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2  共軛曲面的數(shù)字化方法研究

2.1  引言

共軛曲面的數(shù)字化方法的特點(diǎn)，就在于拋開傳統(tǒng)共軛曲面的理論的繁鎖推導(dǎo)與變換，僅借用共軛條件的構(gòu)架關(guān)系，利用數(shù)值方法，借助于計(jì)算機(jī)即可解決共軛曲面理論中的各種問題；且問題的維數(shù)降低，算法簡單，既能解數(shù)字母曲面問題，又能處理解析母曲面的求解問題，實(shí)現(xiàn)了真正意義上的共軛曲面的數(shù)字化方法分析，即從數(shù)字化到數(shù)字化的分析求解過程。

傳統(tǒng)的共軛曲面求解方法是基于解析表達(dá)式描述的已知曲面，通過人工推導(dǎo)，得到共軛曲面的解析方程或數(shù)據(jù)^[78-83]。當(dāng)已知曲面由一系列離散數(shù)據(jù)點(diǎn)來描述時(shí)，這種方法就無法適用，也就是說它的適用范圍有很大局限性。另一方面，因?yàn)楣曹椙�面求解涉及繁瑣的公式推�?dǎo)和大量的數(shù)學(xué)計(jì)算，對一般的工程技術(shù)人員來說，掌握這一套理論和計(jì)算方法有一定難度，而且人工計(jì)算，對一般的工程技術(shù)人員來說，掌據(jù)這一套理論和計(jì)算方法有一定難度，而且人工計(jì)算很容易出錯(cuò)，所以共軛求解的計(jì)算機(jī)化是有必要的。而在利用計(jì)算機(jī)求解實(shí)現(xiàn)方面，由于解析方程式及其推導(dǎo)計(jì)算的多樣化，傳統(tǒng)的共軛求解方法也很難建立通用性較強(qiáng)的計(jì)算機(jī)算法。

本章旨在突破這一局限，一方面使共軛曲面求解在已知曲面為數(shù)字化曲面的情況下依然能夠應(yīng)用，即拓寬共軛曲面的適用范圍；另一方面，增加共軛曲面求解的自動(dòng)化程度，使得從得到已知曲面數(shù)據(jù)點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)參數(shù)到求解出共軛曲面這一過程都可以由計(jì)算機(jī)自動(dòng)完成，用戶只用改變輸入?yún)��?shù)就可以方便地得到各種共軛曲面。

2.2  數(shù)字化共軛曲面的相關(guān)性與求解原理

無論是數(shù)字曲面，還是解析曲面，在對其進(jìn)行共軛理論的研究中，共軛關(guān)系與共軛條件是研究的基礎(chǔ)和重要依據(jù)。

如圖2-1Σ₁、Σ₂為兩共軛的任意曲面，其中Σ₁設(shè)為母曲前，S₁（o₁x₁y₁z₁）、S₂（o₂x₂y₂z₂）為兩個(gè)分別與Σ₁、Σ₂相固連的坐標(biāo)系，r₁⁽¹⁾、r₂⁽²⁾分別表示Σ₁、Σ₂上一點(diǎn)的位置矢，N₁⁽¹⁾、N₂⁽²⁾分別表示曲向Σ₁、Σ₂上r₁⁽¹⁾、r₂⁽²⁾兩點(diǎn)處的單位法矢。上述符號中上標(biāo)表示所定義的坐標(biāo)，下標(biāo)表示所屬的曲面。

設(shè)母曲面Σ₁在坐標(biāo)系S₁中可表示為以u、v為參數(shù)的方程

r₁⁽¹⁾=r₁⁽¹⁾(u、v)                       (2-1)

則曲面Σ₁按以t為參數(shù)的規(guī)律變化，在空間形成一曲面族，該曲面族的方程則為

{Σ₁}：r₁⁽¹⁾=r₁⁽¹⁾(u,v,t)                       (2-2)

u,v是母曲面的幾何參數(shù)；t是母曲面的變化參數(shù)，當(dāng)母面無形狀變化時(shí)，t則為運(yùn)動(dòng)參數(shù)。本文中的t即為曲面間的運(yùn)動(dòng)參數(shù)。

若存在一曲面Σ₂與曲面族{Σ₁}中任一曲面有Σ₁都有一條公共線L或公共點(diǎn)M（也稱接觸線或接觸點(diǎn)），在公共線每一個(gè)點(diǎn)M上Σ₂與Σ₁都有公切面和公法線，曲面Σ₂即為曲面族{Σ₁}的包絡(luò)，面曲Σ₂與Σ₁互為共軛曲面，這種接觸現(xiàn)象則稱為共軛接觸狀態(tài)或共軛傳動(dòng)。

曲面Σ₁與Σ₂為欲實(shí)現(xiàn)共軛接觸運(yùn)動(dòng)，兩曲面必須滿足以下基本條件：

（1）曲面Σ₁、Σ₂上相對應(yīng)的接觸點(diǎn)（共軛點(diǎn)）M₁、M₂必須重合為一點(diǎn)（如圖2-1），即

r₂=r₁-r₀                       (2-3)

對于具體實(shí)際問題，式（2-3）則等價(jià)于r₁⁽²⁾=r₂⁽²⁾(u，v，t)。

(2)兩曲面在接觸相切，即在接觸處有公法線，且兩曲面應(yīng)在其空域一側(cè)接觸，即

N₁=-N₂                       (2-4)

（3）兩曲面在接觸處的相對速度v₁₂應(yīng)位于該處的公切面內(nèi)，以保證連續(xù)接觸，而不致發(fā)生嵌入或分離狀態(tài)，即

N·v₁₂=0

或                                          (r_,u×r_,v)·r_,t=0         (2-5)

通常稱（2-5）式為共軛條年（或包絡(luò)條件）。

由（2-3）、（2-5）兩式聯(lián)立求解，即可求得母曲面Σ₁的共軛曲為Σ₂。亦即由共軛條件（2-5）求得運(yùn)動(dòng)參數(shù)t與母曲面的幾何參數(shù)（u,v）之間的關(guān)系：t=t(u,v),然后代入（2-3）式，即可得到共軛曲面Σ₂：r₂⁽²⁾=r₂⁽²⁾(u，v)。

當(dāng)然，對于母曲面為數(shù)字曲面，實(shí)現(xiàn)算法相當(dāng)復(fù)雜，不過，不論是數(shù)字曲面，還是解析曲面，其最終得到的共軛曲面均為離散的數(shù)字曲面。

2.2.2  數(shù)字化共軛曲面概念與求解原理

基于解析曲面的共軛曲面理論，無疑是共軛曲面求解和共軛接觸分析的精確有效的工具。但是，這套理論存在致命的缺陷，一是其代數(shù)變和幾何變換繁雜，計(jì)算工作量大，使得計(jì)算機(jī)仿真計(jì)算和動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)有相當(dāng)難度；二是對于非解析形式的離散化數(shù)字曲面，傳統(tǒng)的基于解析理論的共軛曲面原理與分析方法則無能為力�；�于此，提出共軛曲面的數(shù)字化方法，以解決現(xiàn)代數(shù)字設(shè)計(jì)、數(shù)字加工和各種數(shù)字反求工程中的問題。

基于數(shù)字曲面的求解理論與方法是共軛曲面的數(shù)字化方法的核心內(nèi)容，它的基本思想是從數(shù)字化離散曲面出發(fā)，應(yīng)用數(shù)值分析手段將數(shù)字曲面分別沿不同的方向u、v構(gòu)造一個(gè)整體上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的三次樣條插值函數(shù)，將具有雙幾何參數(shù)曲面上一點(diǎn)幾何性質(zhì)的討論退化為關(guān)于具有單幾何參數(shù)的兩條曲線交點(diǎn)幾何性質(zhì)的研究，并按照曲面運(yùn)動(dòng)過程中的共軛關(guān)系和條件，建立求極小值的數(shù)字規(guī)劃模型，應(yīng)用優(yōu)化算法，即可求到與數(shù)字母曲面Σ₁相共軛的數(shù)字曲面Σ₂。

2.3  共軛參數(shù)的數(shù)字化求解

數(shù)字化曲面共軛求解中有兩個(gè)關(guān)鍵量，即共軛參數(shù)法向量N和切向量v₁₂，本節(jié)將圍繞這兩個(gè)鍵量展開討論。

數(shù)字化曲面上的點(diǎn)是離散的，我們可以根據(jù)運(yùn)動(dòng)參數(shù)分別考察曲面上每一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)特性，求出每一個(gè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中對應(yīng)的共軛點(diǎn)的位置（如果有的話），那么當(dāng)所有的共軛點(diǎn)都求出來后，也就自然而然地求解出了已知數(shù)字化曲面對應(yīng)的共軛曲面，這就是數(shù)字化共軛曲面求解的整體思路。

但在共軛曲在求解過程中，孤立的點(diǎn)及其動(dòng)動(dòng)并不能提供求解所需的全部條件，例如曲面在該點(diǎn)的法向量N。在考察曲面上單個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特性之前，有必要對數(shù)字曲面進(jìn)行曲面插值，以期間接得到一個(gè)連續(xù)的曲面，從而獲取習(xí)已知曲面的某些整體特性。針對法向量N的求解，本章提出了曲面插直的降維插值法，它能在滿足共軛求解功能要求（即提供已知曲面在一點(diǎn)的法向量N）的同時(shí)，大大減少插值的計(jì)算量。

除了法向量N外，共軛曲面求解中的另一個(gè)共軛參數(shù)是曲面上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的切向量v₁₂。本文提出根據(jù)三維數(shù)組與曲面族的對應(yīng)關(guān)系，提出切向量v₁₂的求解方法。

2.3.1  法向量N的求解

曲面插值面臨的主要問題是計(jì)算量大，下面提出基于已知數(shù)字曲面求其共軛曲面的降維插值方法，用曲線插值替代曲面插值。

降維插直法就是從已知的數(shù)字化離散曲面出發(fā)，將數(shù)字曲面分別沿下同的方向u,v構(gòu)造一個(gè)整體上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的三次樣條插直曲線。兩條交叉的插直內(nèi)線在交叉點(diǎn)的切向量的向量積，就是數(shù)字化曲面在這一點(diǎn)的法向量N，如圖2-25所示。根據(jù)三次樣條插值的唯一性，由曲線插值所求得的法向量是相等的。然后按照曲面相對運(yùn)動(dòng)過程的共軛條件，建立求解極小值數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，應(yīng)用優(yōu)化算法，即可求得與已知數(shù)字曲面Σ₁、相共軛的數(shù)字化曲面Σ₂。

這樣，就將具有雙幾何參曲面上一點(diǎn)幾何性質(zhì)的討論轉(zhuǎn)化為關(guān)于具有單幾何參數(shù)的兩條曲線交點(diǎn)幾何性質(zhì)的研究，從而降低了計(jì)算的復(fù)雜程度。

以u方向?yàn)槔�介紹三次樣條插值。

根據(jù)u方向的n+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（u_i，f_i），（i=0，1，…,n）構(gòu)造的三次樣條插值函數(shù)S（x）滿足下列條件：

（1）S（u_i)=f_i,i=0,1,…,n；

（2）在每一個(gè)小區(qū)間[u_i,u_i+1]上是三次多項(xiàng)式；

（3）S(u_i)∈C²[a,b],[a,b]為整個(gè)插值區(qū)間，即插值函數(shù)整個(gè)區(qū)間有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。

插值多項(xiàng)式可用線性方程組表示：

(1-λ_i)M_i-1+2M_i+λ_iM_i+1=6f[u_i-1,u_i,u_i=1],i=1,2,…,n-1。        （2-6）

式中，表示S（x）的二階導(dǎo)數(shù)在u_i的值，表示二階差商。這是關(guān)于的線性議程組，共有n-1個(gè)方程，比未知參數(shù)個(gè)數(shù)n+1少2，一般可用附加邊界條件給出所需的二個(gè)方程，這樣就能唯一地確定。

根據(jù)給定的已知曲面上的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值，分別沿u=u_i，v=v_j構(gòu)造關(guān)于幾何參數(shù)u,v的三次樣條插函數(shù)：，則曲面在點(diǎn)(u_i,v_j)處的法向量為

這樣，用降維插值法就可以求出曲面在任一節(jié)點(diǎn)（u_i,v_j）處的法向量。再利用兩曲面的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，通過坐標(biāo)變換，就可以求出在運(yùn)動(dòng)過程中對應(yīng)各個(gè)t的曲面有（u_i,v_j）的法向量。

2.3.2  相對運(yùn)動(dòng)速度v₁₂的求解

隨著運(yùn)動(dòng)數(shù)t的變化，已知曲面Σ₁在未知曲面Σ₂的坐標(biāo)系S₂中的運(yùn)動(dòng)軌跡形成曲面族{Σ₁}，將{Σ₁}通過坐標(biāo)變換，即可得到Σ₁在S₂中對應(yīng)于每一個(gè)t的位置坐標(biāo)，把這些位置記錄下來就得到了Σ₁在S₂中運(yùn)動(dòng)而形成的曲面族。

若已知曲面Σ₁由一系列離散的坐標(biāo)值表示，則規(guī)則化后的坐標(biāo)值系列可以寫成二維數(shù)組成的形式，二維數(shù)組中的各維分別對應(yīng)u,v參變量或方向，二維數(shù)組中的各元素分別對應(yīng)曲面上節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)；那么，曲面Σ₁在坐標(biāo)S₂中運(yùn)動(dòng)形成的曲面族{Σ₁}可以用三維數(shù)組表示，三維數(shù)組的各維分別對應(yīng)u,v,t參變量或方向，并且曲面族中的各點(diǎn)與此三維數(shù)組的各個(gè)元素在空間結(jié)構(gòu)上是——對應(yīng)的，如圖2-3所示。

設(shè)此三維數(shù)組為M，則取t≡t_k時(shí)，M退化為一個(gè)二維數(shù)組，它表示曲面族{Σ₁}中對應(yīng)t=t_k的曲面；如果考察已知曲面上一點(diǎn)（u_i，v_j）,即取u≡u_i,v≡v_j，則M退化為一維數(shù)組，它表示曲面一點(diǎn)（u_i，v_j）在坐標(biāo)系S₂中對應(yīng)于運(yùn)動(dòng)參數(shù)t的一系列位置向量，也即點(diǎn)（u_i，v_j）在坐標(biāo)系S₂中的離散運(yùn)動(dòng)軌跡。

這樣，取得點(diǎn)（u_i，v_j）的離散運(yùn)動(dòng)軌跡后，利用三次樣條曲線插直，就可以得到以t為自變量的連續(xù)函數(shù)Ct(t)，它表示點(diǎn)的連續(xù)運(yùn)動(dòng)軌跡；然后求取Ct(t)對運(yùn)動(dòng)參數(shù)t的導(dǎo)函數(shù)，就可以得出點(diǎn)（u_i,v_j）運(yùn)動(dòng)軌跡的切向量函數(shù)。

那么t=t_k時(shí)點(diǎn)（u_i,v_j）運(yùn)動(dòng)軌跡的切向量為

這也就是曲面Σ₁上一點(diǎn)(u_i，v_j)在t=t_k時(shí)相對于曲面Σ₂的運(yùn)動(dòng)速度。

2.4  數(shù)字化共軛曲面求解模型與算法

2.4.1  數(shù)學(xué)模型

根據(jù)以上論述的曲面共軛條件和關(guān)鍵量的求解方法，構(gòu)造如下的共軛曲面求解數(shù)學(xué)模型

式中

r₁⁽²⁾(u,v,t)——已知曲面Σ₁在坐標(biāo)系S₂中形成的曲面族；

N(u,v,t)——在坐標(biāo)系S₂中，對應(yīng)運(yùn)動(dòng)參數(shù)t的已知曲面Σ₁在點(diǎn)（u,v）的法向量；

v₁₂(u,v,t)——在坐標(biāo)系S₂中，對應(yīng)運(yùn)動(dòng)參數(shù)t的Σ₁上點(diǎn)（u,v）的相對運(yùn)動(dòng)速度。

2.4.2  算法實(shí)現(xiàn)

（1）給定u_i值；

（2）給定v_j值；

（3）用前述方法求出曲面Σ₁在點(diǎn)(u_i，v_j)的法向量N(u_i，v_j)；

（4）用坐標(biāo)變換求出N(u_i，v_j)對應(yīng)整個(gè)t序列的在坐標(biāo)系S₂中的一系列值N(u_i，v_j,t)；

（5）用前面介紹的方法求出點(diǎn)（u_i，v_j）在坐標(biāo)系S₂中，對應(yīng)整個(gè)t序列的相對運(yùn)動(dòng)速度v₁₂(u_i，v_j,t)；

（6）取φ(u_i,v_j,t)=N(u_i,v_j,t)·v₁₂(u_i,v_j,t),得到對應(yīng)于整個(gè)t序列的一系列值，在此基礎(chǔ)上，用插值的方法得到一個(gè)以t為自變量的連續(xù)函數(shù)φ(t),然后求出使φ(t)=0時(shí)t的值t_k；

（7）將u=u_i,v=v_j,t=t_k代入（2-9）中第一式，就得到已知曲西Σ₁上點(diǎn)（u_i,v_j）所對應(yīng)的共軛曲面Σ₂上的共軛點(diǎn)r₂(u_i,v_j)，將這個(gè)共軛點(diǎn)的坐標(biāo)值保存；

（8）v_j←v_j+△v,轉(zhuǎn)至（2），直到v方向計(jì)算完畢；

（9）u_i←u_i+△u,轉(zhuǎn)至（1），直到u方向計(jì)算完畢。

通過上述計(jì)算，就得到了對應(yīng)于已知曲面Σ₁上節(jié)點(diǎn)的一系列共軛點(diǎn)，所有這些離散的共軛點(diǎn)就表達(dá)了所要求的共軛曲面Σ₂。

在計(jì)算中，如果點(diǎn)（u_i,v_j）在整個(gè)t的運(yùn)動(dòng)過程中都沒有使φ(t)=0,則可判斷此點(diǎn)沒有參與共軛，在共軛曲面的求解中剔除該點(diǎn)；如果點(diǎn)（u_i,v_j）d在整個(gè)t的運(yùn)動(dòng)過程中超過一次使φ(t)=0，則可判斷此點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中不只一次參與了共軛。這種已知點(diǎn)和所求共軛點(diǎn)“一對多”的映射會(huì)導(dǎo)致程序判斷的紊亂，這種情況可用使t自動(dòng)分段和遞歸調(diào)用共軛求解函數(shù)的方法來處理，直至在每一個(gè)t的分段中，該點(diǎn)（u_i,v_j）參與共軛的次數(shù)不超過一次。

2.5  小結(jié)

本章提出了數(shù)字化共軛曲面的概念與求解原理，介紹了數(shù)值化共軛求解中兩曲面的相關(guān)性質(zhì)即共軛關(guān)系與共軛條件，解決了數(shù)字化曲面共軛求解中，共軛參數(shù)法向量N和切向量v₁₂的數(shù)字化求解問題，建立了數(shù)字化共軛求解模型和算法。

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