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第二章 彈性共軛曲面原理的研究

2.1 導(dǎo)言

彈性共軛曲面原理的研究是為了適應(yīng)現(xiàn)代機(jī)械工業(yè)發(fā)展的需要，解決成對(duì)彈性體曲面的幾何圖形及其運(yùn)動(dòng)間的關(guān)系的問(wèn)題。在機(jī)械制造和機(jī)械設(shè)計(jì)中，都存在共軛曲面問(wèn)題，它們對(duì)加工質(zhì)量和傳動(dòng)性能都有非常大的影響。在有彈性變形時(shí)，共軛曲面的幾何圖形及其運(yùn)動(dòng)間的關(guān)系將與由剛性條件下得出的結(jié)果不同，從而不能滿足原來(lái)所設(shè)想的要求。尤其在剛性較差的零件加工和大柔性的傳動(dòng)中，彈性變形對(duì)共軛關(guān)系的影響就更為重要。如在齒輪傳動(dòng)方面，以往的輪齒修形的研究主要是針對(duì)多齒嚙合的嚙合齒對(duì)數(shù)變化的過(guò)渡狀態(tài)的。而在非多齒嚙合過(guò)渡狀態(tài)，由于變形的作用，共軛條件也會(huì)遭到破壞，尤其在大齒面和大柔性的傳動(dòng)中，彈性變形的影響是不能忽略的。因此，這些修形的研究由于缺乏具有普遍意義的理論的指導(dǎo)，都存在一定的片面性。隨著機(jī)械加工向高精度、高效率的發(fā)展和機(jī)械傳動(dòng)向大載荷、高性能的發(fā)展，迫切需要新的彈性共軛曲面理論作為指導(dǎo)，解決機(jī)械設(shè)計(jì)和機(jī)械制造中出現(xiàn)的彈性共軛曲面問(wèn)題。

本文提出了彈性共軛曲面的基本理論，建立彈性共軛曲面運(yùn)動(dòng)基本方程，研究彈性共軛曲面的一般求解方法，為進(jìn)一步深入全面地研究彈性共軛曲面問(wèn)題奠定理論基礎(chǔ)。

2.2 彈性共軛曲面研究的前提假設(shè)

彈性共軛曲面原理的研究是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，為了突出主要問(wèn)題，因而忽略一些因素的影響，首先作出一些前提假設(shè)，而且本文只研究線接觸彈性共軛曲面問(wèn)題。

1.所研究的變形是在彈性變形范圍，受力變形在作用力消除后完全恢復(fù)，即變形曲面的完全彈性體概念；

2.忽略接觸曲面間的相互摩擦作用，即忽略曲面上的切向力的作用；

3.不考慮熱變形；

4.彈性變形相對(duì)于曲面的相對(duì)運(yùn)動(dòng)無(wú)滯后。

2.3 彈性共軛曲面定義

彈性共軛曲面的定義是：兩彈性體在外力作用下產(chǎn)生彈性變形后，彼此既保持連續(xù)相切接觸，又不互相干涉，并且按給定運(yùn)動(dòng)規(guī)律運(yùn)動(dòng)的一對(duì)彈性變形恢復(fù)后的曲面。

一對(duì)彈性體曲面在外力作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與在彈性變形恢復(fù)狀態(tài)下幾何圖形間關(guān)系的研究就是彈性共軛曲面研究的內(nèi)容。彈性共軛曲面是在受力變形下仍保持共軛運(yùn)動(dòng)規(guī)律的，它們?cè)谙嗷ソ佑|的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中幾何形狀是不斷變化的，是動(dòng)態(tài)的過(guò)程，我們最終需要求解的彈性共軛曲面不是這一系列的動(dòng)態(tài)的幾何圖形，而是利用這些動(dòng)態(tài)的幾何圖形和它們的相對(duì)運(yùn)動(dòng)要求來(lái)求解在不受力變形狀態(tài)下的曲面幾何圖形及其運(yùn)動(dòng)關(guān)系。

根據(jù)上述彈性共軛曲面概念可知，一對(duì)彈性共軛曲面在外力作用下相互接觸產(chǎn)生彈性變形，接觸參考點(diǎn)處的兩曲面的速度矢量沿該點(diǎn)的公法線的投影應(yīng)相等，有

v⁽¹⁾·n=v⁽²⁾·n

即

v⁽¹²⁾·n=0

這就是彈性共軛曲面在相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)所應(yīng)滿足的要求。

2.4 彈性共軛曲面的運(yùn)動(dòng)分析

2.4.1 坐標(biāo)系（如圖2-1所示）

坐標(biāo)系S₁（o₁,x₁,y₁,z₁）：與曲面Σ₁固連的動(dòng)坐標(biāo)系；

坐標(biāo)系S₂（o₂,x₂,y₂,z₂）：與曲面Σ₂固連的動(dòng)坐標(biāo)系；

坐標(biāo)系S（o,x,y,z）：靜坐標(biāo)系；

設(shè)K點(diǎn)為兩曲面受力變形后的接觸參考點(diǎn)，a₁、a₂為靜坐標(biāo)系S原點(diǎn)到兩動(dòng)坐標(biāo)系S₁和S₂原點(diǎn)的徑矢；r⁽¹⁾、r⁽²⁾為Σ₁、Σ₂上K點(diǎn)在S₁、S₂坐標(biāo)系的徑矢；r為K點(diǎn)在S坐標(biāo)系的徑矢。

2.4.2 彈性體接觸參考點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分析

由圖2-1知

r=r⁽¹⁾+a₁

所以有

表示動(dòng)坐標(biāo)系S₁的原點(diǎn)o₁相對(duì)于靜坐標(biāo)系S的運(yùn)動(dòng)速度矢量。

由于 r⁽¹⁾=x₁i₁+y₁j₁+z₁k₁

所以

若為剛性曲面，則，由于現(xiàn)在所研究的曲面為彈性曲面，接觸參考點(diǎn)在S₁坐標(biāo)系的徑矢將隨彈性變形而發(fā)生變化，因此，不恒等于零，令

顯然它是Σ₁上接觸參考點(diǎn)在S₁坐標(biāo)系的徑矢對(duì)時(shí)間的變化率，即接觸參考點(diǎn)相對(duì)于S₁坐標(biāo)系的速度矢量。

為S₁坐標(biāo)分量的單位矢量對(duì)時(shí)間的微分^[2]。

由i₁⊥j₁⊥k₁

i₁·j₁=j₁·k₁=k₁·i₁=0有

以i₁、j₁、k₁分別點(diǎn)乘以上三式的兩邊，有

同理可得

所以有

令 ω⁽¹⁾=ω₁⁽¹⁾i₁+ω₂⁽¹⁾j₁+ω₃⁽¹⁾k₁

而 r⁽¹⁾=x₁i₁+y₁j₁+z₁k₁

則有

所以

式中ω⁽¹⁾為S₁坐標(biāo)系的角速度矢量。

2.4.3 彈性體相對(duì)運(yùn)動(dòng)分析

由前推導(dǎo)知，Σ₁上K點(diǎn)的相對(duì)于S坐標(biāo)的速度

式中

r⁽²⁾=x₂i₂+y₂j₂+z₂k₂

ω⁽²⁾=ω₁⁽²⁾i₂+ω₂⁽²⁾j₂+ω₃⁽²⁾k₂

ω⁽²⁾為S₂坐標(biāo)系的角速度。

包含坐標(biāo)系S₁、S₂原點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度和由變形使原點(diǎn)位置產(chǎn)生變化的速度。

所以，Σ₁、Σ₂在K點(diǎn)的相對(duì)速度

a₁₂為坐標(biāo)系S₁原點(diǎn)至坐標(biāo)系S₂原點(diǎn)的矢量，為坐標(biāo)系S₁、S₂原點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度矢量，它可包含兩共軛曲面支承件的彈性變形速度，分別為曲面Σ₁、Σ₂上接觸參考點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)系S₁、S₂的彈性變形速度矢量。

2.5 彈性共軛曲面運(yùn)動(dòng)基本方程

根據(jù)彈性共軛曲面在相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)所應(yīng)滿足的條件

n·v⁽¹²⁾=0

即有

（2-5-1）式就是彈性共軛曲面運(yùn)動(dòng)基本方程。

若為剛性曲面，上式中，則可由（2-5-1）式得出傳統(tǒng)的剛性共軛曲面運(yùn)動(dòng)基本方程。由此可知，剛性共軛曲面只是彈性共軛曲面的特殊情況。

（2-5-1）式中有三個(gè)運(yùn)動(dòng)矢量ω⁽¹⁾、ω⁽²⁾、，不同的共軛運(yùn)動(dòng)形式，其三個(gè)運(yùn)動(dòng)矢量方向都是確定的。在機(jī)械加工中，根據(jù)不同情況有不同的運(yùn)動(dòng)自由度，均可用以上三個(gè)運(yùn)動(dòng)矢量確定；在嚙合傳動(dòng)中，最一般情況為相錯(cuò)軸傳動(dòng)，在定軸傳動(dòng)中，如果不考慮軸系的變形，則=0，（2-5-1）式成為

2.6 變形對(duì)接觸參考點(diǎn)法線方向的改變

由于變形的作用，接觸參考點(diǎn)的法線方向?qū)�發(fā)生一定的變化，以下分析在xoy平面內(nèi)接觸參考點(diǎn)法線方向的改變量。

如圖2所示，變形前，曲面在位置1；變形后，曲面在位置2。變形前后接觸參考點(diǎn)為k、k′。變形前的接觸參考點(diǎn)徑矢及法線向量為r、n；變形后的接觸參考點(diǎn)徑矢及法線向量為r′、n′。設(shè)變形為δ，其切向分量和法向分量分別為。變形前后的法線向量夾角為γ。r″為只產(chǎn)生法向變形后的接觸參考點(diǎn)徑矢。在小變形條件下，可認(rèn)為只產(chǎn)生切向變形后的接觸參考點(diǎn)徑矢與法線向量的夾角不變，即r″與n的夾角等于r′與n′的夾角。由幾何關(guān)系有

式中 ∠k′A0=3π/2-∠kA0

設(shè)r、n之間的夾角為ε，則有

通常情況下，變形量相對(duì)于曲面參考點(diǎn)徑矢的大小為微小量，其切向分量更小，主要由撓曲變形引起。由（2-6-1）式知，γ值非常小。一般情況下，可忽略這一法線方向的改變，認(rèn)為變形后的接觸參考點(diǎn)法線方向不變，以便于求解。

2.7 彈性共軛曲面的求解

2.7.1 求解思路

彈性共軛運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是兩動(dòng)態(tài)變形曲面互為包絡(luò)的過(guò)程，對(duì)變形過(guò)程中的曲面的描述是非常困難的，而我們所關(guān)心的是變形恢復(fù)狀態(tài)的曲面如何保證在一定的載荷作用下滿足變形條件的共軛運(yùn)動(dòng)規(guī)律，因此，可不去描述這個(gè)動(dòng)態(tài)變曲面的全過(guò)程。

由（2-5-1）式知，它是r⁽¹⁾、r⁽²⁾需滿足的微分方程。Σ₁、Σ₂在接觸的最初階段，接觸參考點(diǎn)在接觸力作用下，隨著Σ₁、Σ₂的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，變形逐漸增大，在此階段，不為零。當(dāng)接觸參考點(diǎn)變形達(dá)到最大時(shí)，該瞬間變形結(jié)束，回彈尚未開(kāi)始，顯然，此瞬時(shí)，這時(shí)的接觸參考點(diǎn)為決定兩曲面運(yùn)動(dòng)關(guān)系的點(diǎn)，受力達(dá)到平衡，我們稱這樣的接觸參考點(diǎn)為變形最大點(diǎn)。將這樣的點(diǎn)之徑矢記為r_d⁽¹⁾、r_d⁽²⁾，（2-5-1）式就成為

即變形最大點(diǎn)滿足條件（2-7-1）式。

與變形最大點(diǎn)相鄰的點(diǎn)，變形已經(jīng)發(fā)生，但未達(dá)到最大，即使由于變形的關(guān)系已接觸，但這樣的點(diǎn)并不對(duì)兩曲面的運(yùn)動(dòng)起決定作用。當(dāng)運(yùn)動(dòng)繼續(xù)，相鄰點(diǎn)成為變形最大點(diǎn)，原來(lái)的變形最大點(diǎn)則處于變形回彈狀態(tài)。整個(gè)連續(xù)的曲面之運(yùn)動(dòng)就是由無(wú)窮多個(gè)這樣的變形最大點(diǎn)所決定的，我們稱這無(wú)窮多個(gè)變形最大點(diǎn)的動(dòng)坐標(biāo)集合為變形基本共軛曲面，簡(jiǎn)稱為變形基本曲面。

變形基本曲面為共軛運(yùn)動(dòng)過(guò)程中逐漸形成的，是由變形最大點(diǎn)所構(gòu)成的假想曲面，它是求解彈性共軛曲面的過(guò)渡曲面。變形基本曲面在彈性變形恢復(fù)狀態(tài)所形成的曲面即為彈性共軛曲面。變形基本曲面及其運(yùn)動(dòng)關(guān)系確定后，則可根據(jù)不同的求解要求，求解彈性共軛曲面或求解運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

由以上分析可以看出，彈性共軛曲面的求解，一個(gè)重要的問(wèn)題是接觸參考點(diǎn)最大變形的求解。

2.7.2 變形的求解

彈性體的變形可認(rèn)為是撓曲變形與接觸變形的迭加，設(shè)所求解的彈性共軛曲面邊界及作用在曲面上的作用力為已知，則變形即可求出。隨著數(shù)學(xué)力學(xué)的發(fā)展，變形的求解也日益精確^{[26][27][33][35][43][46～50][54～62]}。有限元、邊界元方法成為求解變形的有力工具。本文不詳細(xì)討論變形的求解方法。

如圖2-3所示，變形的恢復(fù)可看成在受力變形狀態(tài)下加上一個(gè)與原作用力大小相等、方向相反的作用力。由于變形的微小性，可認(rèn)為F_n與F_n′的變形效應(yīng)相同，即F_n′作用下r_d⁽ⁱ⁾的變形恢復(fù)量等于F_n作用下產(chǎn)生的變形量，也就是說(shuō)變形恢復(fù)量可由在變形基本曲面上作用相同的力的變形量的計(jì)算來(lái)確定。

2.7.3 彈性共軛曲面的求解方法

當(dāng)已知變形基本曲面和在特定載荷下的變形，則可求解彈性共軛曲面。

r⁽ⁱ⁾=r_d⁽ⁱ⁾+δ⁽ⁱ⁾·n₀⁽ⁱ⁾    (i=1,2)                              (2-7-2)

式中

r⁽ⁱ⁾——參考點(diǎn)彈性共軛曲面徑矢

r_d⁽ⁱ⁾——參考點(diǎn)變形基本曲面徑矢

δ⁽ⁱ⁾——參考點(diǎn)最大法向變形量

n₀⁽ⁱ⁾——參考點(diǎn)單位法向矢量

彈性共軛曲面Σ_i即為所有離散點(diǎn)r⁽ⁱ⁾的集合。

Σ_i={r⁽ⁱ⁾|r⁽ⁱ⁾=r_d⁽ⁱ⁾+δ⁽ⁱ⁾·n₀⁽ⁱ⁾}    (i=1,2)

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