第二章 彈性共軛曲面原理的研究
2.1 導(dǎo)言
彈性共軛曲面原理的研究是為了適應(yīng)現(xiàn)代機械工業(yè)發(fā)展的需要,解決成對彈性體曲面的幾何圖形及其運動間的關(guān)系的問題。在機械制造和機械設(shè)計中,都存在共軛曲面問題,它們對加工質(zhì)量和傳動性能都有非常大的影響。在有彈性變形時,共軛曲面的幾何圖形及其運動間的關(guān)系將與由剛性條件下得出的結(jié)果不同,從而不能滿足原來所設(shè)想的要求。尤其在剛性較差的零件加工和大柔性的傳動中,彈性變形對共軛關(guān)系的影響就更為重要。如在齒輪傳動方面,以往的輪齒修形的研究主要是針對多齒嚙合的嚙合齒對數(shù)變化的過渡狀態(tài)的。而在非多齒嚙合過渡狀態(tài),由于變形的作用,共軛條件也會遭到破壞,尤其在大齒面和大柔性的傳動中,彈性變形的影響是不能忽略的。因此,這些修形的研究由于缺乏具有普遍意義的理論的指導(dǎo),都存在一定的片面性。隨著機械加工向高精度、高效率的發(fā)展和機械傳動向大載荷、高性能的發(fā)展,迫切需要新的彈性共軛曲面理論作為指導(dǎo),解決機械設(shè)計和機械制造中出現(xiàn)的彈性共軛曲面問題。
本文提出了彈性共軛曲面的基本理論,建立彈性共軛曲面運動基本方程,研究彈性共軛曲面的一般求解方法,為進一步深入全面地研究彈性共軛曲面問題奠定理論基礎(chǔ)。
2.2 彈性共軛曲面研究的前提假設(shè)
彈性共軛曲面原理的研究是一個復(fù)雜的問題,為了突出主要問題,因而忽略一些因素的影響,首先作出一些前提假設(shè),而且本文只研究線接觸彈性共軛曲面問題。
1.所研究的變形是在彈性變形范圍,受力變形在作用力消除后完全恢復(fù),即變形曲面的完全彈性體概念;
2.忽略接觸曲面間的相互摩擦作用,即忽略曲面上的切向力的作用;
3.不考慮熱變形;
4.彈性變形相對于曲面的相對運動無滯后。
2.3 彈性共軛曲面定義
彈性共軛曲面的定義是:兩彈性體在外力作用下產(chǎn)生彈性變形后,彼此既保持連續(xù)相切接觸,又不互相干涉,并且按給定運動規(guī)律運動的一對彈性變形恢復(fù)后的曲面。
一對彈性體曲面在外力作用下的運動規(guī)律與在彈性變形恢復(fù)狀態(tài)下幾何圖形間關(guān)系的研究就是彈性共軛曲面研究的內(nèi)容。彈性共軛曲面是在受力變形下仍保持共軛運動規(guī)律的,它們在相互接觸的運動過程中幾何形狀是不斷變化的,是動態(tài)的過程,我們最終需要求解的彈性共軛曲面不是這一系列的動態(tài)的幾何圖形,而是利用這些動態(tài)的幾何圖形和它們的相對運動要求來求解在不受力變形狀態(tài)下的曲面幾何圖形及其運動關(guān)系。
根據(jù)上述彈性共軛曲面概念可知,一對彈性共軛曲面在外力作用下相互接觸產(chǎn)生彈性變形,接觸參考點處的兩曲面的速度矢量沿該點的公法線的投影應(yīng)相等,有
v(1)·n=v(2)·n
即
v(12)·n=0
這就是彈性共軛曲面在相對運動時所應(yīng)滿足的要求。
2.4 彈性共軛曲面的運動分析
2.4.1 坐標系(如圖2-1所示)
坐標系S1(o1,x1,y1,z1):與曲面Σ1固連的動坐標系;
坐標系S2(o2,x2,y2,z2):與曲面Σ2固連的動坐標系;
坐標系S(o,x,y,z):靜坐標系;
設(shè)K點為兩曲面受力變形后的接觸參考點,a1、a2為靜坐標系S原點到兩動坐標系S1和S2原點的徑矢;r(1)、r(2)為Σ1、Σ2上K點在S1、S2坐標系的徑矢;r為K點在S坐標系的徑矢。
2.4.2 彈性體接觸參考點的運動分析
由圖2-1知
r=r(1)+a1
所以有
表示動坐標系S1的原點o1相對于靜坐標系S的運動速度矢量。
由于 r(1)=x1i1+y1j1+z1k1
所以
若為剛性曲面,則,由于現(xiàn)在所研究的曲面為彈性曲面,接觸參考點在S1坐標系的徑矢將隨彈性變形而發(fā)生變化,因此,不恒等于零,令
顯然它是Σ1上接觸參考點在S1坐標系的徑矢對時間的變化率,即接觸參考點相對于S1坐標系的速度矢量。
為S1坐標分量的單位矢量對時間的微分[2]。
由i1⊥j1⊥k1
i1·j1=j1·k1=k1·i1=0有
以i1、j1、k1分別點乘以上三式的兩邊,有
同理可得
所以有
令 ω(1)=ω1(1)i1+ω2(1)j1+ω3(1)k1
而 r(1)=x1i1+y1j1+z1k1
則有
所以
式中ω(1)為S1坐標系的角速度矢量。
2.4.3 彈性體相對運動分析
由前推導(dǎo)知,Σ1上K點的相對于S坐標的速度
式中
r(2)=x2i2+y2j2+z2k2
ω(2)=ω1(2)i2+ω2(2)j2+ω3(2)k2
ω(2)為S2坐標系的角速度。
包含坐標系S1、S2原點的運動速度和由變形使原點位置產(chǎn)生變化的速度。
所以,Σ1、Σ2在K點的相對速度
a12為坐標系S1原點至坐標系S2原點的矢量,為坐標系S1、S2原點的相對運動速度矢量,它可包含兩共軛曲面支承件的彈性變形速度,分別為曲面Σ1、Σ2上接觸參考點相對于坐標系S1、S2的彈性變形速度矢量。
2.5 彈性共軛曲面運動基本方程
根據(jù)彈性共軛曲面在相對運動時所應(yīng)滿足的條件
n·v(12)=0
即有
(2-5-1)式就是彈性共軛曲面運動基本方程。
若為剛性曲面,上式中,則可由(2-5-1)式得出傳統(tǒng)的剛性共軛曲面運動基本方程。由此可知,剛性共軛曲面只是彈性共軛曲面的特殊情況。
(2-5-1)式中有三個運動矢量ω(1)、ω(2)、,不同的共軛運動形式,其三個運動矢量方向都是確定的。在機械加工中,根據(jù)不同情況有不同的運動自由度,均可用以上三個運動矢量確定;在嚙合傳動中,最一般情況為相錯軸傳動,在定軸傳動中,如果不考慮軸系的變形,則=0,(2-5-1)式成為
2.6 變形對接觸參考點法線方向的改變
由于變形的作用,接觸參考點的法線方向?qū)l(fā)生一定的變化,以下分析在xoy平面內(nèi)接觸參考點法線方向的改變量。
如圖2所示,變形前,曲面在位置1;變形后,曲面在位置2。變形前后接觸參考點為k、k′。變形前的接觸參考點徑矢及法線向量為r、n;變形后的接觸參考點徑矢及法線向量為r′、n′。設(shè)變形為δ,其切向分量和法向分量分別為。變形前后的法線向量夾角為γ。r″為只產(chǎn)生法向變形后的接觸參考點徑矢。在小變形條件下,可認為只產(chǎn)生切向變形后的接觸參考點徑矢與法線向量的夾角不變,即r″與n的夾角等于r′與n′的夾角。由幾何關(guān)系有
式中 ∠k′A0=3π/2-∠kA0
設(shè)r、n之間的夾角為ε,則有
通常情況下,變形量相對于曲面參考點徑矢的大小為微小量,其切向分量更小,主要由撓曲變形引起。由(2-6-1)式知,γ值非常小。一般情況下,可忽略這一法線方向的改變,認為變形后的接觸參考點法線方向不變,以便于求解。
2.7 彈性共軛曲面的求解
2.7.1 求解思路
彈性共軛運動的過程,實質(zhì)上是兩動態(tài)變形曲面互為包絡(luò)的過程,對變形過程中的曲面的描述是非常困難的,而我們所關(guān)心的是變形恢復(fù)狀態(tài)的曲面如何保證在一定的載荷作用下滿足變形條件的共軛運動規(guī)律,因此,可不去描述這個動態(tài)變曲面的全過程。
由(2-5-1)式知,它是r(1)、r(2)需滿足的微分方程。Σ1、Σ2在接觸的最初階段,接觸參考點在接觸力作用下,隨著Σ1、Σ2的相對運動,變形逐漸增大,在此階段,不為零。當接觸參考點變形達到最大時,該瞬間變形結(jié)束,回彈尚未開始,顯然,此瞬時,這時的接觸參考點為決定兩曲面運動關(guān)系的點,受力達到平衡,我們稱這樣的接觸參考點為變形最大點。將這樣的點之徑矢記為rd(1)、rd(2),(2-5-1)式就成為
即變形最大點滿足條件(2-7-1)式。
與變形最大點相鄰的點,變形已經(jīng)發(fā)生,但未達到最大,即使由于變形的關(guān)系已接觸,但這樣的點并不對兩曲面的運動起決定作用。當運動繼續(xù),相鄰點成為變形最大點,原來的變形最大點則處于變形回彈狀態(tài)。整個連續(xù)的曲面之運動就是由無窮多個這樣的變形最大點所決定的,我們稱這無窮多個變形最大點的動坐標集合為變形基本共軛曲面,簡稱為變形基本曲面。
變形基本曲面為共軛運動過程中逐漸形成的,是由變形最大點所構(gòu)成的假想曲面,它是求解彈性共軛曲面的過渡曲面。變形基本曲面在彈性變形恢復(fù)狀態(tài)所形成的曲面即為彈性共軛曲面。變形基本曲面及其運動關(guān)系確定后,則可根據(jù)不同的求解要求,求解彈性共軛曲面或求解運動規(guī)律。
由以上分析可以看出,彈性共軛曲面的求解,一個重要的問題是接觸參考點最大變形的求解。
2.7.2 變形的求解
彈性體的變形可認為是撓曲變形與接觸變形的迭加,設(shè)所求解的彈性共軛曲面邊界及作用在曲面上的作用力為已知,則變形即可求出。隨著數(shù)學力學的發(fā)展,變形的求解也日益精確[26][27][33][35][43][46~50][54~62]。有限元、邊界元方法成為求解變形的有力工具。本文不詳細討論變形的求解方法。
如圖2-3所示,變形的恢復(fù)可看成在受力變形狀態(tài)下加上一個與原作用力大小相等、方向相反的作用力。由于變形的微小性,可認為Fn與Fn′的變形效應(yīng)相同,即Fn′作用下rd(i)的變形恢復(fù)量等于Fn作用下產(chǎn)生的變形量,也就是說變形恢復(fù)量可由在變形基本曲面上作用相同的力的變形量的計算來確定。
2.7.3 彈性共軛曲面的求解方法
當已知變形基本曲面和在特定載荷下的變形,則可求解彈性共軛曲面。
r(i)=rd(i)+δ(i)·n0(i) (i=1,2) (2-7-2)
式中
r(i)——參考點彈性共軛曲面徑矢
rd(i)——參考點變形基本曲面徑矢
δ(i)——參考點最大法向變形量
n0(i)——參考點單位法向矢量
彈性共軛曲面Σi即為所有離散點r(i)的集合。
Σi={r(i)|r(i)=rd(i)+δ(i)·n0(i)} (i=1,2)
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