求出共軛曲面各節(jié)點坐標值后，調用MATLAB繪圖命令就可以顯示共軛曲面的圖形，并通過編制的程序，還能夠以動畫的形式演示兩曲面作共軛運動的過程。求得的共軛曲面及兩曲面作共軛運動的瞬間分別如圖3-3、圖3-4所示：
3.3.2 回轉曲面的共軛求解
回轉面是指一條曲線繞定軸回轉生成的曲面。它是機械設計和加工中常見的曲面，如銑刀，砂輪，軋鋼輥子等。
出于回轉面在垂直于回轉軸線的任何截面上所得曲線皆為圓，且圓心均在回轉軸線上，若繞軸線回轉的曲線無垂直于回轉軸線的切線，則回轉面上的任一點法線必過回轉軸線。這是因為圓的切線與曲面的法線垂直，故曲線的任一點法線必在圓的法面上，即在過軸線的平面上，又繞軸線回轉的曲線切線與回轉軸不垂直，故任一點法線過軸線且不與軸線平行，所以必與軸線相交。
機械加工常用的盤狀、指狀砂輪和銑刀，以及軋鋼中的圓柱軋件，都是回轉面。他們的運動一般分為兩種，一種是已知曲面繞某一軸線作相對回轉運動（如圓柱軋件相對于軋鋼輥子的運動可以認為是單純的回轉運動），其包絡面是回轉面；一種是已知曲面繞某一軸線作相對螺旋運動（如銑刀相對于加工工件的運動），其包絡面是螺旋面。而回轉面和螺旋面，都可以由某一母曲線經過相應的回轉或螺旋運動得到。
根據以上分析，求已知回轉面的包絡面的過程可以分解為兩個步驟：首先，求出任一瞬時已知曲面與所求共軛曲面的瞬時接觸線；然后，把接觸線作為母曲線按未知曲面的運動方程運動，這樣就可以得到已知曲面的包絡面，即它的共軛曲面。
基于以上回轉面共軛求解的基本思路和本文提出的數字化共軛曲面求解原理與編程方法，作者開發(fā)出了數字化共軛曲面求解的專用軟件，它不僅能夠實現解析和數字化的回轉曲面的共軛求解，能夠適應多種曲面，而且求解過程簡單而迅速。共軛曲面求解中繁雜的公式推導和大量的計算，都出軟件在后臺實現。
3.3.2.1 軋輥曲面的數字化求解
（1）軋件與軋輥的共軛運動
如圖3-5，軋輥軸線z2豎直放置，軋件軸線為z1，兩者交錯成θ角度，垂直距離為d0，軋件半徑為r0。在軋制過程中軋輥是轉動的，現在假設軋輥不轉，根據相對運動原理，則軋件就以軋輥軸線為軸作旋轉運動，若軋件同時繞自身軸線回轉，則軋件的相對運動包括自轉和公轉。以軋件為已知曲面Σ1，它與坐標系S1固連，轉動角速度為ω1，Σ1上的各點在S1中的用規(guī)則矩陣表示為X1(1),Y1(1),Z1(1)；以軋輥為所求的共軛曲面Σ2，它與坐標系S2固連，轉動角速度為ω2，則軋件的運動可以用矩陣變換的形式表示為：
式中，三維數組Xmat(u,v,t)，Ymat(u,v,t)，Zmat(u,v,t)表示軋件曲面在軋輥坐標系S2中運動形成的曲面族。利用數字化共軛曲面的求解步驟，即可完成軋輥曲面的求解。為使求解簡化，可充分利用回轉曲面的特殊性，即繞自身轉動后的回轉曲面還是原回轉曲面；無論對于共軛曲面的相對運動是轉動還是螺旋運動，兩曲面接觸線的形狀是不變的。那么，我們可以取t值為一個合適的范圍，得到兩曲面完整的接觸線，然后使接觸線按照與兩曲面相對運動相同的運動過程運動，得到的曲線族就是所求的共軛曲面。這樣，既減少了計算量，同時又避免了出現“一對多”映射時將t分段造成的各個共軛曲面片銜接困難的問題。
求出接觸線后，使接觸線按照兩曲面運動關系運動，所得到的曲線族就是所求的共軛曲面，也即軋輥曲面。
（2）軋輥面的數字化共軛求解
本文用VC++和MATLAB開發(fā)了一套共軛曲面求解軟件Conjugater1.0，它能夠進行軋鋼輥子曲面、銑刀加工面、直齒面以及鼓形齒面等的自動求解和輔助設計。
應用軟件Conjugater1.0求解軋輥曲面：已知軋件曲面是圓柱面，輸入表達式或各節(jié)點坐標值后，可以顯示其曲面形狀如圖3-6所示；根據各節(jié)點值以及輸入的運動和相對位置參數，進行共軛曲面求解運算，可以得到與已知曲面共軛的兩個曲面如圖3-7所示，這兩個曲面都滿足共軛條件的；根據實際需要，取與已知曲面外共軛的共軛曲面（如圖3-8），這就是滿足條件的軋輥曲面。
3.3.2.2 銑刀加工面的數字化求解
（1）銑刀與其加工面的共軛運動
與軋輥的求解相似，對于回轉型刀具，也可以先求出兩共軛曲面的接觸線，然后使接觸線按照兩曲面特定的運動關系運動，就得到要加工的曲面。刀具加工的曲面可以是回轉面，也可以是螺旋面。銑刀及其加工面如圖3-9所示。
設已知接觸線為C1，它可以由三個一維數組Xc1，Yc1，Zc1表示，螺旋運動的角速度為ω，軸向移動速度為v，則由它生成的螺旋面可以用如下的坐標變換表示為：
（2）銑刀加工面的數字化求解
借助于軟件Conjugater1.0求銑刀加工的過程與求解軋輥曲面的過程相同。輸入輸出界面和結果如圖3-10、圖3-11、圖3-12、圖3-13所示。最后得到如圖的兩個螺旋面，這兩個螺旋面都是滿足共軛條件的，圖3-12表示銑刀在工件實體的外圓加工所得的曲面，圖3-13表示銑刀在工件的內壁加工所得的曲面。應用時可根據實際情況選取。
3.4 小結
（1）本章充分利用MATLAB的計算特點來處理數字化共軛曲面的求解及仿真，用一維數組、二維數組、三維數組分別與點的運動軌跡、曲面、曲面族相對應；用坐標分解的方法使MATLAB可以方便地處理三維曲面；
（2）提出了在三維數組中抽取出所需的一維數組的概念，使數據處理形象直觀；
（3）在計算過程中用一個簡單的函數實現了優(yōu)化的功能，大大降低了計算復雜程度；并且優(yōu)化所得的結果是點（uj,vk）在整個軌跡插值曲線中使ψ（uj，vk，t）=0的點，而不是在有限個已知的軌跡離散數據點中使ψ（uj，vk，t）為最小值的點，這樣就突破了有限個數據點的限制，最大限度地利用了已知信息，使計算結果更精確。
（4）本章利用自行開發(fā)的數字化共軛求解軟件，分別對任意數字曲面和回轉曲面問題進行了數字化共軛求解計算，得到了滿意的計算結果，驗證了理論、模型算法和軟件的正確與可用性。
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