第三章 對中齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的彎曲振動和扭轉(zhuǎn)振動
3.1 引言
齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒輪軸線在對中和不對中二種情況下，由于內(nèi)外齒輪輪齒的接觸狀態(tài)不同，使得由齒輪聯(lián)軸器連接的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動形式存在差異。從理論上講，軸線嚴格對中，則各齒上的受力和變形完全相同，因而在齒輪聯(lián)軸器橫向上的力學(xué)特性也完全相同[34]；而在不對中時，則正好相反，因此相應(yīng)的力學(xué)模型也會有所不同。本章在上一章的基礎(chǔ)上，首先根據(jù)拉格朗日方程重點來討論半齒輪聯(lián)軸器在對中時，系統(tǒng)運動微分方程的建立過程，然后對一個由齒輪聯(lián)軸器連接的二個Jeffcott轉(zhuǎn)子所組成的系統(tǒng)（軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)）進行了比較詳細的數(shù)值分析。有關(guān)齒輪聯(lián)軸器在不對中時的建模和分析將在第五、第六、第七章中作詳細的討論。
在軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的建立過程中要涉及到軸承、轉(zhuǎn)子和齒輪聯(lián)軸器這三部件的�；�。在以小擾動為基礎(chǔ)的線性系統(tǒng)中，一般將滑動軸承的油膜力用八個線性化的剛度和阻尼系數(shù)來表征；而將轉(zhuǎn)子離散成為多個無質(zhì)量的彈性軸段及具有質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量的多個剛性圓盤，主要的方法有集總參數(shù)法和有限元法，具體的作法參見文獻[90]。齒輪聯(lián)軸器作為整體系統(tǒng)的一個子系統(tǒng)，一般有二對齒數(shù)相等內(nèi)外齒相嚙合的齒輪和相應(yīng)的軸段組成，這樣自然可以將其視為簡單的軸般結(jié)構(gòu)，將其中齒輪及軸段的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量分別等效到相應(yīng)的結(jié)點上，齒輪嚙合處的力學(xué)模型由上一章的六個剛度和阻尼系數(shù)給出。由于二對齒輪的嚙合建模完全類似，所以在此我們重點來討論一對嚙合的齒輪處，即半齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的建模問題。并以此模型從理論上探討軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的失穩(wěn)機理。通過數(shù)值方法分析齒輪聯(lián)軸器對整體系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的影響，并著重與等效軸計算方法[6]進行比較。計算了在多種工況下系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速和不平衡響應(yīng)。
3.2 半齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)運動方程
設(shè)將整個軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)劃分成n個軸段和n個結(jié)點，在第j個結(jié)點處存在一個半齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)，如圖3.1所示。將外齒輪和內(nèi)齒套均看作一當量圓盤，并滿足小擾動假設(shè)，不計軸向運動，則圓盤的運動可用其中心的位移（xj，yj）和相應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角（φj，ψj，θj）來表示，其中三個偏轉(zhuǎn)角的意義見圖3.2。設(shè)oxyz為固定坐標系，oξηz為相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)坐標系，下面就以此為模型用拉格朗日方程來建立該子系統(tǒng)的運動微分方程。
3.2.1 動能
半齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的動能包括內(nèi)齒套和外齒輪的平動動能和轉(zhuǎn)動動能
下標i，e分別表示內(nèi)齒套和外齒輪。
對于半齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)，內(nèi)齒套和外齒輪的齒數(shù)是相等的，因此繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動角速度均為Ω加上一個相應(yīng)的小量
，在小偏離的情況下，略去高階小量后得系統(tǒng)的動能[90]為
其中 Ω為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動角速度；
mjk （k=e,i）分別為外齒輪和內(nèi)齒套的質(zhì)量；
Jljk（k=e,i l=d,z）分別為外齒輪和內(nèi)齒套的赤道轉(zhuǎn)動慣量和極轉(zhuǎn)動慣量。
3.2.2 彈性勢能
（1）軸段的彎曲彈性勢能，參見圖3.3。
其中 Sj-1，Mj-1，Nj-1，Sj，Mj，Qj，Nj分別為作用于第j-1、j個結(jié)點處軸截面上的剪力和彎矩，根據(jù)平衡方程則第j個軸段在x方向
式中 EI為軸段截面的抗彎剛度。
由式（3.3）可得
第j個軸段在x方向的彎曲彈性勢能[91]
同理可得y方向的彎曲彈性勢能。
（2）軸段的扭轉(zhuǎn)彈性勢能，參見圖3.4。
第j個軸段的扭轉(zhuǎn)彈性勢能
式中 GIp為軸段截面的抗扭剛度。
（3）半齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的彈性勢能
第j個軸段的總彈性勢能
Uj=Ujx+Ujy+Ujt （3.7）
半齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的彈性勢能包括左右軸段和聯(lián)軸器的彈性勢能
U=Uj+Uie+Uj+1 （3.8）
將以上各式代入即得
3.2.3 耗散函數(shù)
系統(tǒng)的能量耗散主要來自軸承的油膜阻尼和齒輪聯(lián)軸器的內(nèi)阻尼。在此暫不考慮軸承的油膜阻尼部分，對于聯(lián)軸器的內(nèi)阻尼所耗散的能量是與聯(lián)軸器內(nèi)外齒輪的相對運動有關(guān)，因此建立耗散函數(shù)時，應(yīng)該在旋轉(zhuǎn)坐標系中。半齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的耗散函數(shù)為
由圖3.2中的坐標變換可得
將式（3.12）、（3.13）代入式（3.10）中得
3.2.4 運動微分方程
根據(jù)拉格朗日方程
將式（3.2）、式（3.9）和式（3.14）分別代入式（3.15），就可以得到系統(tǒng)的運動方程。由于彎曲運動和扭轉(zhuǎn)運動不耦合，所以將二者分開以便于討論。
（1）半齒輪聯(lián)軸器的彎曲運動方程
這樣就得到了第j個結(jié)點（外齒輪、內(nèi)齒套）處的彎曲運動微分方程。
（2）半齒輪聯(lián)軸器的扭轉(zhuǎn)運動方程
在外齒輪處
在內(nèi)齒套處
3.3 軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的運動微分方程
（1）系統(tǒng)的彎曲運動微分方程
轉(zhuǎn)子上各結(jié)點處（1，2，…，j-1）的彎曲運動微分方程可參見文獻[90]。將上面推得的第j個結(jié)點（即半齒輪聯(lián)軸器處）的彎曲運動微分方程合在一起就可以得到轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的彎曲運動微分方程。如果在轉(zhuǎn)子的第i個結(jié)點處具有滑動軸承支承，則只要在第i個結(jié)點處的運動方程中直接加入反應(yīng)軸承的八個油膜剛度和阻尼系數(shù)，這樣就可以得到整體系統(tǒng)的軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器耦合系統(tǒng)的彎曲運動微分方向，簡寫成
式中 {q}={x1 y1 φ1 ψ1 … xje yje φje ψje xji yji φji ψji … xn yn φn ψn}T
在式（3.20）中，[M]，[C]，[K]分別為整體系統(tǒng)的廣義質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，這三個矩陣是對稱陣；而[G]是陀螺力陣，[S]是廣義循環(huán)力（或稱之為廣義約束阻尼力）陣，這二個矩陣是反對稱陣；{F}為外激振力陣。
（2）系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)運動微分方程
同理可以寫出轉(zhuǎn)子上各結(jié)點處（1，2，…，j-1）的扭轉(zhuǎn)運動方程，參見文獻[90]。再將上面得到的第j個結(jié)點（即半齒輪聯(lián)軸器處）的扭轉(zhuǎn)運動微分方程合在一起就可以得到整體系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)運動微分方程。簡寫為
式中 {β}={θ1 … θie θii … θn}T；
[J]，[Cβ]，[Kβ]分別為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量陣，扭轉(zhuǎn)阻尼力矩和扭轉(zhuǎn)剛度陣；
{Fβ}為外扭轉(zhuǎn)激振力矩陣。
由于扭轉(zhuǎn)振動的內(nèi)阻尼不存在自激，所以下面我們重點討論整體系統(tǒng)的彎曲振動。
3.4 齒輪聯(lián)軸器內(nèi)阻尼引起自激振動的機理
在單自由度系統(tǒng)中，自激振動是由于負阻尼作用引起的，而在多自由度系統(tǒng)中就要復(fù)雜得多。并非一定象單自由度系統(tǒng)那樣純粹出于負阻尼，也可能由于各自由度之間的耦合作用引起不穩(wěn)定振動。
對于具有內(nèi)阻尼的簡單耦合系統(tǒng)
設(shè)方程的解為
則式（3.22）的特征方程為
（mλ2+cλ+k）2+（Ωc）2=0 （3.24）
令
2n=c/m， ω2=k/m （3.25）
則方程的特征值為
一般而言n=c/2m是很小的，故有
從λ1,2可以看出，在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，當Ω/ω＞1，即轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動角速度大于系統(tǒng)的固有頻率值時，則由{x y}T={X Y}Ten(Ω/ω-1)t·eiωt組成的振幅隨時間增大，并以eiωt的形式振動，這樣振動隨時間不斷的增大，即產(chǎn)生自激振動。因此在轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動角速度Ω大于系統(tǒng)的固有頻率時，系統(tǒng)便會發(fā)生頻率為ω的自激振動，并且隨著Ω的增大（指超過ω后），系統(tǒng)的振動越來越敏感，這就是內(nèi)阻尼引起自激振動的機理。當然在Ω/ω＞1時，實際系統(tǒng)并不立即失穩(wěn)，因為此時系統(tǒng)的非線性特性會顯現(xiàn)出來，在此我們不作討論。
對于式（3.20）的穩(wěn)定性分析要復(fù)雜得多，形如式（3.14）的耗散函數(shù)首見于文獻[92]。美國學(xué)者Kane等在研究耗散的重力定向自旋衛(wèi)星穩(wěn)定性時發(fā)現(xiàn)的，與之相關(guān)的力被后來的學(xué)者稱之為約束阻尼，并沿用至今，而在轉(zhuǎn)子動力學(xué)中則多被稱為循環(huán)力[93].如果在系統(tǒng)運動方程中沒有循環(huán)力陣[S]，則系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以利用著名的Kelvin-Tait-Chetaev定理來分析，但是當[S]≠0時，這個定理就不適用了。Mingori[94]、李俊峰等[95]對此作了專門的研究，給出了在某些特定條件下的判穩(wěn)方法。文獻[94]仍要求解一同階矩陣的特征值；而文獻[95]中的條件則要求det[G]≠0，因而式（3.20）不滿足，比較可行的方法是運用Routh-Hurwitz法來判穩(wěn)，但也只能解決低階系統(tǒng)，對于高階系統(tǒng)只能進行數(shù)值計算。一個比較簡單的物理解釋是在式（3.16）和式（3.17）中，存在首促進渦動的耦合力（clΩx）和耦合力矩（caΩφ）項。下面以耦合力（clΩx）為例來加以說明。設(shè)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動方向和渦動方向如圖3.5所示，耦合力與軸的轉(zhuǎn)動方向相同，并且隨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動角速度Ω的增大而增大，在Ω高于某一極限值時，這個耦合力會超過外阻尼使軸心產(chǎn)生一個與該力同向的加速度，這個加速度使軸心軌跡發(fā)散，即系統(tǒng)失穩(wěn)。
實際上從式（3.16）和式（3.17）可知，由于聯(lián)軸器的內(nèi)阻尼使方程的最后一項產(chǎn)生交叉耦合并呈反對稱，而正是此項的出現(xiàn)會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這也是轉(zhuǎn)子動力學(xué)中內(nèi)阻尼引起的各種自激振動的共同特性。
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