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第4章滾柱活齒減速器扭振動(dòng)力學(xué)分析
4.1 引言
隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，人們對(duì)于機(jī)械設(shè)備的要求除了要滿(mǎn)足靜態(tài)設(shè)計(jì)目標(biāo)外，還要具有良好的動(dòng)態(tài)特性。而對(duì)并下驅(qū)動(dòng)螺桿泵采油系統(tǒng)而言，減速器的振動(dòng)不但會(huì)產(chǎn)生噪聲、惡化傳動(dòng)件（活齒、軸承等）的工作條件，而且會(huì)破壞螺桿泵定子與轉(zhuǎn)子之間的工作配合，降低螺桿泵使用壽命，從而影響整個(gè)采油系統(tǒng)工作壽命。所以對(duì)滾柱活齒減速器進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，對(duì)于降低減速器的振動(dòng)從而改善整個(gè)采油系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能，具有重要意義。此外，目前對(duì)于滾柱活齒傳動(dòng)的研究還主要停留在靜態(tài)設(shè)計(jì)階段，而研究該傳動(dòng)形式的動(dòng)態(tài)特性，給出其動(dòng)態(tài)參數(shù)的一般計(jì)算方法，可以為其動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ)，這對(duì)于改善該種傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)性能具有重要的理論意義。
研究傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能通常有兩種方法，即試驗(yàn)法和計(jì)算法。一般情況下，試驗(yàn)法獲得的結(jié)果比較準(zhǔn)確，但其只適用于評(píng)定一個(gè)給定的實(shí)物或模型。而計(jì)算法通過(guò)建立動(dòng)力學(xué)模型，在設(shè)計(jì)階段就可獲得系統(tǒng)的各種動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，并可根據(jù)分析結(jié)果改進(jìn)設(shè)計(jì)或進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，從而在設(shè)計(jì)階段就能得到具有良好動(dòng)態(tài)特性的系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案，因此計(jì)算法比試驗(yàn)法更實(shí)用、更經(jīng)濟(jì)，并可為同類(lèi)系列產(chǎn)品設(shè)計(jì)計(jì)算奠定理論基礎(chǔ)，但數(shù)學(xué)模型的建立具有一定的難度。用計(jì)算法對(duì)減速器系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析時(shí)，其常用的數(shù)學(xué)模型有集中參數(shù)模型、連續(xù)分布模型和有限元模型三種。在這三種模型中，有限元法是一種比較成熟的方法，并有現(xiàn)成的商用程序軟件可供用戶(hù)使用，但它要求用戶(hù)有相當(dāng)高的分析與判斷能力和豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。該方法建立的動(dòng)力學(xué)模型雖然精度較高，但只能用來(lái)分析具體的某臺(tái)減速器，如果該減速器改型或部分結(jié)構(gòu)改進(jìn)，則一切分析工作需要從頭開(kāi)始，非常費(fèi)時(shí)費(fèi)力。連續(xù)分布模型適用于連續(xù)質(zhì)量分布的振動(dòng)系統(tǒng)，而滾柱活齒傳動(dòng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)屬于有限個(gè)自由度的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，應(yīng)該用集中參數(shù)模型描述。傳遞矩陣建模法是一種集中參數(shù)模型的建模方法，它主要用于研究軸類(lèi)零件（機(jī)床主軸組件等）的彎曲振動(dòng)和機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。由于該方法比較適用于傳動(dòng)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分析，而且建模與求解合而為一，在數(shù)值求解時(shí)只涉及低階次的傳遞矩陣和行列式，可以極大地節(jié)省計(jì)算工作量和計(jì)算時(shí)間，且計(jì)算結(jié)果完全可以滿(mǎn)足工程實(shí)際的需要，因此，得到廣泛的應(yīng)用。
本章在分析該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，擬采用適合系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分析的以集中參數(shù)模型表示的傳遞矩陣法建立滾柱活齒傳動(dòng)的扭振動(dòng)力學(xué)模型，并求解其動(dòng)態(tài)參數(shù)和能量分布。并對(duì)減速器系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算、分析和評(píng)價(jià)，找出其薄弱環(huán)節(jié)，為進(jìn)一步提高動(dòng)態(tài)特性提供理論依據(jù)。
4.2 系統(tǒng)扭振動(dòng)力學(xué)模型的建立
滾柱活齒減速器的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖4-1所示。為了分析該減速器的動(dòng)態(tài)特性，首先需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)建立動(dòng)力學(xué)模型。根據(jù)各種元件動(dòng)力學(xué)作用的不同，可把組成系統(tǒng)的各元件分成兩類(lèi)，即慣性元件和彈性元件。慣性元件是指各軸及軸上的旋轉(zhuǎn)質(zhì)量。當(dāng)傳動(dòng)系統(tǒng)發(fā)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)，它們對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)作用，主要反映在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量方面，所以稱(chēng)之為慣性元件，一個(gè)傳動(dòng)系統(tǒng)的自由度數(shù)，一般等于慣性元件數(shù)。彈性元件是指兩慣性元件之間的軸段，它可以不計(jì)質(zhì)量而只考慮扭轉(zhuǎn)變形，它對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的作用在于本身的扭轉(zhuǎn)剛度。
建立滾柱活齒減速器的扭振動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，將波發(fā)生器、活齒、活齒架作為只有慣性而無(wú)彈性的慣性元件。把同一軸上各慣性元件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量根據(jù)實(shí)際情況，轉(zhuǎn)換到該軸的兩端，形成兩個(gè)等效剛性圓盤(pán)。計(jì)算兩剛性圓盤(pán)之間所有軸段的扭轉(zhuǎn)剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，將各軸段的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量迭加到該軸的兩慣性元件上（一般可平均分配），各軸段的扭轉(zhuǎn)剛度轉(zhuǎn)換成一個(gè)彈性軸段的扭轉(zhuǎn)剛度，其值應(yīng)與兩慣性元件之間實(shí)際軸段的扭轉(zhuǎn)剛度相等。
對(duì)于圖4-2a所表示的活齒與波發(fā)生器之間、活齒與中心輪之間、活齒與活齒架之間的嚙合副而言，當(dāng)嚙合處的彈性變形不能忽略時(shí)，可以引入一個(gè)等級(jí)的彈性軸段，視為一個(gè)彈性元件，如圖4-2b所示。
根據(jù)上述方法，可以初步建立起如圖4-3所示的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，為了能夠利用傳遞矩陣法對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，需將各慣性元件和彈性元件向輸入軸轉(zhuǎn)換（也可向輸出軸或中間任一軸轉(zhuǎn)換，均不影響結(jié)果），構(gòu)成單一軸線(xiàn)的當(dāng)量圓盤(pán)系統(tǒng)的扭振動(dòng)力學(xué)模型。轉(zhuǎn)換中，按轉(zhuǎn)換前后系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能保持不變的原則，確定轉(zhuǎn)換后動(dòng)力學(xué)模型中各元件的參數(shù)。
4.2.1 慣性元件等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的確定
根據(jù)轉(zhuǎn)換前后動(dòng)能相等的原則，將各慣性元件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量統(tǒng)一向輸入軸（波發(fā)生器）轉(zhuǎn)換。
轉(zhuǎn)換前活齒的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：
式中Ig——轉(zhuǎn)換前活齒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（kg·mm2）；
mi——第i個(gè)活齒的質(zhì)量（kg）；
ri——第i個(gè)活齒的半徑（mm）；
Ri——第i個(gè)活齒中心到波發(fā)生器回轉(zhuǎn)中心的距離（mm）；
n——雙排結(jié)構(gòu)中同時(shí)參與嚙合的活齒數(shù)。
向輸入軸轉(zhuǎn)化，根據(jù)轉(zhuǎn)換前后動(dòng)能相等的原則有：
將ωge:ωg=r:R代入上式得
式中Ige——轉(zhuǎn)換后n個(gè)活齒的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（kg·mm2）；
ωge——轉(zhuǎn)換后活齒的等效角速度（rad/s）；
ωg——轉(zhuǎn)換前活齒的角速度（rad/s）；
同樣，將活齒架的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量向輸入軸轉(zhuǎn)換
而ωse=iωs,所以
Is=i2Ise （4-3）
Ise―轉(zhuǎn)換后活齒架等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（kg·mm2）
ωse―轉(zhuǎn)換后活齒架等效角速度（rad/s)；
Is―轉(zhuǎn)換前活齒架轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（kg·mm2)；
ωs―轉(zhuǎn)換前活齒架角速度（rad/s）。
4.2.2 彈性元件等效扭轉(zhuǎn)剛度的確定
由于彈性元件的存在而產(chǎn)生的剛度包括接觸剛度和扭轉(zhuǎn)剛度�，F(xiàn)有文獻(xiàn)提供的接觸剛度算法一般都是線(xiàn)剛度，在扭振動(dòng)力學(xué)分析中應(yīng)將其換算成角剛度。應(yīng)當(dāng)指出的是，角剛度值與所選擇的換算目標(biāo)有關(guān)，必須明確換算的目標(biāo)軸，才能保證分析結(jié)果的正確性。接觸剛度轉(zhuǎn)換到輸入軸上的等效扭轉(zhuǎn)剛度按式（4-4）進(jìn)行：
k2=R2k1 (4-4)
式中R—所在圓周半徑（mm）；
k1—接觸剛度（N/rad·mm)；
k2—轉(zhuǎn)換后的等效扭轉(zhuǎn)剛度（N·mm/有rad）。
扭轉(zhuǎn)剛度k的計(jì)算按式（4-5):
式中
G——剪切彈性模量（N/mm2)；
Ip——極慣性矩（mm4)；
l——軸長(zhǎng)（mm）。
4.2.3 等效阻尼系數(shù)的確定
按照轉(zhuǎn)換前、后系統(tǒng)的阻尼功不變的原則，對(duì)外阻尼有
C2,3e＝i2C2,3 （4-8）
在圖4-3所示的動(dòng)力學(xué)模型中，出現(xiàn)了具有并聯(lián)結(jié)構(gòu)的傳動(dòng)分支，應(yīng)將其轉(zhuǎn)換為等效的串聯(lián)結(jié)構(gòu)，以便應(yīng)用傳遞矩陣法建模和求解。對(duì)波發(fā)生器而言，扭轉(zhuǎn)剛度按式（4-9）計(jì)算。
式中ki—階梯軸第i段扭轉(zhuǎn)剛度。
支承處剛度不計(jì)，設(shè)兩端均為自由端，按照上述公式將各軸上的慣量元件和彈性元件轉(zhuǎn)換到輸入軸上，可以得到轉(zhuǎn)換后的系統(tǒng)扭振動(dòng)力學(xué)模型如圖4-4所示。
4.3 系統(tǒng)扭振數(shù)學(xué)模型的建立
從建立的動(dòng)力學(xué)模型圖4-4可以看出，該模型由慣性元件、彈性元件和阻尼元件組成，因此，只要獲得了這幾種元件的數(shù)學(xué)模型，就可以利用傳遞矩陣法建立起整個(gè)減速器系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。
4.3.1慣性元件的扭振數(shù)學(xué)模型
如圖4-5 所示，第j個(gè)慣性元件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ij，所受到的激振力矩為wj（t),旋轉(zhuǎn)阻尼為Cj。元件左側(cè)的狀態(tài)矢量為轉(zhuǎn)角θLj和扭矩mLj，右側(cè)的狀態(tài)矢量為轉(zhuǎn)角θRj和扭矩mRj。元件動(dòng)態(tài)載荷為慣性力矩Ijθ&&j和外阻尼力矩Vjθ&j。根據(jù)力平衡關(guān)系可得
若激振力矩是頻率為ω的簡(jiǎn)諧函數(shù)，即
式中ω——激振頻率（rad/s）；
Wj——激振扭矩幅值（復(fù)常數(shù)）（N·mm）。
則作為響應(yīng)的狀態(tài)變量也是與激振力矩具有相同頻率的簡(jiǎn)諧函數(shù)。即
式中
[D]j——第j個(gè)慣性元件的傳遞矩陣；
{Z}Rj——第j個(gè)慣性元件右側(cè)的狀態(tài)矢量；
{z}jL——第j個(gè)慣性元件左側(cè)的狀態(tài)矢量。
4.3.2彈尾元件的扭振數(shù)學(xué)模型
如圖4-6所示，第j個(gè)彈性元件的扭轉(zhuǎn)剛度為kj，扭轉(zhuǎn)阻尼為Cj，元件的左右兩側(cè)各連接一個(gè)慣性元件，左側(cè)慣性元件的右端狀態(tài)矢量等于彈性元件的左端狀態(tài)矢量，即θLj=θRj-1,mjL=mj-1R。右側(cè)慣性元件左端的狀態(tài)矢量等于彈性元件右端的狀態(tài)矢量，即θRj=θLj+1，mjR=mj+1L。彈性元件的內(nèi)力為彈性恢復(fù)力矩kj(θRj-θLj)和阻尼力矩Cj(θ&&j-θ&j)。根據(jù)力平衡關(guān)系可得
4.3.3彈性元件和慣性元件組成單元的數(shù)學(xué)模型
組合式（4-14）和（4-19），可建立第j-1個(gè)剛性圓盤(pán)右側(cè)和第j個(gè)剛性圓盤(pán)右側(cè)狀態(tài)矢量間的關(guān)系。
4.3.4減速器系統(tǒng)狀態(tài)傳遞方程和傳遞矩陣
當(dāng)元件數(shù)學(xué)模型建立后，尤其是得到各個(gè)元件的傳遞矩陣后，根據(jù)傳遞扭矩法就可行到整個(gè)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。假設(shè)整個(gè)系統(tǒng)共有n個(gè)元件，則根據(jù)上述原理，可以逐步計(jì)算各個(gè)元件兩端的狀態(tài)矢量。
式中[T]j——彈性或者慣性元件的傳遞矩陣；
[G]n——n個(gè)元件傳遞矩陣的累積矩陣。
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