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第四章 鼓形齒聯(lián)軸器嚙合分析和力分析

從加工方法和運(yùn)行狀態(tài)所確定的內(nèi)外齒輪齒面的空間關(guān)系來看，鼓形齒聯(lián)軸器可分為共軛齒面和非共軛齒面兩種。用雙分齒切齒法加工出的鼓形齒輪^[116]，與直齒內(nèi)齒輪在設(shè)計(jì)的軸間傾角下嚙合就是共軛狀態(tài)的鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)，而與直齒內(nèi)齒輪在不同于設(shè)計(jì)軸間傾角下嚙合時(shí)，內(nèi)外齒輪齒面卻是處于非共軛狀態(tài)的。以非內(nèi)外齒輪共軛切齒法加工出的鼓形齒輪，無論處于何種安裝角度，內(nèi)外齒輪齒面都是非共軛狀態(tài)的。

鼓形齒聯(lián)軸器具有復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)理和力學(xué)特性，以往這些方面的研究^{[68～73][76][79～82][84][85]}都存在一定的片面性。本章將系統(tǒng)地對(duì)這一問題進(jìn)行深入討論。

4.1 內(nèi)外齒輪齒面方程的建立

要進(jìn)行鼓形齒聯(lián)軸器的嚙合分析和力分析，首先必須創(chuàng)建鼓形齒聯(lián)軸器內(nèi)外齒輪齒面的幾何數(shù)學(xué)模型，也就是要建立內(nèi)外齒輪齒面的方程。

4.1.1 共軛齒面方程

共軛齒面方程可由前一章的彈性共軛齒面數(shù)值解給出，但由于離散的數(shù)值曲面會(huì)給分析計(jì)算帶來較大困難，而嚙合過程是變形后的變形基本曲面起作用，由前面的分析計(jì)算知，對(duì)于單對(duì)齒嚙合過程，變形基本曲面求解與傳統(tǒng)的剛性共軛曲面求解是相同的。本章將給出內(nèi)外齒輪齒面解析方程，進(jìn)行嚙合分析和力分析。

1.坐標(biāo)系及坐標(biāo)變換

坐標(biāo)系如圖3-2所示，其坐標(biāo)系空間關(guān)系及坐標(biāo)變換關(guān)系由3.3.4.1給出。

2.內(nèi)齒輪齒面方程

內(nèi)齒輪為直齒，其端面齒形及坐標(biāo)關(guān)系如圖3-3所示。設(shè)端面齒廓線為漸開線，x_c2坐標(biāo)通過漸開線在基圓上的起點(diǎn)，（o,x_c2,y_c2,z_c2）坐標(biāo)下的齒面方程為

式中 ψ₂——齒面參變量，設(shè)α₂為齒面某一點(diǎn)K處的壓力角，則有ψ₂=tgα₂。

r_b——漸開線基圓半徑。

將（4-1-1）式轉(zhuǎn)換到S₂坐標(biāo)系，方程為

將（4-1-3）式轉(zhuǎn)換到S₂₀坐標(biāo)系，方程為

式中 β₂——內(nèi)齒輪基圓齒槽寬所對(duì)圓心角之半。

β₂=π/(2z)+(2x_r2tgα+x_τ2)/z+tgα-α

式中 α——分度圓壓力角

x_r2——內(nèi)齒輪徑向變位系數(shù)

x_τ2——內(nèi)齒輪切向變位系數(shù)

（4-1-3）式就是內(nèi)齒輪齒面在S₂₀系的齒面方程。

3.與內(nèi)齒輪齒面共軛的外齒輪齒面方程

根據(jù)求解共軛齒面的運(yùn)動(dòng)學(xué)法^[2]，外齒輪齒面方程為

f(ψ₂,t₂,φ₂)=0為嚙合方程，為由n·v⁽¹²⁾=0推導(dǎo)而來。

在(o,x₂,y₂,z₂)坐標(biāo)系，內(nèi)輪齒齒面法向矢量的三個(gè)坐標(biāo)分量為

在(o,x₂,y₂,z₂)坐標(biāo)系，相對(duì)速度的三個(gè)坐標(biāo)分量為

將（4-1-5）、（4-1-6）式代入n·v⁽¹²⁾=0，得

（4-1-9）式中，φ₁、φ₂為二齒面的轉(zhuǎn)角，令φ₁=φ₂=φ，將（4-1-2）式及由（4-1-8）式解出的t₂代入（4-1-9）式，即可得到以ψ₂、φ為參變量的外齒輪齒面方程。

為了嚙合分析方便，要給出在固定坐標(biāo)系下的接觸線方程，即嚙合面方程。在S₂₀上接觸線方程為

（4-1-11）式就是嚙合面方程。

由f(ψ₂,t₂,φ₂)=0，r₂=r₂(ψ₂,t₂)可以給出內(nèi)齒輪齒面上的接觸線方程

4.1.2 與內(nèi)齒輪齒面非共軛的外齒輪齒面方程

外齒輪齒面及坐標(biāo)系如圖4-1所示。此處只討論在平行于端面的各截面上，為不同變位系數(shù)的漸開線外齒輪。

設(shè)中截面齒廓為漸開線，x_c1坐標(biāo)軸線通過漸開線在基圓上的起點(diǎn)，(o,x_c1,y_c1,z_c1)坐標(biāo)下的齒面方程為

式中 ψ₁、t₁——齒面參變量，設(shè)α₁為齒面某一點(diǎn)k₁處的壓力角，則ψ₁=tgα₁。

r_b——漸開線基圓半徑

（4-1-13）式進(jìn)行坐標(biāo)變換得到S₁坐標(biāo)系下的方程。

β₁為外齒輪基圓齒厚所對(duì)圓心角之半，

β₁=π/(2z)+(2x_r1tgα+x_τ1)/z+tgα-α+△

式中 α——分度圓壓力角；

x_r1——外齒輪徑向變位系數(shù)；

x_τ1——外齒輪切向變位系數(shù)；

△——鼓形引起的徑向變位的差角

△的計(jì)算如下，設(shè)鼓形齒鼓度曲線為一橢圓，參數(shù)為長半軸a，短半軸b，當(dāng)a=b時(shí)為圓弧。在鼓度曲線上建立局部坐標(biāo)系（o′，ξ，η），o′為齒寬中線與分度圓線交點(diǎn)，ξ與z₁方向相同，η為指向齒輪軸線的方向。在此坐標(biāo)系上橢圓方程為

設(shè)齒寬為B，則a＞B/2。在靠近原點(diǎn)o′的半弧上。因ξ與z₁方向相同，以t₁為參變量，則

這就是由鼓形引起的徑向變位的負(fù)變位量，故

將（4-1-4）式轉(zhuǎn)換到S₁₀系中有

為了后面嚙合分析方便，再將（4-1-15）式轉(zhuǎn)換到S₂₀系

4.2 鼓形齒聯(lián)軸器嚙合分析

4.2.1 共軛齒面嚙合分析

1.接觸線

由（4-1-10）式和式（4-1-12）式通過計(jì)算，可以得到內(nèi)外齒輪齒面上接觸線坐標(biāo)，由計(jì)算出的坐標(biāo)值即可繪出接觸線圖形。

式中ψ要求：ψ_f≤ψ≤ψ_a，其中ψ_a=tgα_a，ψ_f=tgα_f；α_a、α_f為內(nèi)齒輪輪齒頂和齒根壓力角。

以m=3mm，z=56，θ=1.5°，x_r1=x_r2=0，h_a^*=1，齒寬按需要取到足夠大為例計(jì)算，確定-90°≤φ≤270°期間的若干條接觸線。由建立的齒面方程所決定，φ=0時(shí)，齒面處于純翻轉(zhuǎn)位置。由式（4-2-1）計(jì)算得α_a=12.968°，α_f=24.866°

通過計(jì)算，得到內(nèi)外齒輪齒面接觸線坐標(biāo)，表4-1、表4-2給出部分坐標(biāo)值計(jì)算結(jié)果。圖4-2所示為φ間隔2.5°，內(nèi)外齒輪齒面轉(zhuǎn)過一圈的齒面接觸線。

表4-1 外齒輪齒面接觸線坐標(biāo)(m=3mm z=56 α=20° θ=1.5° x_r1=x_r2=0 h_a^*=1)

表4-2 內(nèi)齒齒面接觸線坐標(biāo)(m=3mm z=56 α=20° θ=1.5° x_r1=x_r2=0 h_a^*=1)

φ在-90°≤φ≤90°范圍變化時(shí)，從-90°至小于0°的某一角度范圍，內(nèi)外齒輪齒面無接觸線；此后，接觸線在內(nèi)外齒輪齒面中截面的右外側(cè)從外齒輪齒頂P₁和內(nèi)齒輪齒根P₂進(jìn)入，逐漸向齒寬中截面位置移動(dòng)，在小于90°的某一角度結(jié)束，接觸線彎曲方向及傾斜方向如圖4-2所示。開始進(jìn)入接觸和最后脫離接觸時(shí)的φ值由齒輪參數(shù)決定。φ在90°≤φ≤270°范圍變化時(shí)，接觸線在內(nèi)外齒輪齒面中截面的左外側(cè)P₁′、P₂′嚙入，轉(zhuǎn)角位置與右外側(cè)嚙合對(duì)稱。內(nèi)外齒輪齒面左右兩側(cè)的接觸線呈與X₁、X₂坐標(biāo)對(duì)稱形狀。

2.齒形分析

通過對(duì)齒面分度圓柱截面線和端截面線的分析可進(jìn)一步了解其齒形特點(diǎn)。由（4-1-10）式，設(shè)r為分度圓半徑，給定x₁²+y₁²=r²，可解出齒面分度圓柱截面線的坐標(biāo)值，將z₁oy₁平行平面內(nèi)的點(diǎn)以足夠的密度連接成曲線，就得到分度圓柱上的齒厚線在z₁oy₁平面上的投影，即得到齒寬方向的齒形曲線。以上例給出的參數(shù)，計(jì)算繪制的鼓形齒齒寬方向的齒形曲線如圖4-3所示。

由圖看出，輪齒沿齒寬方向齒厚是變化的，在靠近中截面附近，截線為一近似圓弧，離開中截面越遠(yuǎn)，截線越呈直線形狀，整個(gè)齒形為與y₁軸對(duì)稱鼓形。同樣，可以由（4-1-10）式取z₁為某一常數(shù)，求出x₁oy₁的截面線坐標(biāo)。通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)各位置端截面齒形為一近似漸開線，在中截面處與漸開線最逼近。由此可知，與漸開線直齒內(nèi)齒輪共軛的外齒輪為一軸向變齒厚的、端截面為近似漸開線齒形的齒輪。

3.誘導(dǎo)法曲率及齒面曲率干涉校驗(yàn)

設(shè)內(nèi)齒輪齒面為Σ^Ⅰ，外齒輪齒面為Σ^Ⅱ。誘導(dǎo)法曲率是指兩齒面Σ^Ⅰ、Σ^Ⅱ上沿同一切線方向的法曲率k^Ⅰ與k^Ⅱ之差，k^ⅠⅡ=k^Ⅰ-k^Ⅱ。如果規(guī)定兩齒面接觸點(diǎn)處的公法線矢量n的方向?yàn)橛升X面Σ^Ⅰ的實(shí)體指向空域，則其誘導(dǎo)法曲率必須為負(fù)值，才不會(huì)發(fā)生曲率干涉，兩齒面才能正常嚙合；反之若為正值，則會(huì)發(fā)生曲率干涉，兩齒面不能正常嚙合。

誘導(dǎo)法曲率在兩個(gè)互相垂直的切線方向上的值之和為定值。對(duì)于線接觸嚙合，因?yàn)樵诮佑|線方向兩齒面的法曲率相等，即k_τ^ⅠⅡ=0，則誘導(dǎo)法曲率兩個(gè)主方向之一與接觸線方向重合。另一個(gè)主方向即對(duì)應(yīng)于k^ⅠⅡ的絕對(duì)值最大方向，與接觸線方向垂直。

設(shè)Σ^Ⅰ的主方向?yàn)閕_Ⅰ、i_Ⅱ，其兩個(gè)主值為k₁^Ⅰ、k₂^Ⅰ，Σ^Ⅱ在i_Ⅰ方向的法曲率為k₁^Ⅱ₍₁₎，在i_Ⅱ方向的法曲率為k₂^Ⅱ₍₁₎。由嚙合原理分析推導(dǎo)知^[5]

式中 n₀——法線單位矢量

ω⁽¹²⁾——相對(duì)角速度矢量

v_e^Ⅰ——Σ^Ⅰ的牽連運(yùn)動(dòng)速度矢量

由（4-1-3）式可計(jì)算出

式中 ψ₂=tgα₂。

將以上求出的n₀、ω⁽¹²⁾、v_e^Ⅰ、i_Ⅰ、i_Ⅱ及（4-2-3）式代入（4-2-2）式，即可解得

設(shè)垂直于接觸線切線方向的誘導(dǎo)法曲率為k_σ^ⅠⅡ，則有

由k_τ^ⅠⅡ=0，得

由于|cosθ|≤1，ψ₂≥0

所以

k_σ^ⅠⅡ≤0

與k_τ^ⅠⅡ夾角為q的任一方向誘導(dǎo)法曲率為

k^ⅠⅡ=k_τ^ⅠⅡcos²q+k_σ^ⅠⅡsin²q=k_σ^ⅠⅡsin²q

顯然，k^ⅠⅡ≤0。

由此推知共軛齒面鼓形齒聯(lián)軸器內(nèi)外齒輪齒面無曲率干涉。

外齒輪軸線與內(nèi)齒輪軸線的軸間傾角小于θ安裝時(shí)，設(shè)軸間傾角為θ′，則在i_Ⅰ、i_Ⅱ方向上外齒輪齒面兩法曲率為

式中 △θ=θ-θ′

i_Ⅰ、i_Ⅱ方向上的誘導(dǎo)法曲率為

顯然，k₁^ⅠⅡ≤0，k₂^ⅠⅡ≤0，不會(huì)發(fā)生曲率干涉。

4.相對(duì)滑動(dòng)系數(shù)

由嚙合原理推導(dǎo)知^[5]，齒面滑動(dòng)系數(shù)為

式中 k_v^Ⅰ——齒面Σ^Ⅰ上參考點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度矢量v⁽¹²⁾方向的法曲率。

由Euler公式知，k_v^Ⅰ=k₂^Ⅰcos²q_v+k₁^Ⅰsin²q_v

式中 q_v——相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度矢量與主方向i_Ⅱ的夾角

所以有k_v^Ⅰ=k₂^Ⅰcos²q_v

將以上求出的各量代入（4-2-4）式，得

關(guān)于齒面Σ^Ⅰ、Σ^Ⅱ的滑動(dòng)系數(shù)表達(dá)式（4-2-5）較復(fù)雜，為了便于分析，分別以參數(shù)φ、ψ₂、t₂為變量，計(jì)算出σ₁、σ₂的若干組數(shù)據(jù)，由表4-3給出。

表4-3 滑動(dòng)系數(shù)計(jì)算數(shù)據(jù)（m=3mm z=56 α=20° x_r1=0 x_r2=0 θ=1.5°）

分析表4-3的數(shù)據(jù)，可以得出以下結(jié)論：

（1）φ、ψ₂不變的情況下，t₂增加，σ₁的絕對(duì)值減小，即在內(nèi)齒輪齒面相同的周向和徑向位置上，越遠(yuǎn)離齒寬中截面，滑動(dòng)系數(shù)越小；

（2）φ、t₂不變的情況下，ψ₂增加，在大部分周向位置上σ₁的絕對(duì)值減小，即越往內(nèi)齒輪齒根，滑動(dòng)系數(shù)越�。�

（3）ψ₂、t₂不變的情況下，σ₁的變化情況較復(fù)雜，不同的周向位置變化范圍，σ₁的增大或減小趨勢不同；

（4）外齒輪齒面滑動(dòng)系數(shù)σ₂的變化較復(fù)雜，當(dāng)經(jīng)歷σ₁大于1變?yōu)棣?sub>1小于1的過程，必然出現(xiàn)σ₂→∞的情況。在不同周向位置和軸向位置，對(duì)ψ₂進(jìn)行一維搜索計(jì)算，求解出σ₂→∞的點(diǎn)，如表4-4所給。由數(shù)據(jù)可以看出，外齒輪齒面最大滑動(dòng)系數(shù)點(diǎn)，在不同周向位置和軸向位置，出現(xiàn)于不同的齒高位置。

表4-4 外齒輪齒面最大滑動(dòng)系數(shù)點(diǎn)參數(shù)
(m=3mm z=56 α=20° x_r1=0 x_r2=0 θ=1.5°)

5.重合度

由前面分析的齒面接觸線狀況知，一對(duì)齒面在一周運(yùn)動(dòng)中不是始終連續(xù)嚙合的，它們?cè)谝恢苤袕拈_始進(jìn)入嚙合到脫離嚙合所轉(zhuǎn)過的角度與一個(gè)齒距角之比為重合度。重合度反映了齒輪嚙合過程中同時(shí)嚙合齒對(duì)數(shù)的多少，是一個(gè)重要的嚙合特性。以下分析計(jì)算共軛齒面鼓形齒聯(lián)軸器的重合度。

根據(jù)接觸線的分析知，嚙合點(diǎn)在內(nèi)齒輪齒面齒根處遠(yuǎn)離中截面的位置，嚙出點(diǎn)在內(nèi)齒輪齒面齒頂上靠近中截面的位置。由（4-1-12）式的第三式

z₂=r_b(1-cosθ)/[sinθsin(ψ₂-β₂+φ)]

解得

在嚙入點(diǎn)ψ₂=tgα_f，z₂=B/2，α_f為內(nèi)齒輪齒根壓力角，B為齒寬，設(shè)嚙入點(diǎn)φ=φ_ei，

在嚙出點(diǎn)ψ₂tgα_a，此時(shí)z₂為不等于零的最小值，即取

sin(ψ₂-β₂+φ)=1，故有

α_a為內(nèi)齒輪齒頂壓力角，設(shè)嚙出點(diǎn)φ=φ_eo，

φ_eo=π/2+β₂-tgα_a

α_f、α_a由（4-2-1）式計(jì)算。設(shè)單齒嚙合轉(zhuǎn)角為φ_e，則有

式中 ψ_B=B/m為齒寬系數(shù)。

齒距角為2π/z，由于一對(duì)齒面在齒輪轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)中有兩次嚙入嚙出，所以重合度

ε=φ_ez/π                                     （4-2-8a）

將（4-2-7）式和（4-2-1）式代入（4-2-8a）式中，且，所以

以m=3mm，z=56，h_a^*=1，x_r1=x_r2=0，α=20°，θ=1.5°代入（4-2-8）式，得ε=30.928，即56對(duì)齒中有時(shí)有30對(duì)齒、有時(shí)有32對(duì)齒同時(shí)嚙合，分別占總齒數(shù)的54%和57%.可見共軛齒面鼓形齒聯(lián)軸器具有較高的嚙合重合度。

由（4-2-8）式知，共軛齒面鼓形齒聯(lián)軸器重合度與齒數(shù)、齒寬系數(shù)、齒高系數(shù)、徑向變位系數(shù)、壓力角和軸間傾角有關(guān)。圖4-4給出了ε-θ、ε-ψ_B、ε-z、ε-x_r、ε-h_a^*和ε-α關(guān)系曲線。

(a)ε-θ關(guān)系(z=56 α=20° ψ_B=12 h_a^*=1 X_r2=0)

(b)ε-ψ_B關(guān)系(θ=1.5° z=56 α=20° h_a^*=1 X_r2=0)

(c)ε-z關(guān)系(θ=1.5° α=20° ψ_B=12 h_a^*=1 X_r2=0)

(d)ε-X_r2關(guān)系(θ=1.5° z=56 α=20° ψ_B=12 h_a^*=1)

(e)ε-h_a^*關(guān)系(θ=1.5° z=56 α=20° ψ_B=12 X_r2=0)

(f)ε-α關(guān)系(θ=1.5° z=56 ψ_B=12 h_a^*=1 X_r2=0)

由圖4-4知，重合度隨軸間傾角、徑向變位系數(shù)和分度圓壓力角的增大單調(diào)減小，隨齒寬系數(shù)、齒數(shù)和齒頂高系數(shù)的增大單調(diào)增加。重合度隨齒寬系數(shù)的增大有較大的非線性，當(dāng)齒寬系數(shù)增大到14之后，重合度增加很小，因此不宜盲目以增加齒寬系數(shù)來增加重合度。重合度的增加量約為齒數(shù)增加量的50%，因此，應(yīng)盡可能地增大齒數(shù)來增加重合度。其他參數(shù)在合理的取值范圍內(nèi)變化時(shí)，重合度變化較小。

4.2.2 非共軛齒面嚙合分析

非共軛齒面嚙合為點(diǎn)接觸，此處只討論圓弧及橢圓弧鼓度曲線鼓形齒聯(lián)軸器的非共軛齒面嚙合。

1.接觸分析

根據(jù)非共軛曲面的嚙合條件^[2]

r^Ⅰ=r^Ⅱ有三個(gè)坐標(biāo)分量的標(biāo)量方程；n^Ⅰ=n^Ⅱ的三個(gè)坐標(biāo)分量兩兩成比例，有兩個(gè)標(biāo)量方程。共有五個(gè)獨(dú)立的標(biāo)量方程。

內(nèi)外齒輪齒面在固定坐標(biāo)系S₂₀下的方程由（4-1-3）式及（4-1-16）式給出。

設(shè)內(nèi)齒輪為主動(dòng)件，轉(zhuǎn)角φ₂給定，并令△φ=φ₂-φ₁，則在齒面Σ^Ⅰ、Σ^Ⅱ中ψ₁、ψ₂、t₁和t₂為參變量，加上運(yùn)動(dòng)參變量△φ，共有五個(gè)未知量。這樣，五個(gè)方程有五個(gè)未知量，方程可解。

內(nèi)齒輪齒面法線矢量的計(jì)算：

外齒輪齒面法線矢量的計(jì)算：

對(duì)于圓弧鼓度曲線，設(shè)鼓度半徑為r_g，β₁表達(dá)式中，a=b=r_g。

（4-2-10）式為一非線性方程組，由于此方程組較復(fù)雜，很難求得解析解，必須尋求其數(shù)值解�，F(xiàn)運(yùn)用優(yōu)化原理^[117]求解接觸點(diǎn)的數(shù)值解。

將方程寫成優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)形式

F_i(X)=0 (i=1,2,3,4,5)，X={ψ₁,ψ₂,t₁,t₂,△φ}；目標(biāo)函數(shù)為，約束條件為tgα_f1≤ψ₁≤tgα_a1，tgα_a2≤ψ₂≤tgα_f2，其中α_f1、α_f2和α_a1、α_a2為鼓形外齒輪及直齒內(nèi)齒輪的齒根圓壓力角和齒頂圓壓力角。

給定一系列的φ₂值（0～2π），間隔為某一設(shè)定的角度，可算得各個(gè)點(diǎn)的α₁、α₂、t₁、t₂及△φ的數(shù)據(jù)值。表4-5給出了0°≤φ₂≤360°，間隔為15°的一組數(shù)據(jù)值，由此數(shù)據(jù)表即可進(jìn)行嚙合點(diǎn)分析。改變軸間傾角θ和鼓度曲線參數(shù)a、b進(jìn)行若干次計(jì)算，還可進(jìn)行對(duì)比分析。

表4-5 α₁、α₂、t₁、t₂、△φ的計(jì)算結(jié)果
(m=3mm，z=56，α=20°，r_g=131mm，θ=1.5°)

通過對(duì)多組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得出如下結(jié)論：

（1）當(dāng)考慮實(shí)際嚙合時(shí)，內(nèi)齒輪齒厚減薄，使之保證足夠的側(cè)隙，數(shù)據(jù)處理后發(fā)現(xiàn)，△φ=0的點(diǎn)為對(duì)稱的兩點(diǎn)，由φ₂間隔細(xì)分的數(shù)據(jù)計(jì)算可知，此兩點(diǎn)位于偏離純翻轉(zhuǎn)區(qū)一個(gè)小角度的位置；這說明理論嚙合齒對(duì)數(shù)為兩對(duì)，這一結(jié)論與文獻(xiàn)[81]所給結(jié)果是一致的；

（2）以一對(duì)齒在一轉(zhuǎn)中始終嚙合為例計(jì)算分析可知，△φ的變化除在純翻轉(zhuǎn)區(qū)稍有波動(dòng)外，總體約呈余弦規(guī)律變化，如圖4-5所示，這說明運(yùn)動(dòng)是非勻速的。當(dāng)理論嚙合齒對(duì)在△φ為零的點(diǎn)嚙合時(shí)，與其相鄰的齒對(duì)若要嚙合，它的△φ值約為10^-5弧度數(shù)量級(jí)；

（3）接觸點(diǎn)在齒高方向的位置，在純翻轉(zhuǎn)區(qū)向純擺動(dòng)區(qū)轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，從內(nèi)外齒輪分度圓附近向外齒輪齒根部和內(nèi)齒輪齒頂移動(dòng)。根據(jù)齒輪的模數(shù)齒數(shù)不同，到達(dá)外齒輪齒根部和內(nèi)齒輪齒頂所需轉(zhuǎn)過的角度不同。在此后直至轉(zhuǎn)到對(duì)面的純翻轉(zhuǎn)區(qū)的范圍內(nèi)，接觸點(diǎn)都在外齒輪齒根部和內(nèi)齒輪齒頂；

（4）接觸點(diǎn)在齒寬方向的位置，在純翻轉(zhuǎn)區(qū)向純擺動(dòng)區(qū)轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，從內(nèi)外齒輪上距齒寬中截面遠(yuǎn)端處向齒寬中截面移動(dòng)；在純擺動(dòng)區(qū)，接觸點(diǎn)在外齒輪齒寬中截面上，由于外齒輪軸線的傾斜，此時(shí)內(nèi)齒輪齒面上接觸點(diǎn)偏離齒寬中截面一個(gè)距離，理論上為r_ftgθ，所算數(shù)據(jù)與此吻合。越過純擺動(dòng)區(qū)時(shí)，接觸點(diǎn)從齒寬中截面一邊移到另一邊。在純擺動(dòng)區(qū)向純翻轉(zhuǎn)區(qū)轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，接觸點(diǎn)從齒寬中截面向遠(yuǎn)離齒寬中截面位置移動(dòng)，直至到達(dá)最遠(yuǎn)處；

（5）嚙合點(diǎn)處α₁、α₂、t₁、t₂、△φ關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

（6）軸間傾角θ越小，△φ_max越��；當(dāng)θ=0時(shí)，t₁=t₂=0，此時(shí)所有齒在齒寬中截面上接觸，在齒寬方向接觸點(diǎn)不移動(dòng)，承載能力最強(qiáng)。

2.齒面曲率分析

經(jīng)求解得到內(nèi)齒輪齒面的兩個(gè)法曲率主值為

圓弧鼓度曲線外齒輪齒面的兩個(gè)對(duì)應(yīng)法曲率為

k₁^Ⅰ、k₁^Ⅱ的方向?yàn)辇X寬方向，k₂^Ⅰ、k₂^Ⅱ的方向?yàn)辇X高方向。

在齒寬方向，當(dāng)r_g→∞或r_g/t₁=cosα?xí)r，k₁^Ⅰ→0，對(duì)鼓形齒輪而言，這兩種情況都不存在，因此總存在k₁^Ⅰ＞k₁^Ⅱ，即在齒寬方向不存在曲率干涉。

在齒高方向，由于k₂^Ⅰ與ψ₁和t₁有關(guān)，是否存在在曲率干涉，需進(jìn)行計(jì)算才能確定。在齒寬中截面上，k₂^Ⅰ=1/(r_bψ₁)，由于內(nèi)外齒輪存在軸間傾角θ，由Eular公式可計(jì)算出與k₂^Ⅱ同方向的外齒輪齒面法曲率，k₂^Ⅰ′=cos²θ/(r_bψ₁)。由接觸點(diǎn)計(jì)算知，在齒寬中截面上的接觸點(diǎn)ψ₁=ψ₂，因此存在k₂^Ⅰ′＜k₂^Ⅱ，即說明存在曲率干涉，且θ越大，曲率干涉越嚴(yán)重。

在距齒寬中截面最遠(yuǎn)處的接觸點(diǎn)，則應(yīng)由t₁、ψ₁、ψ₂代入k₂^Ⅰ′及k₂^Ⅱ計(jì)算來確定。以m=3mm，z=56，θ=1.5°為例進(jìn)行計(jì)算，最遠(yuǎn)點(diǎn)t₁=9.393mm，ψ₁=tgα₁=0.3927，ψ₂=tgα₂=0.3929，得k₂^Ⅰ′=0.0322289，k₂^Ⅱ=0.0322444，即有k₂^Ⅰ′＜k₂^Ⅱ，說明同樣存在曲率干涉。曲率干涉也是造成內(nèi)外齒輪齒面接觸點(diǎn)大都在外齒輪齒根部和內(nèi)齒輪齒頂?shù)母�本原因。但由�?jì)算結(jié)果看出，干涉是非常輕微的，在彈性變形作用下或經(jīng)跑合后即為密切接觸。

4.3 鼓形齒聯(lián)軸器力分析

鼓形齒聯(lián)軸器與一般的內(nèi)外齒輪傳動(dòng)相比較，因其特殊的齒面嚙合接觸狀態(tài)和較大的嚙合重合度而有較特殊的受力狀態(tài)，因此有必要對(duì)其進(jìn)行分析，為強(qiáng)度剛度設(shè)計(jì)計(jì)算及參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

4.3.1 受力分析

在接觸點(diǎn)K處，受力狀態(tài)如圖4-6所示。作用在外齒輪輪齒K點(diǎn)的總作用力為F_n，F(xiàn)_n可分解為切向力F_t，徑向力F_r和軸向力F_a。由圖4-6知

F_rt=F_ncosθ′；F_a=F_nsinθ′。

式中θ=θcosφ；在純翻轉(zhuǎn)區(qū)，φ=0，θ′=θ；在純擺動(dòng)區(qū)φ=π/2，θ′=0；可見軸向力的大小與輪齒所處周向位置有關(guān)。當(dāng)φ＞π/2，θ′＜0，即軸向力方向與對(duì)稱點(diǎn)相反，它們形成繞純擺軸線的力矩。

F_t=F_rtcosα_k=F_ncosθ′cosα_k

F_r=F_rtsinα_k=F_ncosθ′sinα_k

設(shè)聯(lián)軸器作用轉(zhuǎn)矩為T，對(duì)于點(diǎn)接觸的情況，有受力平衡條件

式中n為接觸點(diǎn)數(shù)目，F(xiàn)_rt⁽ⁱ⁾為在第i點(diǎn)的端截面法向力。

對(duì)線接觸的情況，有受力平衡條件

式中l(wèi)為接觸齒對(duì)數(shù)目，dF_rt^(j)為第j對(duì)齒接觸線上一點(diǎn)的端截面法向力，s_j為第j對(duì)齒的接觸線。

4.3.2 嚙合剛度

嚙合剛度是指同時(shí)嚙合的若干對(duì)輪齒在端面內(nèi)輪齒總剛度的平均值。而輪齒剛度的定義是一對(duì)或若干對(duì)輪齒嚙合時(shí)，單位齒寬產(chǎn)生單位變形所需的載荷^[118]。

由于在特定的嚙合位置上接觸線為已知，因此可求出變形量，由求出的變形量即可求出單對(duì)齒的剛度，設(shè)單對(duì)齒剛度曲線如圖4-7（a）所示。

嚙合過程中，n對(duì)齒與n+2對(duì)齒交替嚙合，剛度疊加，如圖4-7（b）所示。由嚙合剛度的定義知

式中 c_γ——嚙合剛度

c_A、c_B、c_D、c_E——單對(duì)齒處于A，B，D，E嚙合點(diǎn)處的剛度

n——重合度ε的取整值。

由于共軛齒面鼓形齒聯(lián)軸器有較大的嚙合重合度，其n對(duì)齒嚙合時(shí)的疊加剛度與n+2對(duì)齒嚙合時(shí)的疊加剛度比值較一般齒輪傳動(dòng)要大得多，因此它的多齒嚙過渡較平穩(wěn)。

對(duì)于外嚙合直齒圓柱齒輪傳動(dòng)c_γ=(c_A+c_B+c_D+c_E)/2，在單對(duì)齒剛度相同情況下，顯然鼓形齒聯(lián)軸器的嚙合剛度要大得多。

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