2.3.2.1.2 輸入軸、輸出軸相錯時的同步性研究
假設(shè)兩軸的位置如圖2-22所示，建立模型及坐標(biāo)系如下：Zi和Zj分別為輸入軸、輸出軸，設(shè)Xi（Xj）與Zi和Zj的公垂線重合，h為兩軸間的最短距離，兩軸夾角為β。
進行坐標(biāo)變換，則坐標(biāo)系OXjYjZj中的某點在OXiYiZi坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可表示為：
在此表示坐標(biāo)系變換矩陣，兩軸嚙合點M的坐標(biāo)可如下求得：
此處
i、0分別表示輸入軸、輸出軸在任意時刻轉(zhuǎn)過的任意角度，由上式我們可導(dǎo)出以下的關(guān)系式：
假設(shè)此時兩軸能夠?qū)崿F(xiàn)同步，令i=0，則上式只有兩個未知量，通過計算，則可以導(dǎo)出兩軸運動的輪廓曲線存在著某種關(guān)系。
設(shè)（2-6）恒成立，通過比較兩端的系數(shù)可得：k=u，l=v，h=0
這顯然與已知不符，因為h≠0，可見假設(shè)不成立。
若再設(shè)（2-8）式恒成立，則有m=0,u=O,w=0,v=O。代入（2-7）式中可得k=l=0，顯然這個結(jié)果是毫無意義的，因此假設(shè)不成立。
通過以上的分析，我們知道，兩軸相錯時，在這種模型下，單一的萬向聯(lián)軸器聯(lián)接不能實現(xiàn)同步的目的。
2.3.2.1.3 定心式等角速萬向聯(lián)軸器理論總結(jié)
定心式是指兩軸相交時的情況，盡管上述證明過程涉及到了兩軸相錯時的等角速條件證明，但未得出任何結(jié)果，這里實際上只有定心式的等角速理論得到了證明。在證明中用到的模型傳力點只有一個，這就是說結(jié)論的得到是建立在聯(lián)軸器機構(gòu)模型中中間構(gòu)件只有一個的情況，多于一個的情況此結(jié)論就不一定正確了，因此這也限制了這一理論的應(yīng)用范圍。
2.3.2.2 定心式等角速萬向聯(lián)軸器的產(chǎn)品
下面的兩類萬向聯(lián)軸器在結(jié)構(gòu)上輸入軸和輸出軸始終相交于一點，只通過鋼球來傳遞力，是典型的定心式等角速理論的應(yīng)用。
2.3.2.2.1 球籠式萬向聯(lián)軸器
球籠式萬向聯(lián)軸器是目前性能最優(yōu)良，應(yīng)用最廣泛的一種等角速萬向聯(lián)軸器，根據(jù)結(jié)構(gòu)形式的不同可分為兩大類，即導(dǎo)向桿式球籠萬向聯(lián)軸器和偏心距式球籠萬向聯(lián)軸器，分別如圖2-23和圖2-24所示。
導(dǎo)向桿式球籠萬向聯(lián)軸內(nèi)外環(huán)上鋼球滾道溝槽的圓弧中心和保持架內(nèi)外球面的球心均重合確保萬向節(jié)的中心o保持不變，如圖2-23所示。當(dāng)兩軸線有相對的角位移時，通過導(dǎo)向桿的作用能使鋼球分布在兩軸軸線相對角位移的等分角平面上，從而保證兩軸同步。導(dǎo)向桿式球籠萬向聯(lián)軸器因零件數(shù)量較多、安裝不便，在應(yīng)用上受到了一定的限制。
偏心距式球籠萬向聯(lián)軸器內(nèi)外環(huán)上鋼球滾道溝槽的圓弧中心o′和o″以相同偏心距分別置于對稱線（如圖2-24中藍色點劃線所示）的兩側(cè)，當(dāng)兩軸線有相對的角位移時，能使鋼球分布在兩軸軸線相對角位移的等分角平面上，從而保證兩軸同步。
球籠式萬向聯(lián)軸器的特點：同步性高、角位移大、結(jié)構(gòu)簡單、體積小等許多優(yōu)點。已形成系列，并廣泛應(yīng)用于汽車、冶金、輕工、重型機械等部門。
2.3.2.2.2 鋼球柱槽聯(lián)軸器
鋼球柱槽聯(lián)軸器同球籠式萬向聯(lián)軸器一樣，它也通過鋼球來傳遞兩個半聯(lián)軸器之間的力，當(dāng)兩個半聯(lián)軸器的軸線有相對的角位移時，半聯(lián)軸器上的滾道能使鋼球分布在兩軸軸線相對角位移的等分角平面上（如圖2-25所示），從而保證兩軸同步。同球籠式萬向聯(lián)軸器不同的是它的鋼球分布在一個橢圓面上，而球籠式萬向聯(lián)軸器則分布在一個球面上。
鋼球柱槽聯(lián)軸器是一種結(jié)構(gòu)極為簡單且易于制造的等速聯(lián)軸器，因而具有實用價值，不過由于結(jié)構(gòu)上的限制這種聯(lián)軸器兩軸間的偏轉(zhuǎn)角較小。
2.3.3 非定心式等角速萬向聯(lián)軸器理論及其產(chǎn)品
2.3.3.1 非定心式等角速萬向聯(lián)軸器傳動理論
非定心式等角速理論：
輸入軸和輸出軸的相對轉(zhuǎn)動瞬時轉(zhuǎn)軸或瞬時轉(zhuǎn)動——滑動軸位于或平行于兩軸的等分角平面。
理論證明如下：
2.3.3.1.1 單聯(lián)萬向聯(lián)軸器等角速傳動的必要條件
設(shè)單聯(lián)萬向聯(lián)軸器的角速度為
，輸出軸與輸入軸的瞬時角速度相等，其角速度用
來表示，兩軸線相交于0點，偏轉(zhuǎn)角β隨時間的偏轉(zhuǎn)角速度為
。對此聯(lián)軸器可作出圖2-26所示的轉(zhuǎn)動關(guān)系示意圖。
假設(shè)給整個系統(tǒng)加上一個角速度-，則根據(jù)理論力學(xué)中的知識可知輸出軸和輸入軸的關(guān)系仍保持不變，這時輸入軸的角速度變?yōu)榱�，而輸入軸的運動可由下面的方法來分析。
如圖2-26所示，使
矢量等于，
矢量等于-，且∠bo′f=β，作
平行于-，其大小等于，則△abo′為等腰三角形，由b點作
的垂線，得垂足g，
垂線將△abo′等分成兩個直角三角形，這兩個直角三角形與△aco′為相似三角形。
由于： ∠ao′z′=
-
所以
位于兩軸的等分角平面內(nèi)，因此-和的合成矢量即輸出軸相對于輸入軸的角速度
也位于兩軸的等分角平面內(nèi)。的大小可通過△o′gb和△ogb來計算：
=2ω0sin
由于矢量與輸入和輸出軸的軸線垂直，所以與的合成矢量
=+也位于兩軸的等分角平面內(nèi)。合成矢量的位置就是瞬時轉(zhuǎn)軸的位置。
所以軸線相交的等角速萬向聯(lián)軸器輸出軸相對于輸入軸的相對轉(zhuǎn)動瞬時轉(zhuǎn)軸始終位于兩軸的等分角平面內(nèi)�？紤]到萬向聯(lián)軸器的一般情形：輸入軸與輸出軸軸線并不位于同一平面內(nèi)，存在與輸入軸線和輸出軸線垂直的徑向位移，且有徑向移動速度和軸向移動速度
與
，如圖2-27所示。
這些移動速度不影響角速度矢量合成，即不影響瞬時轉(zhuǎn)動——滑動軸的方位，但是對角速度所確定的瞬時轉(zhuǎn)動——滑動軸的位置有一定影響，這時輸出軸相對于輸入軸的瞬時轉(zhuǎn)動——滑動軸不是位于而是平行于兩軸的等分角平面。這一結(jié)果是以兩軸角速度大小相等為前提條件推導(dǎo)出來的，可以作為單聯(lián)萬向聯(lián)軸器的普遍條件來應(yīng)用，現(xiàn)將此條件簡述如下：
具有等速傳動特性的單聯(lián)萬向聯(lián)軸器的必要條件為兩軸的相對轉(zhuǎn)動瞬時轉(zhuǎn)軸或瞬時轉(zhuǎn)動——滑動軸位于或平行于兩軸的等分角平面。
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