第2章 完全平衡雙軸輸入三環(huán)減速器的動力學(xué)研究
2.1 引言
三環(huán)減速器的研究起步較晚，產(chǎn)品研制的時間較短，盡管一些廠家和科研院所對其進(jìn)行過一些研究和試驗，取得了一些成果，但是，生產(chǎn)中出現(xiàn)的諸如：振動大、溫升高及轉(zhuǎn)臂軸承使用壽命短等諸多問題還未得到有效地解決，這嚴(yán)重影響了三環(huán)減速器的推廣使用。目前，三環(huán)減速器的受力分析、效率計算和振動及發(fā)熱等問題的研究表明，采用雙軸輸入及對稱型三環(huán)傳動形式可減少三環(huán)減速器的振動，進(jìn)而提高三環(huán)減速器的使用壽命。受力分析是三環(huán)減速器設(shè)計的基礎(chǔ)，針對目前三環(huán)減速器變形協(xié)調(diào)條件處理過程簡單化、影響計算精度的問題，本章改進(jìn)了考慮環(huán)板形狀和受力實際的變形協(xié)調(diào)條件，并對三環(huán)減速器的受力進(jìn)行了分析；依據(jù)連桿機(jī)構(gòu)平衡理論，提出了完全平衡雙軸輸入三環(huán)減速器設(shè)計的理論依據(jù)；曲柄軸和輸出軸的支撐軸承處的受力分析揭示出慣性力和慣性力矩、嚙合力對基本型和完全平衡型三環(huán)減速器振動的影響；最后，本章還對完全平衡三環(huán)減速器的振動問題進(jìn)行了研究，結(jié)果表明：完全平衡雙軸輸入式三環(huán)減速器有著優(yōu)越的機(jī)械性能。
2.2 基本型三環(huán)減速器的受力分析
2.2.1 結(jié)構(gòu)組成及基本原理
現(xiàn)有的理論研究、試驗分析和產(chǎn)品的應(yīng)用都證明，對稱型三環(huán)減速器較偏置型有著優(yōu)越的機(jī)械性能，作為筆者設(shè)計的完全平衡雙軸輸入式三環(huán)減速器的對比樣機(jī)，本章選的是對稱型三環(huán)減速器。對稱型三環(huán)減速器的基本結(jié)構(gòu)如圖2-1所示，其輸入軸和支撐軸對稱布置在輸出軸的兩側(cè)。其輸入軸通過三片完全相同且互成120°的偏心套及相匹配的滾動軸承與內(nèi)齒環(huán)板構(gòu)成三個平行雙曲柄機(jī)構(gòu)，傳動環(huán)板在輸入軸的驅(qū)動下作軌跡為圓的平動，傳動環(huán)板上的內(nèi)齒圈與輸出軸上的外齒輪相嚙合，實現(xiàn)了輸出軸的低速輸出。每一片內(nèi)齒環(huán)板均為一個平行雙曲柄機(jī)構(gòu)，三塊環(huán)板同時驅(qū)動輸出軸齒輪。理論上，任一瞬時各環(huán)板所受的載荷大小相等，由于不可避免的制造安裝誤差及傳動過程中的彈性變形，使實際工作時各環(huán)板所受載荷并不相同，也就是各傳動環(huán)板之間的載荷分配不夠均勻。這種現(xiàn)象嚴(yán)重影響三環(huán)減速器性能的發(fā)揮，并產(chǎn)生振動和噪音，嚴(yán)重時，會導(dǎo)致異常工作情況甚至出現(xiàn)事故�，F(xiàn)有三環(huán)減速器采用哪圖2-2所示三相平行雙曲柄機(jī)構(gòu)的目的主要是克服機(jī)構(gòu)死點和使慣性力平衡。
2.2.2 慣性力和慣性力矩
設(shè)內(nèi)齒環(huán)板的質(zhì)量為mB，轉(zhuǎn)臂偏心曲柄的質(zhì)量（含轉(zhuǎn)臂軸承）為mH，環(huán)板的質(zhì)心在O點，兩轉(zhuǎn)臂偏心軸的瞬時質(zhì)心分別在O1，O2點，轉(zhuǎn)臂轉(zhuǎn)速為nH,因內(nèi)齒環(huán)板作平動，則其轉(zhuǎn)速nb為零，因而，質(zhì)心以nH轉(zhuǎn)速繞O1，O2轉(zhuǎn)動，rb2為內(nèi)齒輪的基圓半徑，rb1為外齒輪的基圓半徑，α為壓力角，α′為嚙合角，e0為偏心距，m為內(nèi)或外齒輪的模數(shù)，Z1，Z2為內(nèi)嚙合的內(nèi)、外齒輪的齒數(shù)。每片內(nèi)齒環(huán)板的慣性力為：
Pi=mBωH2e0=[mπ2(Z2-Z1)m內(nèi)/1800]·(cosα/cosα′)·nH2 (2-1)
每個轉(zhuǎn)臂偏心軸（曲柄）的慣性力為：
PHi=mHωH2e0=[mπ2(Z2-Z1)mH/1800]·(cosα/cosα′)·nH2 (2-2)
這里，i=1，2，3
2.2.3 三環(huán)減速器的變形協(xié)調(diào)條件
三環(huán)減速機(jī)運動屬靜不定問題，用一般平面剛體力學(xué)方法無法完全求出機(jī)構(gòu)的作用力，影響到三環(huán)減速器設(shè)計和傳動性能的改進(jìn)。為此需要考慮各構(gòu)件的變形，建立能充分反映三環(huán)減速器實際受力的變形協(xié)調(diào)條件作為補(bǔ)充方程。三環(huán)減速機(jī)傳動機(jī)構(gòu)是雙曲柄連桿機(jī)構(gòu)，曲柄的旋轉(zhuǎn)半徑是偏心軸的偏心距，曲柄布置在由支撐軸承支承的偏心軸上，環(huán)板是雙曲柄機(jī)構(gòu)的連桿，傳動過程中的主要變形有各構(gòu)件的接觸變形、軸的扭轉(zhuǎn)彎曲變形、環(huán)板的拉壓變形等等。根據(jù)位移變形分析可知，軸的彎曲變形和環(huán)板的拉壓變形是主要的變形形式。對于筆者設(shè)計的如圖2-3所示的環(huán)板，設(shè)A為輸入軸，B為輸出軸。為了計算上的方便，以前將其簡化為等截面桿處理。實際上，由于有效截面的最大面積是最小截面面積的5倍多，這種簡單地處理和實際有較大的差別。環(huán)板受拉壓變形時的有效拉壓面積的形狀如圖2-4所示（單位：mm）。
其實際的拉壓截面曲線由下面的方程分段給出（長度單位：mm）：
式中 A0=58.594； A1=0.36736； rk=42.5； r2=81.8； l=145
由方程繪出這際拉壓截面曲線圖可看出，工程上所用的實際環(huán)板的結(jié)構(gòu)形狀和方程較為復(fù)雜，對其拉壓變形量難以直接積分求解。但簡單地將有效截面的最大面積與最小截面面積相差5倍的環(huán)板的有效拉壓面積處理成等截面圓柱則誤差較大。由于嚙合力連續(xù)作用在曲線方程較為復(fù)雜的中間各位置點，若根據(jù)實際形狀（方程）加以積分求解在數(shù)學(xué)上又較為困難。對于此類問題，采用工程上實用的最小二乘法將實際曲線擬合成分段斜直線組成的近似函數(shù)，則很有效，這樣做，既可保證精度，又可用簡單的積分公式編程直接求解。
盡管轉(zhuǎn)臂軸承兩端的截面尺寸也不大，但由于軸承外表面與環(huán)板接觸的斷面積較大，且軸承的剛度較大，故此處產(chǎn)生的擠壓變形與軸的彎曲變形相比較小，可忽略。
由于環(huán)板的結(jié)構(gòu)是對稱的，對其中的1/4進(jìn)行研究就可以了。根據(jù)環(huán)板的實際，將圖形分成10段。每段的擬合方程均為：
yi=A0i＋A1ixi
每段方程中的系數(shù)如表2-1所示：
表2-1 方程的系數(shù)
| |
AB |
BC |
CD |
DE |
EF |
FG |
GH |
HI |
IJ |
JK |
| A0 |
16.09 |
15.43 |
11.96 |
-9.00 |
-251.97 |
58.86 |
365.5 |
130.3 |
68.95 |
34.36 |
| A1 |
0.43 |
0.56 |
0.86 |
1.65 |
5.19 |
0.36 |
-4.61 |
-1.13 |
-0.42 |
-0.083 |
設(shè)任一環(huán)板在x方向上分別受到FAix、FBix、嚙合力Fni，水平分力和慣性力Pi，水平分力的拉伸或壓縮作用；如圖2-5所示的輸入軸上任一環(huán)板兩環(huán)板支點Ai（Bi）在x方向的撓度△x為偏心軸頸上環(huán)板軸承x方向的作用力FA1x，F(xiàn)A2x，F(xiàn)A3x（FB1x，F(xiàn)B2x，F(xiàn)B3x）在Ai（Bi）點作用的撓度△xAi(Bi）的疊加。以S代表輸入軸支承軸承與相鄰環(huán)板之間的距離，d表示相鄰環(huán)板之間的距離。則考慮輸入軸的彎曲變形和環(huán)板拉壓變形三環(huán)減速機(jī)變形協(xié)調(diào)條件為：在外力作用下，任一環(huán)板處兩曲柄軸在x方向的撓度的差等于該環(huán)板在x方向的總變形。用公式2-3表示。
實際運算中，采用下面的形式更為有效，求解也更為方便。（2-4）式的證明將在下一節(jié)的受力分析中給出證明。
式中 △xAij，△xPAij，△xnAij，——在一輸入軸上環(huán)板處Ai點的由于力FAjx，F(xiàn)PAjx，F(xiàn)nAjx作用的撓度（j=1，2，3）；這里，F(xiàn)Ajx=FPAjx+FnAjx。
△xBij, △xPBij，△xnBij——另一輸入軸上環(huán)板處Bi點的由于力FBjx，F(xiàn)PBjx，F(xiàn)nBjx作用的撓度(j=1，2，3)；這里FBjx=FPBjx+FnBjx。
△lik——對應(yīng)于AiBi的一塊環(huán)板在x方向由嚙合力水平分力作用下產(chǎn)生的拉壓變形（k=1，2）。
2.2.4 三環(huán)減速器的受力分析
1.轉(zhuǎn)臂軸承上的作用力分析 內(nèi)齒環(huán)板受力見圖2-6所示。
設(shè)兩轉(zhuǎn)臂偏心軸的瞬時幾何中心分別在A和B點，L0為內(nèi)齒環(huán)板中心與轉(zhuǎn)臂軸承中心之間的距離，F(xiàn)n為外齒輪作用給內(nèi)齒板的力（切于基圓，指向嚙合點）。轉(zhuǎn)臂軸承上Ai和Bi的作用力為FAi（分解為FAxi和FAyi）和FBi（分解為FBxi和FByi），由力（力矩）平衡方程，對于第i塊環(huán)板可列如下方程：
由于方程數(shù)為12個，而方程中的未知量的總數(shù)為15個，屬靜不定問題。需建立變形協(xié)調(diào)方程作為補(bǔ)充方程，方程才能得以求解。
對于作用在任意一塊環(huán)板的慣性力和嚙合力來說，可根據(jù)力的疊加原理，將慣性力和嚙合力分別作用在Ai和Bi的力求出后，再將其疊加便可得到環(huán)板點Ai和Bi的作用力。由力學(xué)原理和變形協(xié)調(diào)方程有：
僅考慮環(huán)板上作用的慣性力和重力。
第i塊環(huán)板可列如下方程：
∑FPxi=FPAxi+FPBxi+Picosφi=0 (2-12)
∑FPyi=FPAyi+FPByi+Pisinφi-mBg=0 (2-13)
∑MPzi=FPByi·L0-FPAyi·L0=0 (2-14)
變形協(xié)調(diào)條件方程（假設(shè)環(huán)板的變形之和不為零）：
|C1(FPAx1-FPBx1)+C2(FPAx2-FPBx2)+C3(FPAx3-FPBx3)|=|FPAx1C5-FPBx1C6| (2-15)
|C2(FPAx1-FPBx1)+C4(FPAx2-FPBx2)+C2(FPAx3-FPBx3)|=|FPAx2C5-FPBx2C6| (2-16)
|C3(FPAx1-FPBx1)+C2(FPAx2-FPBx2)+C1(FPAx3-FPBx3)|=|FPAx3C5-FPBx3C6| (2-17)
由于環(huán)板的慣性力作用在環(huán)板的中心，而環(huán)板的結(jié)構(gòu)又是對稱的，故有C5=C6，代入上面方程并求解有：
由于上式和C5=C6知，慣性力作用在環(huán)板上的拉壓變形之和為零，方程（2-4）式得證。
僅考慮環(huán)板上作用的嚙合力。
∑Fnxi=FnAxi+FnBxi-Fni·sin(φi-α′)=0 (2-18)
∑Fnyi=FnAyi+FnByi-Fni·cos(φi-α′)=0 (2-19)
∑Fnzi=FnAyi·L0-FnByi·L0-Fnirb=0 (2-20)
變形協(xié)調(diào)條件方程：
|C1(FnAx1-FnBx1)+C2(FnAx2-FnBx2)+C3(FnAx3-FnBx3)|=|FnAx1C5-FnBx1C6| (2-21)
|C2(FnAx1-FnBx1)+C4(FnAx2-FnBx2)+C2(FnAx3-FnBx3)|=|FnAx2C5-FnBx2C6| (2-22)
|C3(FnAx1-FnBx1)+C2(FnAx2-FnBx2)+C1(FnAx3-FnBx3)|=|FnAx3C5-FnBx3C6| (2-23)
式中
式中 E——環(huán)板材料的彈性模量，本文取為2.06×1011N/m2；
I——軸的截面對中性軸的慣矩，
。
xF=l-rcosφi
將FnBxi=-FnAxi+Fnxi代入式（2-21）～（2-23）中，求解得：
FnAX1=m11Fn1x+m12Fn2x+m13Fn3x
FnAX2=m21Fn1x+m22Fn2x+m23Fn3x
FnAX3=m31Fn1x+m32Fn2x+m33Fn3x
式中
由此可得到各個環(huán)板轉(zhuǎn)臂軸承所受的力。
將以上關(guān)系代入支撐軸方程（2-9），并整理有：
a11Fn1+a12Fn2+a13Fn3=0 (2-24)
式中
代入輸入軸方程（2-11），并整理有：
a31Fn1+a32Fn2+a33Fn3=Tr/e0 (2-25)
式中
求解曲柄軸（2-24）、（2-25）和輸出軸（2-10）組成的關(guān)于嚙合力的方程組，可解得：
由上式可看出，任意時刻各環(huán)板上作用的嚙合力是不相等的，且是與轉(zhuǎn)角、環(huán)板和曲柄軸結(jié)構(gòu)尺寸、壓力角以及偏心尺寸有關(guān)的復(fù)雜函數(shù)，假設(shè)各嚙合力相等或者是成一簡單的函數(shù)關(guān)系都是與實際嚴(yán)格不符的。若需要用簡潔的函數(shù)關(guān)系加以描述，應(yīng)首先利用上式求出輸出軸旋轉(zhuǎn)一周時的數(shù)個嚙合力的表達(dá)式，這里不作詳細(xì)的討論。
上一頁
下一頁
