2連桿行星齒輪機(jī)構(gòu)位移協(xié)調(diào)原理的研究
2.1引言
現(xiàn)有機(jī)構(gòu)受力分析主法要求機(jī)構(gòu)滿面足靜定條件，從而可按剛體力學(xué)原理進(jìn)行分析。然而，當(dāng)機(jī)構(gòu)中存在虛約束時(shí)，運(yùn)動(dòng)鏈不再滿足靜定條件，機(jī)構(gòu)的受力分析無法則剛體力學(xué)的方法完全確定。這種機(jī)構(gòu)稱為靜不定的過約束機(jī)構(gòu)。過約束機(jī)構(gòu)的計(jì)算自由度（計(jì)入虛約束）小于實(shí)際自由度。
對(duì)于連桿行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)來說，為了克服機(jī)構(gòu)“死點(diǎn)”，一般是采用多相并列雙曲柄平行四邊形機(jī)構(gòu)或多曲柄平行四邊形機(jī)構(gòu)作為輸入機(jī)構(gòu)的。因此，它是多次靜不定的過約束機(jī)構(gòu)。要完全確定機(jī)構(gòu)的約束動(dòng)反力，必須尋求與其靜不定次數(shù)相同數(shù)目的位移協(xié)調(diào)補(bǔ)棄方程。過約束機(jī)構(gòu)的靜不定次數(shù)與運(yùn)動(dòng)構(gòu)件數(shù)，運(yùn)動(dòng)副類型及其數(shù)量等有關(guān)。對(duì)于少齒差連桿行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，由于接觸承載輪齒對(duì)數(shù)因與載荷 大小，機(jī)構(gòu)的運(yùn)轉(zhuǎn)工況角的周期函數(shù)。因此，城要增加的機(jī)構(gòu)位移協(xié)調(diào)方程也是工況角的函數(shù)。
建立連桿行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的位移協(xié)調(diào)節(jié)器補(bǔ)充方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)機(jī)構(gòu)變形幾何條件，求出構(gòu)件、組合構(gòu)件、以及機(jī)構(gòu)等到的位移協(xié)調(diào)關(guān)系。由于機(jī)構(gòu)構(gòu)件之間不可避免的存在著運(yùn)動(dòng)副間隙或各種誤差，使具有剛性鏈的連桿行星齒輪過約束機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能受到很大的影響。因此，在建立機(jī)構(gòu)位移協(xié)調(diào)節(jié)器方程時(shí)，應(yīng)尺可能將這些因素考慮進(jìn)去。目前，幾乎還沒有人涉及過約束機(jī)構(gòu)領(lǐng)域，對(duì)具有誤差、間隙的機(jī)構(gòu)更是無公開文章發(fā)表。本章對(duì)過約束機(jī)構(gòu)的靜不定次數(shù)進(jìn)行研究，考虎機(jī)構(gòu)間隙（或誤差）的位稱協(xié)調(diào)關(guān)系，進(jìn)而對(duì)連桿行星齒輪機(jī)構(gòu)的位移協(xié)調(diào)原理進(jìn)行深入，系統(tǒng)的研究，提出該類傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的位移協(xié)調(diào)條件。
2.2 過約束機(jī)構(gòu)的靜不定次數(shù)
在考慮過約束機(jī)構(gòu)的補(bǔ)充方程時(shí)，應(yīng)首先確定機(jī)構(gòu)的靜不定次數(shù)。
對(duì)一個(gè)任意的空間機(jī)構(gòu)，如果有N個(gè)運(yùn)動(dòng)構(gòu)件，就能列出6N個(gè)動(dòng)力分析方程，即可以求解確定6N個(gè)未知量。示知量的數(shù)量可以由以下兩部分確定：其一是運(yùn)動(dòng)副中的約束反力未知分量和反力矩未知分量數(shù)；其二是作用在輸入構(gòu)件上的輸入力或輸入力偶矩。一個(gè)運(yùn)動(dòng)副如沿某軸線有相對(duì)移動(dòng)自由度，則沿該軸線的約束反力分量為0，如繞某軸線有相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，則沿該軸線的約束反力矩為0。因此，當(dāng)一運(yùn)動(dòng)副的級(jí)別為k時(shí)，其約束反力的分量數(shù)為pk·k，設(shè)每一輸入構(gòu)件作用一輸入力或力矩，則輸入構(gòu)件上的未知力數(shù)為W，因而未知量總為
M=W+Σ5k=1k·Pk （2-1）
當(dāng)機(jī)構(gòu)是具靜力確定性的靜定系統(tǒng)時(shí)，未知量總數(shù)應(yīng)與基本方程式數(shù)目相等，即
M=6N （2-2）
W=6N-Σ5k=1k·Pk （2-3）
式（2-3）就是機(jī)構(gòu)的自由度計(jì)算公式。
當(dāng)機(jī)構(gòu)為過約束機(jī)構(gòu)時(shí)，未知量總數(shù)大于基本方程式數(shù)目，即
W+Σ5k=1k·Pk＞6N （2-4）
將上式變?yōu)?/p>
6N-Σ5k=1k·Pk＜W （2-5）
式（2-5）的左邊為計(jì)入所有構(gòu)件及運(yùn)動(dòng)副的計(jì)算自由度，右邊W為實(shí)際自由度，設(shè)守約束機(jī)構(gòu)的靜不定次數(shù)為S，由式（2-4）或式（2-5）可得
S=W-(6N-Σ5k=1k·Pk) （2-6）
由此可知，當(dāng)S=0時(shí)為靜定機(jī)構(gòu)，當(dāng)S＞0時(shí)為靜不定機(jī)構(gòu)（過約束機(jī)構(gòu)）。
平面過約束機(jī)構(gòu)的靜不定次數(shù)可表示為
S=W-(3N-2P+E) （2-7）
式中P為低副數(shù)目，E為高副數(shù)目。
若一個(gè)多相多曲柄并列連桿行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)有m根高速軸、n片行星齒板，第j片行星齒板與輸出外齒輪參加接觸承載的齒對(duì)數(shù)為Z(j)，則由式（2-7）求得其靜不定次數(shù)為
S=1-{3(m+n+1)-2[m(n+1)+1]Σnj=1Z(j)} （2-8）
當(dāng)m=2時(shí)，得多相并列雙軸式的連桿行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的靜不定次數(shù)
S=n-2+Σnj=1Z(j) （2-9）
三環(huán)減速器的靜不定次數(shù)為
S=1+Σ3j=1Z(j) （2-10）
由式（2-8）時(shí)，多相并列多曲柄連桿行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的靜不定次數(shù)與行星齒板數(shù)n、高速數(shù)m以及各相齒板與輸出齒輪的接觸承載齒對(duì)數(shù)Z(j)有關(guān)。
2.3 機(jī)構(gòu)構(gòu)件的位移協(xié)調(diào)原理
研究連桿行星齒輪過約束機(jī)構(gòu)的位移協(xié)調(diào)原理，應(yīng)從構(gòu)件的位移關(guān)系入手。構(gòu)件上點(diǎn)的位移除變形位移外，組合構(gòu)件還包括由運(yùn)動(dòng)副間隙引起的剛體位移。構(gòu)件上點(diǎn)的位移關(guān)系就是構(gòu)件滿足的位移協(xié)調(diào)條件。
2.3.1 單個(gè)構(gòu)件的位移協(xié)調(diào)原理
設(shè)一構(gòu)件ab在外力作用下，產(chǎn)生微小位移（包含剛體位移和彈性變形位移），如圖2-1所示。
ab為L，與水平坐標(biāo)軸的夾角為θ0，構(gòu)件上α、B兩點(diǎn)在受力后移位到a′、b′。
式中u-b、v-b是構(gòu)件上b點(diǎn)的位移；
ua、va是構(gòu)件上基點(diǎn)a的位移；
uba、vba是構(gòu)件上兩點(diǎn)a、b相對(duì)變形位移；
θ是構(gòu)件b點(diǎn)繞基點(diǎn)a的微小角位移。
式（2-17）就是構(gòu)件上任意兩點(diǎn)的位移協(xié)調(diào)原理，其意義為構(gòu)件在外力作用下，產(chǎn)生微小剛體位移和彈性變形位移時(shí)，其上某點(diǎn)的位移是所選參考點(diǎn)的位移（平動(dòng)位移）、與該點(diǎn)繞參考點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移以及與考慮點(diǎn)之間的相對(duì)變形位移的合位移。
2.3.2組合構(gòu)件的位移協(xié)調(diào)原理
由于構(gòu)件與構(gòu)件之間存在運(yùn)動(dòng)副間隙，因此組合構(gòu)件上任意兩點(diǎn)之間的位移關(guān)系，可能包括有間隙位移在內(nèi)。
根據(jù)式（2-17）及式（2-24）可以對(duì)連桿行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的位移協(xié)調(diào)原理進(jìn)行研究。
2.4連桿行星齒輪機(jī)構(gòu)的位移協(xié)調(diào)原理
國科2-3所示為一多相并列連桿行星齒輪過約束機(jī)構(gòu)。為了得到與靜不定次數(shù)相對(duì)應(yīng)的S個(gè)補(bǔ)充方程，必考慮各構(gòu)件間、各相機(jī)構(gòu)間、以及多齒承載的位移協(xié)調(diào)要求，這是分析具有多余聯(lián)系體系受力的一般方法。為此，可先將機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化為受力、變形等效的結(jié)構(gòu)（幾何不變體系），然后用結(jié)構(gòu)力學(xué)的方法分析系統(tǒng)、構(gòu)件位移協(xié)調(diào)的條件。
在任意時(shí)刻t，用一假想剛性連架桿d（圖中虛線）與輸入高速軸的某相曲柄OA相連，則原機(jī)構(gòu)變成一個(gè)幾何不變體系（即承受載荷的，不會(huì)產(chǎn)生機(jī)械運(yùn)動(dòng)的結(jié)構(gòu)）。由此體系沿連架桿方向取∑Fd=0的條件可行Rd=0,即增加連架桿并不影響原機(jī)構(gòu)的受力和變形，只不過為研究各相機(jī)構(gòu)及各構(gòu)件的變形引起的位移提供了一個(gè)相對(duì)基準(zhǔn)。
2.4.1各構(gòu)件間的位移協(xié)調(diào)原理
設(shè)多相并列連桿行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)在外力作用下，由于運(yùn)動(dòng)副間隙及構(gòu)件的變形，各構(gòu)件相對(duì)其理論位置產(chǎn)生微小位移。取機(jī)構(gòu)的某相子機(jī)構(gòu)為分離體（2-24）用上節(jié)介紹的構(gòu)件位移關(guān)系來研究各構(gòu)件間的位移協(xié)調(diào)條件。
1.行星齒板上各高速軸孔中心位移
以p點(diǎn)參考點(diǎn)由式（2-17）得
2.偏心套中心位移
由式（2-22）可以將齒板的位移變換為偏心套中心的位移
3.各軸中心位移
各高速軸中心與偏心套中心之間的位移關(guān)系為
2.4.2各相機(jī)構(gòu)間的位移協(xié)調(diào)原理
研究各相機(jī)構(gòu)之間的位稱協(xié)調(diào)原理，就是找出各相機(jī)構(gòu)之間位移滿足的關(guān)系。取整個(gè)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，把它看作是具有廣義間隙的多相子機(jī)構(gòu)系統(tǒng)組成的閉環(huán)彈性機(jī)構(gòu)。若將各構(gòu)件用彈簧代替，則該閉環(huán)彈性機(jī)構(gòu)可表示為圖2-5所示的彈簧系統(tǒng)模型。圖中各軸是理想的剛性軸。為便于理解可用圖2-6所示的等效并聯(lián)平面彈簧系統(tǒng)來表示。
圖中
K(j)i是高速軸i及其軸上的偏心套、軸承等綜合剛度，i=1，2，…，m；
K(j)i-1是高速軸i-1及其軸上的偏心套、軸承等綜合剛度；
K(j)b是齒板的綜合剛度；
K(j)o是輸出軸及軸上齒輪等綜合剛度；
r(j)k是機(jī)構(gòu)中各間隙值，k=1，2，…。
機(jī)構(gòu)的變形主要有各軸的彎曲、扭轉(zhuǎn)變形、偏心套、軸承、行星齒板及輸出齒輪等的彈性變形。下面用分析彈簧系統(tǒng)變形的方法來尋找各相機(jī)構(gòu)之間的位移關(guān)系。
式中△β(j)z0是輸出軸第j相軸段的扭轉(zhuǎn)角位移。
△β(j)e0齒輪分度誤差。
將式（2-36）及式（2-37）代入式（2-35）就能得到（N-1）m個(gè)機(jī)構(gòu)的位移協(xié)調(diào)補(bǔ)充方程。
2.4.3多齒承載的位移協(xié)調(diào)原理
在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中的少齒差連桿行星齒輪傳動(dòng)裝置，不處于嚙合位置的齒對(duì)，在進(jìn)人嚙合之前及在脫離嚙合之后，其內(nèi)外齒廓間的間隙非常小。在傳遞載荷過程中，輪齒的變形量要大于一部分齒對(duì)的間隙，這些齒對(duì)就要接觸并同時(shí)分擔(dān)載荷，形成多齒接觸承載傳動(dòng)。在額定載荷下，實(shí)際接觸齒數(shù)有時(shí)候遠(yuǎn)大于理論重合度。
在某剛側(cè)t，如某相行星齒板與低速軸齒輪實(shí)際接觸承載的齒對(duì)數(shù)為Z(j)，而各對(duì)齒對(duì)在機(jī)構(gòu)受載前的法向理論間隙為J(j)K，則某對(duì)齒沿齒廓的法向總位移為：
δ(j)nk=δ(j)npk+J(j)K （2-38）
式中k=1，2，…，Z(j)；
δ(j)nk是機(jī)構(gòu)受載后某齒對(duì)從非接觸狀態(tài)到接觸承載，其接觸點(diǎn)的位移；
δ(j)npk是齒對(duì)接觸后產(chǎn)生的位移，等于兩接觸齒的變形位移之和：
δ(j)npk=δ(j)nbk+δ(j)nok （2-39）
其中δ(j)nbk是連桿行星齒板總變形引起其上接觸齒接觸點(diǎn)的位移；
δ(j)nok是輸出齒輪接觸齒接觸點(diǎn)的位移。
在多齒接觸區(qū)，每對(duì)接觸承載齒的法向總位移是相等的，即有
δ(j)npk+J(j)k=C(j)(常數(shù)) （2-40）
式中k=1，2，…，Z(j)；
C(j)為各相的常數(shù)。
式（2-40）就是少齒差連桿行星齒輪傳動(dòng)初喲多齒接觸承載的位移協(xié)調(diào)條件。用于多相并列少齒差連桿行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)時(shí)，由此消去C(j)后可列出Σni=1(Z(j)-1)個(gè)補(bǔ)充方程。
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