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4.4系統固有特性及勢能分布率
要分析和評價減速器的扭振特性，必須先計算出系統的各階固有頻率、相應的主振型和各階模態(tài)柔度。
4.4.1固有頻率和主振型的確定
欲求系統的各階固有頻率和主振型，需求解系統的無阻尼自由振動方程。當系統自由振動時，激勵力矩和阻尼均為零，此時系統的數學模型以復數表示為：
根據邊界條件，系統自由端狀態(tài)矢量中M=0，固定端Θ=0。代入式（4-23）得
式（4-24）有非零解的充要條件是
G11=0 （4-25）
當不計阻尼時，慣性元件的傳遞矩陣是系統振動頻率的平方ω2的函數，彈性元件的傳遞矩陣僅與元件的剛度有關，所以系統累積傳遞矩陣的元素G22是ω2的函數，并且ω2的階次與系統的慣性元件數目相同，所以滿足式(4-25)的振動頻率均為系統的固有頻率。
求出系統的各階固有頻率ω后，即可求出相應各階主振型和系統主振型。倘若取第s階固有頻率ωs代入下式，便右逐一求出各元件的第s階狀態(tài)矢量Θ1（s）、Θ2（s）、…、Θn+1（s）。
所取得的一系列Θ（s）值，便是第s階主振型{Θ（s）}，它表示系統以ωs頻率扭振時，各慣性元件扭轉角大小的相對比值。將各階主振型向量合并即可得到系統的主振型。
4.4.2 模態(tài)柔度和勢能分布率的確定
在建立了反映傳動系統動態(tài)特性的數學模型的基礎上，可對結構進行動力修改或優(yōu)化設計以使所設計的系統具有良好的動態(tài)特性。通常的結構動力修改問題，是要求把結構的振動強度或動柔度限制在一定的范圍內。有效的修改過程是先找出結構的薄弱環(huán)節(jié)，然后有針對性的修改薄弱環(huán)節(jié)的局部結構，從而使整個系統的動態(tài)特性滿足要求。確定結構薄弱環(huán)節(jié)并以此為依據進行結構修改的方法主要是考察系統的模態(tài)柔度和勢能分布率。
由于系統的最大能量Emax是與振型向量{Θ}的平方成正比的，不論阻尼大小如何，這個比例關系總是一定的。因此，模態(tài)柔度是一個與阻尼無關的參數，其大小僅取決于系統的結構參數和物理參數。改變結構參數、物理參數的大小和配置方式，均將使其發(fā)生明顯的變化。系統的第s階模態(tài)柔度R(s）的定義為
式中θn+1(s)——系統末端在第s階模態(tài)振動時的扭振幅值（rad)；
Ui(s)——系統中第i 個彈性元件在第s階模態(tài)振動時的勢能。其值為
式中Ui(s)——系統中第i 個彈性元件在第s階模態(tài)振動時的轉角。
模態(tài)柔度的大小表明了該階模態(tài)的危險程度。模態(tài)柔度越大，說明該階模態(tài)越危險。但要找出造成該階模態(tài)危險的原因，確定結構修改的部位和修改內容，僅憑模態(tài)柔度值還不夠，還必須考察各個彈性元件的勢能或勢能分布率。勢能分布率定義為
勢能分布率的大小表明系統中彈性元件變形能的大小，勢能分布率最大的元件也就是系統的最薄弱環(huán)節(jié)，即造成該階模態(tài)危險的主要原因。據此可以確定相應的改進措施，以提高系統的動態(tài)性能。
4.5 動力學模型參數的確定
在滾柱活齒減速器扭振動力學模型中，其參數包括幾何參數、物理參數和外載荷參數三類。幾何參數在減速器系統設計完成后即己完全確定，在物理參數中有質量參數（如轉動慣量）、剛度參數（如活齒副嚙合剛度、傳動軸扭轉剛度等）和阻尼參數（如軸類零件扭轉阻尼）。其中，轉動慣量在系統設計后即可計算求得，傳動軸扭轉剛度可以按材料力學方法計算。下面給出活齒副嚙合剛度和軸類零件扭轉阻尼的計算方法。
4.5.1 活齒副的嚙合剛度
活齒副的嚙合剛度是指工作時活齒副共同抵抗變形的能力，它與嚙合副的綜合彈性變形有關。嚙合副的綜合彈性變形是指活齒副在嚙合過程中彈性變形的總和，表示為
δ=δ1+δ2 （4-31）
式中
δ1——活齒的彈性變形（mm)；
δ2——波發(fā)生器、活齒架或中心輪的彈性變形（mm)。
活齒副嚙合剛度k可表示為：
式中
k1——活齒的接觸剛度（N/mm),k1=1/δ1；
k2——波發(fā)生器、活齒架或中心輪的接觸剛度（N/mm),k2=1/δ2。
只要求出活齒及與活齒嚙合件的接觸變形，即可確定嚙合綜合剛度。接觸變形的計算按下式進行:
式中
E——材料彈性模量（N/mm2)；
B——齒寬（mm）；
4.5.2 軸類零件扭轉阻尼
軸類零件的扭轉阻尼主要是材料阻尼，根據H.H.Lin.和C.Lee.等的分析，其扭轉阻尼可利用下式進行計算:
式中ks——軸類零件的扭轉剛度（N·mm/rad)；
ξs——軸類零件的扭轉阻尼系數，根據D.R.Houser等的試驗研究，ξs一般取0.005～0.075；
I1,I2——分別為軸類零件兩端慣性元件的轉動慣量（kg·mm2）。
4.6 滾柱活齒減速器扭振動態(tài)特性分析
利用前面建立的滾柱活齒減速器系統的動力學模型對減速器系統進行扭振分析，找出系統的固有特性，即固有頻率和主振型。由于軸承的旋轉阻尼很小，這里忽略不計。根據減速器各元件實際尺寸計算得到各慣性元件的等效轉動慣量、彈性元件的等效扭轉剛度如表4-1所示。
表4-1慣性元件的等效轉動慣量和彈性元件的等效扭轉剛度
| I1(kg·mm2) |
I2(kg·mm2) |
I3(kg·mm2) |
k1(N·mm/rad) |
k2(N·mm/rad) |
k3(N·mm/rad) |
| 2.2342×103 |
2.0833×104 |
7.2384×105 |
1.3313×1011 |
1.3313×1011 |
2.6864×1011 |
根據前面介紹的方法，在計算機上編程對減速器的扭振動力學特性進行分析，其程序框圖見圖4-7所示。在計算機上運算時，按照確定的頻率步長對頻率方程掃頻，作出“G11-ω”曲線，如圖4-8所示，凡G22=0時的ω值，就是系統的固有頻率。有關固有頻率、勢能分布率和模態(tài)柔度的計算結果見表4-2。另外，利用該程序還繪制出圖4-9所示的減速器系統的振型曲線。
表4-2 滾柱活齒減速器扭振動力學分析結果
| 固有頻率(×103rad/s) |
0.1896 |
2.4281 |
8.1645 |
| 主振型 |
{1.0000,0.9994,0.992} |
{1.0000,0.9011,-0.1358} |
{1.0000,-0.1186,9.4318} |
勢能分
布率 |
彈性元件1 |
0.4551 |
0.5508 |
0.0527 |
| 彈性元件2 |
0.4545 |
0.4472 |
0.00074227 |
| 彈性元件3 |
0.0904 |
0.0020 |
0.9465 |
| 系統模態(tài)柔度×10-7/rad(N·mm）-1 |
3.3637×10-5 |
7.6298×10-7 |
3.5234×10-4 |
通過表4-2中的分析結果我們可以看出，三階（8.1645×103rad/s）系統模態(tài)柔度最大，所以該階模態(tài)是危險模態(tài)。要找出造成該階危險模態(tài)的具體原因，我們可以考察各彈性元件的勢能分布率。從表4-2中可以看到，此時3號彈性元件的勢能分布率最大，這說明在扭轉時，它的彈性變形能最大，即它是最薄弱環(huán)節(jié)，是造成危險模態(tài)的主要原因。從這個結論出發(fā)，便可以采取相應措施來改進設計方案。通過適當增加活齒架的壁厚或減小輸出軸長度來提高扭轉剛度，便可改善該減速器的動態(tài)特性。動態(tài)性能好的系統應該是各階模態(tài)柔度小而且每階模態(tài)中各元件的能量分布均勻。為了達到這個目標，可以按照上述方法繼續(xù)調整有關彈性元件的扭轉剛度，直到獲得滿意的結果為止。
在負載變化和誤差較小的情況下，滾柱活齒減速器系統的激勵頻率就是嚙合剛度的變化頻率。它的計算如下：
ω=2πni/60i=34.7rad/s
式中ni——輸入軸轉速（rpm)；
i——傳動比。
由表4-2中結果可知，減速器系統的一階基頻為189,6radis，系統基頻遠大于激勵頻率，因此該減速器的振動水平較低，振動和噪聲較小。
4.7 本章小結
1.通過將組成滾柱活齒減速器的各個零件簡化成相應的慣性元件和彈性元件，建立了減速器的系統動力學模型；通過將各慣性元件和彈性元件轉換到輸入軸上，得到了適于用傳遞矩陣法進行動力學分析的鏈狀動力學模型。
2.在建立起慣性元件和彈性元件動力學數學模型的基礎上，利用傳遞矩陣法建立了減速器系統的動力學數學模型；給出了活齒副嚙合剛度和軸類零件扭轉阻尼的計算公式。
3.利用所建立的動力學模型，通過編程分析了井下驅動螺桿泵采油減速器樣機的自由振動。得到了該系統的固有頻率、模態(tài)柔度和各階振型等動態(tài)特性參數。結果表明，該減速器具有良好的動態(tài)特性。
4.根據所求的模態(tài)柔度和各彈性元件的勢能分布率，找到了危險模態(tài)及導致危險模態(tài)的薄弱環(huán)節(jié)，為進一步改進其結構，提高動態(tài)特性，提供了理論依據。
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