5 共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)嚙合特性分析
5.1 引言
前面研究了共軛曲面的數(shù)字化方法及其在數(shù)字齒面設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，為實(shí)現(xiàn)數(shù)字化設(shè)計(jì)與加工、特別是鼓形齒輪的數(shù)字化設(shè)計(jì)與加工一體化奠定了基礎(chǔ)。
本章研究鼓形齒輪在一新型傳動(dòng)裝置中的應(yīng)用---共軛鼓形齒聯(lián)軸器。主要討論共軛鼓形齒聯(lián)軸器鼓形齒輪齒面方程的建立，分析共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)的靜力學(xué)特性、動(dòng)力學(xué)特性、接觸強(qiáng)度、彎曲強(qiáng)度與變形，研究該傳動(dòng)的多齒嚙合狀態(tài)與性能。
5.2 共軛鼓形齒面方程的建立
要進(jìn)行共軛齒面鼓形齒聯(lián)軸器的嚙合分析，必須首先創(chuàng)建共軛鼓形齒聯(lián)軸器內(nèi)外齒輪齒面的幾何數(shù)學(xué)模型，也就是要建立內(nèi)外齒輪齒面的方程。
對(duì)于共軛齒面鼓形齒聯(lián)軸器，直齒內(nèi)齒輪齒面方程可直接給出，根據(jù)求解共軛齒面嚙合的運(yùn)動(dòng)學(xué)法，可求解出與直齒內(nèi)齒相共軛的外齒齒面方程。
5.2.1 坐標(biāo)系
坐標(biāo)系如圖5-1所示。
S1(0,x1,y1,z1)坐標(biāo)系，為與外齒輪固連的動(dòng)坐標(biāo)系；z1軸與外齒輪軸線重合。
S10(0,x10,y10,z10)坐標(biāo)系，為過渡坐標(biāo)系；z10與z1軸重合；x10與x1夾角φ1為某瞬時(shí)外齒輪轉(zhuǎn)角。當(dāng)φ1=0時(shí)，S10系與S1坐標(biāo)系重合。
S20(0,x20,y20,z20)坐標(biāo)系，為靜坐標(biāo)系；z20軸與軸z2重合；x20軸與x2軸夾角φ2為某瞬時(shí)內(nèi)齒輪轉(zhuǎn)角，當(dāng)φ2=0時(shí)，S20系與S2系重合。
四個(gè)坐標(biāo)系有共同的原點(diǎn)O，x10與x20軸線重合，z10與z20軸線夾角為兩齒輪軸線的軸交角θ（y10與y20軸線的夾角亦為θ）。
5.2.2 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系
坐標(biāo)的逆變換可由它們的逆矩陣導(dǎo)出。
5.2.3 內(nèi)齒輪齒面方程
內(nèi)齒輪輪齒為直齒，其端面齒形及坐標(biāo)關(guān)系如圖5-2所示。設(shè)端面齒廓線為漸開線，xc2坐標(biāo)通過漸開線在基圓上的起點(diǎn)，在（o,xc2,yc2,zc2）坐標(biāo)下的齒面方程為
式中，φ2、t2——齒面參變量，rb——漸開線基圓半徑。設(shè)a2為齒面某一點(diǎn)k處的壓力角，則有φ2=tana2。
將（5-1）式轉(zhuǎn)換到S2坐標(biāo)系上，得
將（5-2）式轉(zhuǎn)換到S20坐標(biāo)系上，得
式中，β2——內(nèi)齒輪基圓齒槽寬所對(duì)圓心角之半。
式中，α——分度圓壓力角
Z——齒輪齒數(shù)；
xr2——內(nèi)齒徑向變位系數(shù)；
xτ2——內(nèi)齒切向變位系數(shù)。
式（5-3）就是內(nèi)齒輪齒面在S20坐標(biāo)系中的齒面方程。
5.2.4 外齒輪齒面方程
根據(jù)求解共軛齒面的運(yùn)動(dòng)學(xué)法，外齒輪齒面方程為
式中，r1——外齒輪齒面方程；
r2——內(nèi)齒輪齒面方程；
f(ψ2,t2,φ2）=0——嚙合方程，由N·v12=0推導(dǎo)而來：
其中，
c1=cosφ1；s1=sinφ1
c2=cosφ2；s2=sinφ2。
cs=cosθ；ss=sinθ
在（0,x2,y2,z2）坐標(biāo)系上，內(nèi)齒輪齒面法向矢量的三個(gè)坐標(biāo)分量分別為
在（0,x2,y2,z2）坐標(biāo)系，相對(duì)速度的三個(gè)坐標(biāo)分量為
將（5-5）式、（5-6）式代入N·v12=0，得
將（5-2）式代入（5-7）式，經(jīng)化簡(jiǎn)得
式（5-8）即為嚙合方程。
在（0,x1,y1,z1）坐標(biāo)系下的外齒輪齒面方程為
式中，φ1、φ2——內(nèi)、外齒面的轉(zhuǎn)角。
令φ1=φ2=φ，將（5-2）式及由（5-8）式解出的t2代入（5-9）式，即可得到以ψ2、φ為參變量的外齒輪齒面方程：
為了嚙合分析方便，要給出在固定坐標(biāo)系下的接觸線方程，即嚙合面方程。在S20坐標(biāo)系下接觸線方程為
由f（ψ2,t2,φ2）=0,r2（ψ2,t2）還可給出內(nèi)齒輪齒面上的接觸線方程：
5.3 共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)力學(xué)特性分析
5.3.1 鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)靜力學(xué)分析
為了研究鼓形齒聯(lián)軸器的傳動(dòng)特性，以便設(shè)計(jì)、加工和優(yōu)化這種傳動(dòng)裝置，必須知道該傳動(dòng)件上傳動(dòng)齒輪的工作載荷。傳動(dòng)齒輪的工作載荷包括靜載和動(dòng)載兩部分，所謂鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)的靜力學(xué)分析，即暫不考慮傳動(dòng)中的動(dòng)載荷，僅按靜態(tài)情況對(duì)鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)進(jìn)行受力分析和研究。
根據(jù)鼓形齒聯(lián)軸器嚙合分析，在不考慮彈性變形的剛性情況下，我們認(rèn)為，傳動(dòng)齒輪沿接觸線上的法向載荷是均勻分布的，且傳動(dòng)齒輪各接觸齒對(duì)受載相等；在考慮彈變形后，各接觸齒對(duì)上的瞬時(shí)載荷的大小和分布要發(fā)生變化，其變化情況與各接觸齒對(duì)在各瞬時(shí)的綜合剛度系數(shù)成正比。
由鼓形齒聯(lián)軸器多齒接觸試驗(yàn)得知，當(dāng)鼓形齒聯(lián)軸器在傳動(dòng)過程中，各接觸齒對(duì)的綜合剛度系數(shù)Ci是由小變大，再由大變小，即在嚙合區(qū)兩端剛度系數(shù)最小，在嚙合區(qū)中段的綜合剛度系數(shù)為最大Cmax。因?yàn)榇颂幹恍枰栏鲊Ш淆X對(duì)在某瞬時(shí)綜合剛度的相對(duì)大小，且綜合剛度系數(shù)的數(shù)值都是用實(shí)測(cè)方法求得的，鑒于實(shí)驗(yàn)條件，為方便起見，設(shè)Cmax為單位1，并假定其他各對(duì)嚙合齒的剛度系數(shù)整體副近橢圓分布規(guī)律，即
Ci=Cmax[1-(0.2i)2](i=0，1，2，…) (5-13)
式中i為接觸齒對(duì)號(hào)，其各接觸齒對(duì)所對(duì)應(yīng)的相對(duì)剛度系數(shù)如圖5-3所示。
在某瞬時(shí)，各嚙合齒對(duì)的綜合剛度系數(shù)之和即總體綜合剛度系數(shù)，即
CΣi=ΣCi
當(dāng)不考慮齒輪基節(jié)和其他制造誤差時(shí)，剛度系數(shù)為Ci的那對(duì)齒所受的載荷
式（5-14）即為齒間載荷分配表達(dá)式，其中受載荷最大齒對(duì)的法向載荷
式中，F(xiàn)n——總額定扭矩Mn的等效法向載荷，即
齒面上法向力Fnimax在x、y、z三個(gè)方向的分量大小分別為
式中，n0——接觸齒面上的單位法線向量，即
式中，n——齒面上任意點(diǎn)k的法線向量，即
式中，φ——齒輪相對(duì)靜參考系的轉(zhuǎn)角；
ξ——基圓齒槽寬所對(duì)圓心角之半；
ψ——齒廓上任意點(diǎn)k的展角θk與壓力角αk之和；
φ2b——第i對(duì)齒基圓上的點(diǎn)與靜參考系間所夾的圓心角。其接觸線上任意點(diǎn)k處的受力狀態(tài)如圖5-4所示。
5.3.2 鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)分析
鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)裝置實(shí)際上是一個(gè)彈性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，它由鼓形外齒、漸開線內(nèi)齒、軸和軸上其他零件組成，對(duì)這樣一個(gè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析是相當(dāng)復(fù)雜和困難的。為了分析方便，可將彈性系統(tǒng)分為兩部分，一是輪系部分，二是軸系部分。由于輪系輪齒的剛度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于軸的剛度，所以，就可以把二者分開，即當(dāng)分析軸的彈性變形所造成的齒輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)，可以認(rèn)為齒是剛性的；而在分析由于齒的彈性變形引起的動(dòng)載荷時(shí)，就可不考慮軸及其它零件的彈性載荷，認(rèn)為傳入的轉(zhuǎn)距是常量。
5.3.2.1 鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)的輪系固有頻率
一軸間傾角為θ的鼓形聯(lián)軸器，在傳遞載荷的過程中，一般有幾對(duì)齒處于接觸嚙合狀態(tài)，此時(shí)由動(dòng)力學(xué)基本定理，有
式中，I1，I2——鼓形外齒輪1和漸開線內(nèi)齒輪2的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；
M1，M2——外、內(nèi)齒輪單位齒寬上的扭矩；
Fn——純翻轉(zhuǎn)位置處嚙合齒對(duì)單位齒寬上的法向載荷；
rp1、rp2——純翻轉(zhuǎn)位置處外、內(nèi)齒面上法向載荷等效集中力作用點(diǎn)P的徑向坐標(biāo)。當(dāng)鼓形齒聯(lián)軸器勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，有
由（5-17）式，得
或
另一方面，當(dāng)考慮輪齒彈性變形后，嚙合齒對(duì)因沿接觸線的剛度發(fā)生變化，沿接觸線壓力分布處于非均勻狀態(tài)，其分布規(guī)律為
Fnk=Ckδk （5-19）
式中，Ck——輪齒接觸線上點(diǎn)k處的剛度系數(shù)；
δk——輪齒接觸線上點(diǎn)k的綜合變形。在等效點(diǎn)P處，則有
Fnp=Cpδp （5-19a）
如果在t=0的瞬時(shí)，由于干擾載荷的作用，輪齒的變形量增大△δ，則齒上的載荷也獎(jiǎng)增加△Fn，當(dāng)轉(zhuǎn)矩M1、M2為定值時(shí)，由齒輪的平衡條件可知，齒輪的角速度ω將發(fā)生周期性變化，而載荷和變形也以同一頻率變化。由（5-17）式和（5-18）式，得
式中，
△Fn=Cp△δ （5-21）
由彈性嚙合原理可得，兩相嚙合的彈性齒輪連續(xù)嚙合運(yùn)動(dòng)的條件，即兩齒靠近的速度要等于它們變形增加的速度。根據(jù)兩嚙合彈性齒輪連續(xù)運(yùn)動(dòng)的條件，有
對(duì)上式兩邊微分，并利用（5-20）式、（5-21）式，可得鼓形齒輪聯(lián)軸器傳動(dòng)的自振微分方程為
即
△δ+β2△δ=0 （5-23a）
式中，
式（5-23）是一個(gè)二階線性齊次微分方程，其一般解為
△δ（t）=Bcos（βt）+Csin（βt） （5-25）
式中，B、c——積分常數(shù)，可由p點(diǎn)的初始條件確定。
設(shè)在初始時(shí)刻t=0時(shí)，△δ（0）=△δ0（初位移），△
（0）=v0（初速度），則由（5-25）式，可求出
。于是，動(dòng)位移的表達(dá)式可寫為
在上述分析中，可以用旋轉(zhuǎn)矢量來描述鼓形齒聯(lián)軸器的動(dòng)位移情況。旋轉(zhuǎn)矢量的模為振幅A，角速度為角頻率β，如圖5-5所示。
若用復(fù)數(shù)來表示，則
z=Aexp[j(βt+φ)]=Acos(βt+φ)+jAsin(βt+φ) （5-26）
式中，
。復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部可分別表示為
此時(shí)，動(dòng)位移△δ可表示為
△δ(t)=Im Aexp[j(βt+φ)] （5-28）
其變化的速度和加速度分別為
用復(fù)指數(shù)形式描述這種諧振動(dòng)，給運(yùn)算帶來很大方便。因?yàn)閺?fù)指數(shù)exp（jβt）對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)一次，相當(dāng)于在其前面乘以jβ，而每乘一次j，就相當(dāng)于增加初位相角π/2。
輪系的固有頻率則為
f=fp=βp/(2π)=β/(2π)=(Cp/md)1/2/(2π) （5-31）
式中，md為輪系的當(dāng)量質(zhì)量。
以上對(duì)輪系即齒輪傳動(dòng)的固有頻率進(jìn)行了分析，實(shí)際上，齒輪傳動(dòng)的固有頻率還受許多因素的影響，如齒輪本體的輪緣、軸、齒面間的油膜厚度以及支承條件等。此處討論系的固有頻率，忽略了這些因素的影響，因此，上述輪系固有頻率的計(jì)算公式具有一定的條件性，其主要目的是為了本問題討論的系統(tǒng)性，以作定性分析和概念闡述。共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)的振動(dòng)誘因主要來源于軸系，軸系固有頻率的研究是共軛鼓形齒聯(lián)軸器振動(dòng)問題的重要組成部分和最具實(shí)用價(jià)值的內(nèi)容。
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