級(jí)及其隸屬度

根據(jù)表5-1可分別計(jì)算得到各因素等級(jí)的權(quán)重集W_i

W₁={0.476，0.381，0.143，0，0}；

W₂={0.455，0.318，0.227，0，0}；

W_3­­={0.500，0.400，0.100，0，0}；

W₄={0，0，0.217，0.348，0.435}；                              （5-35）

W₅={0，0，0.208，0.375，0.417}；

W₆={0，0，0.213，0.362，0.425}。

4.進(jìn)行一級(jí)模糊綜合評(píng)判  一級(jí)模糊綜合評(píng)判即單因素評(píng)判，它通過(guò)綜合一個(gè)因素的各個(gè)等級(jí)對(duì)評(píng)判對(duì)象取值的影響來(lái)處理因素的模糊性。根據(jù)各因素等級(jí)次序?qū)υu(píng)判對(duì)象λ的影響，確定各因素的等級(jí)評(píng)判矩陣R_i（i=1，2，…，6）。以μ₁（設(shè)計(jì)水平）為例，其等級(jí)評(píng)判矩陣R₁確定為

（5--36）

R₁的含義為：當(dāng)設(shè)計(jì)水平高時(shí)，λ截集水平取低值，表現(xiàn)為對(duì)評(píng)判對(duì)象λ的隸屬度由大到小，即設(shè)計(jì)參數(shù)許用范圍可稍大；反之，設(shè)計(jì)水平低，λ截集水平取高值。采用M（·，+）合成運(yùn)算模型，分別對(duì)第i個(gè)因素作一級(jí)綜合評(píng)判，該模型按照普通矩陣乘法計(jì)算，能保留一部有用信息，可以全面考慮各個(gè)因素的影響以及各單因素的評(píng)判結(jié)果，得一級(jí)模糊綜合評(píng)判集B_i=W_i R_i。由B_i（i=1，2，…，6）構(gòu)成二級(jí)模糊綜合評(píng)判矩陣R。以計(jì)算B₁為例

B₁=ω₁ R₁=[b₁，b₂，b₃，b₄，b₅，b₆，b₇，b₈，b₉，b₁₀]

=[0.757，0.814，0.786，0.681，0.538，0.381，0.243，0.138，0.043，0.014]       （5-37）

式中  b_j=

5.進(jìn)行二級(jí)模糊綜合評(píng)判   進(jìn)行二級(jí)模糊綜合評(píng)判，首先確定綜合模糊變換矩陣R

（5.38）

綜合考慮各因素的影響，利用模糊變換矩陣，采用M（·，+）合成運(yùn)算模型，得到二級(jí)模糊綜合評(píng)判的總的評(píng)判結(jié)果為
B＝W R=(0.591,0.654,0.674,0.651,0.583,0.502,0.407,0.314,0.231,0.183)

6.確定最終評(píng)判結(jié)果  采用加權(quán)平均法，取以b_i為權(quán)數(shù)，對(duì)各個(gè)備擇元素凡進(jìn)行加權(quán)平均的值作為評(píng)判的結(jié)果，即

結(jié)合前面計(jì)算結(jié)果，利用式（5-39)，求出最優(yōu)水平截集λ^*=0.5875。從而將模糊優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)優(yōu)化問(wèn)題。