2 平行軸少齒差行星傳動原理及齒形優(yōu)化
2.1 引言
行星齒輪傳動最基本的形式是2K-H型，如圖2-1所示，其傳動比為：
由公式（2-1）可知，在徑向尺寸受到一定的限制時，要獲得較大的傳動比，必須減少中心輪Za的齒數(shù)。但Za受到最小根切齒數(shù)的限制，不能太小。因此，為了獨得較大的傳動比，人們把行星輪加大，甚至完全去掉中心輪，于是演變出行星齒輪傳動的另一種形式：K-H-V行星齒輪傳動，其結(jié)構(gòu)圖見2-2所示。它的基本構(gòu)件中心輪b、轉(zhuǎn)臂H和構(gòu)件V，當中心輪固定，轉(zhuǎn)臂為主動，構(gòu)件V從動時，傳動比為：
中心輪齒數(shù)與行星輪齒數(shù)之差越小，傳動比就越大，把這種傳動形式的行星傳動稱為少齒差行星齒輪傳動，常簡稱少齒差傳動。由于行星輪既作公轉(zhuǎn)又自轉(zhuǎn)，因此，要實現(xiàn)定軸輸出，還必須一個等角速比機構(gòu)的輸出機構(gòu)，稱之為“W機構(gòu)”。
圖2-1 2K-H型行星齒輪傳動
圖2-2 K-H-V行星齒輪傳動
這兩種結(jié)構(gòu)并沒有本質(zhì)的區(qū)別，只是選擇不同的機構(gòu)作輸出構(gòu)件和機架，由此可見，少齒差行星齒輪傳動機構(gòu)的實質(zhì)是由周轉(zhuǎn)輪系與輸出機構(gòu)或輸入機構(gòu)組合而成的齒輪連桿機構(gòu)，由于行星輪作平面運動，所以一般使由平面四連桿機構(gòu)構(gòu)成輸出或輸入機構(gòu)。把輸出軸作為機架，行星輪作為連桿形成一四桿機構(gòu)實現(xiàn)運動輸出，則所求的四桿機構(gòu)必須滿足以下要求：
1）由于輸出的軸作圓周運動，故四桿機構(gòu)存在曲柄；
2）連桿即行星輪，在機構(gòu)導引下作圓周平動。
2.2 平行軸擺線針輪行星傳動原理與機構(gòu)形式
2.2.1 平行軸擺線針輪減速器的結(jié)構(gòu)
圖2.3 平行軸擺線針輪減速器的結(jié)構(gòu)圖
1—箱體，2、4、11、14、22—軸承，3、15—高速軸，5、18—環(huán)板，6、10、13、17、21、25—端蓋，7—針齒，8—滾動套，9—低速軸，7、10、20—擺線輪，16—螺針，19、24—小齒輪，23—過橋齒輪。
圖2.3是本實用新型的實施結(jié)構(gòu)圖之一。下面結(jié)合附圖予以說明：箱體由箱蓋和箱座構(gòu)成，兩根高速軸3、15和一根低速軸9的兩端由軸承4、14和11支撐在箱座的軸承孔內(nèi)，軸承外側(cè)裝有端蓋和密封圈；同一根高速軸上有兩個相位差成180°的偏心軸頸，偏心軸頸相當于曲柄機構(gòu)，其中環(huán)板起連桿的作用；環(huán)板內(nèi)孔的圓周上均布著針齒銷7，針齒銷外有滾動套8；當兩塊環(huán)板5、18上針齒銷與固聯(lián)在低速軸上且相應相位差成180°的兩個擺線齒輪12、20嚙合時，體內(nèi)的兩根高速軸固聯(lián)相同的小齒輪119、24，在低速軸上空套一個過橋的大齒輪23，兩對外嚙合驅(qū)動雙曲柄順利通過死點。
2.2.2 傳動的原理
平行軸擺線針輪的基本原理是K-H少齒差行星齒輪傳動原理，見圖2.4，它應用2.1中結(jié)構(gòu)形式，將平行雙曲柄四桿機構(gòu)的曲柄，α是連桿內(nèi)齒輪，b是定軸輸出外齒輪。其傳動比為：
2.2.3 傳動裝置的結(jié)構(gòu)形式
在這個產(chǎn)行四邊形機構(gòu)運動過程中，當兩曲柄與連桿共線時，在原曲柄轉(zhuǎn)向不變的條件下，從動曲柄會出現(xiàn)轉(zhuǎn)動方向不確定的現(xiàn)象，曲柄這時所處的位置稱為死點位置。
本研究在一個傳動裝置中采用兩個成一定相位差的平行雙曲柄四桿機構(gòu)，它們的連桿內(nèi)齒輪與兩個擺線輪相嚙合的情況。為了實現(xiàn)靜力平衡，兩個平行雙曲柄四桿機構(gòu)的相位差設計為π，結(jié)構(gòu)型式見圖2.5。
圖2.5 相位差π的平行雙曲柄四桿機構(gòu)
采用圖2.5的結(jié)構(gòu)盡管實現(xiàn)了靜平衡，但仍存在轉(zhuǎn)針方向不確定的問題。本文為解決此問題，提出了三種解決方案。
（1）加連桿
見圖2.6。當二塊環(huán)板處于死點位置時，連桿不在死點位置，即連桿與曲柄有一定的相位角，連桿帶動板越過死點位置。
（2）加惰輪機構(gòu)
見圖2.7。輪1和輪3通過鍵與軸相連，齒輪2空套在軸上。Z1=Z3＜Z2，因此ω1=ω3，齒輪不致產(chǎn)生干涉。
圖2.6 加連桿
圖2.7 加惰輪
（3）加皮帶輪
見圖2.8。
圖2.8 加皮帶輪
2.3 擺線針輪傳動的嚙合原理及齒形方程
2.3.1 擺線輪的標準齒形方程
建立如圖2.9的標架系：
xoy—絕對坐標系。
xclcyc—固定在擺線輪上的坐標系。
xpopyp—固定針輪上的坐標系。
圖2.9 標架關系
圖2.10 嚙合關系
建立圖2.10的嚙合關系，當針輪轉(zhuǎn)過φ角，擺線輪轉(zhuǎn)過φ1角，此時嚙合點是M點。根據(jù)嚙合原理[24]，可推導出齒面方程。
令OMP=l，M坐標為M（x，y），
在△ОMPОP中，根據(jù)正弦定理有：
根據(jù)余弦定理有：
根據(jù)坐標間的關系有：
其中:
即有：
把（2-3）、（2-4）、（2-5）代入式（2-7）中得：
α——偏心距，α=r′P- r′c
φ——轉(zhuǎn)臂相對某一針齒中心矢徑的轉(zhuǎn)角
rrp——針齒套外圓半徑（mm）
2.3.2 擺線輪的通用齒形方程式
實際應用擺線針輪傳動時，為補償制造誤差，便于裝拆和保證潤滑，擺線輪齒與針齒之是必須有嚙合側(cè)隙。因此，實際的擺線輪不能采用標準齒形，都必須修形。
根據(jù)擺線針輪傳動的嚙合與展成法切削加工原理，擺線輪的齒形以下三種基本修形方法，即移距修形法、等距修形法及轉(zhuǎn)角修形法。
由（2-8）可知，擺線輪的實際齒形決定于rp，α，rrp，Zp，△rp，△rrp，δ這七個獨立參數(shù)。
2.4 兩齒差擺線輪的齒頂修形
傳動比i≤17，特別i≤11的擺線針輪傳動采用傳統(tǒng)的“一齒差”齒形時，理論上同時嚙合齒數(shù)本來就不多，為了形成必要的嚙合間隙以補償制造安裝誤差和滿足潤滑要求，擺線輪經(jīng)過等距或移距修形后，則同時嚙合傳力的齒數(shù)就會更少，從而使承載能力降低，并容易產(chǎn)生膠合。為了克服“一齒差”在小傳動比時的弱點，本研究采用兩齒差擺線針輪傳動，如圖2.11所示。由于齒頂尖點使齒廓頂部強度不足，還會在傳動中引起噪聲，因此需要對齒頂修形[23，27]。
圖2.11 兩齒差擺線針輪
2.4.1 未修頂前齒頂圓的計算
在上圖中，兩條短幅外擺線等距曲線的交點構(gòu)成了二齒差擺線輪的齒頂。
設點A坐標為（xa，ya），則：
由通用擺線輪齒形方程式可得出A點的坐標。
已知rp，rrp，a，Zp=Zp′/2，△rp，△rrp，δ，由式（2-9）算得λ值，再求出φA，xA，yA。那么未修形前齒頂圓的半徑rac即可由下式求得：
2.4.2 修頂曲線參數(shù)的選擇
為了便于在展成法擺線磨齒機上完成修形，本文采用一條短幅外擺線的等距曲線來修形齒頂。
1）目標函數(shù)
為使修頂曲線與工作齒廓相連處較光滑地過度，把優(yōu)選修頂曲線與工作齒廓曲線交點處兩切矢的夾角的極小值作為目標函數(shù)。
2）結(jié)束條件
（1）修頂曲線不得產(chǎn)生頂切，其約束條件為：
g1（x）=rrp2-|ρ0|min＜0
式中，|ρ0|min為修頂短幅外擺線等距曲線理論齒廓的最小曲率半徑。
（2）修頂曲線的起始點K應保證有足夠的同時嚙合傳力的齒數(shù)，通常設計時有4～5個齒輪同時嚙合，設對應于嚙合點最遠的針齒相對于轉(zhuǎn)臂的轉(zhuǎn)角（嚙合相位角）為φG，而擺線輪工作齒廓與修頂曲線交點K處的嚙合角為φK，可寫為如下的結(jié)束條件：
g2（x）=φG-φK＜0
（3）在修頂起始起點K以前，兩齒差傳動擺線輪的工作齒廓MK不得與修頂曲線相交，以保證工作齒廓MK的正確齒形，此點可寫成約束條件：
g3（x）=x(y)-x2(y)＜0
式中x(y)，x2(y)：分別為對應相同y坐標的工作齒廓的X坐標和修頂曲線的X坐標。
此外，為在展成法磨齒機上一次修完所有齒頂，修頂短幅外擺線的等距曲線參數(shù)擺線齒數(shù)ZC2通常選為兩齒差擺線輪實際齒數(shù)ZC′的2倍或3倍。修頂曲線的偏心距a2應符合擺線磨齒機的偏心距系列，通常為0.75，1.0，1.25，1.5等。為使磨齒砂輪有合理壽命，修頂曲線參數(shù)中的針齒半徑rrp2不應過小，3～5mm＜rrp2＜rrp/2。
根據(jù)上述的目標函數(shù)和約束條件，用牛頓迭代法進行優(yōu)化，其程序框圖見2.12。
舉例：
已知參數(shù)如下：
| rp（mm） |
a（mm） |
rrp（mm） |
Zp |
ZP' |
△rp（mm） |
△rrp（mm） |
δ |
| 109 |
4 |
8.5 |
18 |
36 |
0.60544 |
-0.4554 |
0 |
優(yōu)化后的修頂曲線的參數(shù)為：
| rp2（mm） |
a2（mm） |
rrp2（mm） |
Zp2 |
rac2（mm） |
| 103.13 |
0.75 |
3 |
102 |
105.88 |
圖2.12 二齒差擺線輪齒形修形的優(yōu)化框圖
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